Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Suites de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites de fonctions Exercice 8 X MP [ 02969 ] [correction] Soit I un intervalle ouvert; soit pour n∈N, f :I→R une fonction convexe. Onn suppose que (f ) converge simplement. Montrer que (f ) converge uniformémentn nExercice 1 [ 00868 ] [correction] sur tout segment inclus dans I.Etablir que la limite simple d’une suite de fonctions de I versR convexes est convexe. Exercice 9 [ 00888 ] [correction] Soit f : [0,1]→R décroissante et continue telle que (f ) converge simplementn n Exercice 2 [ 00885 ] [correction] vers la fonction nulle. Soient (f ) une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonction fn Montrer que cette convergence est uniforme. et g une fonction uniformément continue. Montrer que (g◦f ) convergen uniformément. Exercice 10 [ 00889 ] [correction] [Théorème de Dini] Exercice 3 [ 00884 ] [correction] Soient des fonctions f : [a,b]→R continues telles que la suite de fonctions (f )n n Soient (f ) et (g ) deux suites de fonctions convergeant uniformément vers desn n converge simplement vers la fonction nulle. fonctions f et g supposées bornées. Montrer que (f g ) converge uniformémentn n On suppose que pour tout x∈ [a,b], la suite réelle (f (x)) est décroissante. Onn vers fg. désire montrer que la convergence de la suite (f ) est uniforme.n a) Justifier l’existence de lim kf kn ∞n→+∞Exercice 4 [ 00878 ] [correction] Soit (f ) une suite de fonctions réelles continues et définies sur [a,b].
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Suites de fonctions

Enoncés

Exercice 1[ 00868 ][correction]
Etablir que la limite simple d’une suite de fonctions deIversRconvexes est
convexe.

Exercice 2[ 00885 ][correction]
Soient(fn)une suite de fonctions convergeant uniformément vers une fonctionf
etgune fonction uniformément continue. Montrer que(g◦fn)converge
uniformément.

Exercice 3[ 00884 ][correction]
Soient(fn)et(gn)deux suites de fonctions convergeant uniformément vers des
fonctionsfetgsupposées bornées. Montrer que(fngn)converge uniformément
versf g.

Exercice 4[ 00878 ][correction]
Soit(fn)une suite de fonctions réelles continues et définies sur[a b]. On suppose
quefnconverge uniformément vers une fonctionf.
Montrer que[ianbf]fn→[ianbf]f.

Exercice 5[ 00879 ][correction]
On suppose qu’une suite de fonctions(fn)de[a b]versRconverge uniformément
versf: [a b]→Rcontinue et on considère une suite(xn)d’éléments de[a b]
convergeant versx. Montrer
fn(xn)→f(x)

Exercice 6[ 00886 ][correction]
Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions uniformément continues
d’un intervalleIdeRversRest elle-mme une fonction uniformément continue.

Exercice 7[ 00880 ][correction]
Soitfn: [01]→Rcontinue. On suppose que(fn)converge uniformément sur
[01[.
Montrer que la suite(fn)convergence uniformément sur[01].

1

Exercice 8X MP[ 02969 ][correction]
SoitIun intervalle ouvert ; soit pourn∈N,fn:I→Rune fonction convexe. On
suppose que(fn)converge simplement. Montrer que(fn)converge uniformément
sur tout segment inclus dansI.

Exercice 9[ 00888 ][correction]
Soitfn: [01]→Rdécroissante et continue telle que(fn)converge simplement
vers la fonction nulle.
Montrer que cette convergence est uniforme.

Exercice 10[ 00889 ][correction]
[Théorème de Dini]
Soient des fonctionsfn: [a b]→Rcontinues telles que la suite de fonctions(fn)
converge simplement vers la fonction nulle.
On suppose que pour toutx∈[a b], la suite réelle(fn(x))est décroissante. On
désire montrer que la convergence de la suite(fn)est uniforme.

a) Justifier l’existence de
nl→im+∞kfnk∞
b) Justifier que pour toutn∈N, il existexn∈[a b]tel quekfnk∞=fn(xn).
c) En observant que pour toutp6n,

fn(xn)6fp(xn)

montrer quekfnk∞→0et conclure.

Exercice 11[ 00894 ][correction]
Soientf:R→Rune fonction continue et(Pn)une suite de fonctions
polynomiales convergeant uniformément versf.
a) Justifier qu’il existe un entier naturelNtel que pour toutnsupérieur ou égal à
N, on ait pour tout réelx,|Pn(x)−PN(x)|61.
Que peut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômesPn−PNlorsque
n>N?
b) Conclure quefest nécessairement une fonction polynomiale.

Exercice 12[ 03461 ][correction]
Soit(Pn)une suite de fonctions polynômes deRdansR. On suppose que cette
suite converge uniformément vers une fonctionfsurR. Montrer que la fonctionf
est polynomiale.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
fn−C−S→f.∀a b∈I,∀λ∈[01],∀n∈N,fn(λa+ (1−λ)b)6λfn(a) + (1−λ)fn(b)
donc à la limite quandn→+∞,f(λa+ (1−λ)b)6λf(a) + (1−λ)f(b).

Exercice 2 :[énoncé]
∀ε >0∃α >0|x−y|6α⇒ |g(x)−g(y)|6ε.
Pournassez grand|fn(x)−f(x)|6αuniformément enxet alors
|g(fn(x))−g(f(x))|6εd’où la convergence uniforme de(g◦fn).

Exercice 3 :[énoncé]
kfngn−f gk∞6kfnk∞kgn−gk∞+kgk∞kfn−fk∞→0carkfnk∞→ kfk∞
kfn−fk∞kgn−gk∞→0.

et

Exercice 4 :[énoncé]
Posonsmn=ti[nafb]fn(t) =fn(tn)pour un certaintn∈[a b]. Montrons que

mn→m=t∈i[nafb]f. Notons quet∈i[nfb]f=f(t∞)pour un certaint∞∈[a b]carf
a
est continue puisque limite uniforme d’une suite de fonctions continues. Pour tout
ε >0, pournassez grand,kfn−fk∞6εdoncmn=fn(tn)>f(tn)−ε>m−ε
etm=f(t∞)>fn(t∞)−ε>mn−εdonc|mn−m|6ε. Ainsimn→m.

Exercice 5 :[énoncé]
On a
|fn(xn)−f(x)|6|fn(xn)−f(xn)|+|f(xn)−f(x)|
Soitε >0. Il existen1∈Ntel que

∀n>n1kfn−fk∞[ab]6ε

et il existen2∈Ntel que

∀n>n2,|f(xn)−f(x)|6ε

carf(xn)→f(x)en vertu de la continuité def.
Pourn0= max(n1 n2), on a

∀n>n0,|fn(xn)−f(x)|62ε

Exercice 6 :[énoncé]
Soit(fn)une suite de fonctions uniformément continue deIversRconvergeant
uniformément versf:I→R.
Soitε >0. Il existen∈Nvérifiantkf−fnk∞6ε.
La fonctionfnétant uniformément continue, il existeα >0vérifiant :
∀x y∈I|x−y|6α⇒ |fn(x)−fn(y)|6ε

Or

donc

|f(x)−f(y)|6|f(x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(y)|+|fn(y)−f(y)|

∀x y∈I|x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|63ε

Ainsifest uniformément continue.

Exercice 7 :[énoncé]
Notonsfla limite uniforme de(fn)sur[01[
Commençons par montrer que la suite(fn(1))converge. Par le critère de Cauchy

et donc

∀ε >0∃N∈N∀p q>Nkfp−fqk∞[01[6ε

∀x∈[01[|fp(x)−fq(x)|6ε

2

et à la limite quandx→1
|fp(1)−fq(1)|6ε
La suite réelle(fn(1))de Cauchy et donc elle converge. Posonsest f(1)sa limite.
Puisque
kfn−fk∞[01]= maxnkfn−fk∞[01[|fn(1)−f(1)|o

on peut conclure que(fn)converge uniformément versfsur[01].

Exercice 8 :[énoncé]
Notonsfla limite simple de la suite(fn). Cette fonctionfest évidemment
convexe.
Par l’absurde, supposons la convergence non uniforme sur un segment[a b]inclus
dansI.
Il existe alorsε >0et une suite(xn)d’éléments de[a b]tels que
|fn(xn)−f(x)|>2εpour tout natureln.

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Corrections

Par compacité, on peut extraire de(xn)une suite convergente et, quitte à
supprimer certaines des fonctionsfn, on peut supposer que(xn)converge. Posons
x∞sa limite.
Soitα >0tel que[a−α b+α]⊂I(ce qui est possible car l’intervalleIest
ouvert).
Pour tout fonction convexeϕ, la croissance des pentes donne :
∀x6=y∈[a b],ϕ(a)−αϕ(a−α)6ϕ(yy)−−xϕ(x)6ϕ(b+αα)−ϕ(b)(?).
Par convergence simple,fn(x∞)→f(x∞).
Pournassez grand,|fn(x∞)−f(x∞)|6εdonc
|fn(xn)−fn(x∞) +f(x∞)−f(xn)|>ε
puisfn(xxnn)−−xfn∞(x∞)+f(xx∞∞)−−xfn(xn)>x ε−xn−−−−→+∞.
∞n→+∞
Or la suitef(xx∞∞)−xfn(xne (?) et la suitefn(xxnn)−−xfn∞(x∞)
)est bornée en vertu d

aussi puisfn(a)−fαn(a−α)6fn(xxnn)−−xfn∞(x∞)6fn(b+αα)−fn(b)et les termes encadrant
convergent.
On obtient ainsi une absurdité.

Exercice 9 :[énoncé]
On a

donc

∀x∈[01] fn(1)6fn(x)6fn(0)

kfn−0k∞= max(fn(0)−fn(1))6max(|fn(0)||fn(1)|)6|fn(0)|+|fn(1)| →0

Exercice 10 :[énoncé]
a) La suitekfnk∞est décroissante et minorée donc convergente.
b)fnest positive car
fn(x)>pl→i+mfp(x) = 0

|fn|=fny admet un maximum en un certainétant continue sur un segment, elle
xn.
c) La propriétéfn(xn)6fp(xn)provient de la décroissance de la suite
(fp(xn))p∈N.
La suite(xn)étant bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente(xϕ(n))
de limitea.
Comme
fϕ(n)(xϕ(n))6fp(xϕ(n))
on a la limite quandn→+∞

mkfn
nl→i+∞k6fp(a)

En passant cette relation à la limite quandp→+∞, on obtient

d’où

lim
n→+∞kfnk60

lim
n→+∞kfnk= 0

3

Exercice 11 :[énoncé]
a) Pourε= 12, il existeN∈Ntel que∀n>NkPn−fk∞612et donc
kPn−PNk∞61.
Seules les fonctions polynomiales constantes sont bornées surRdoncPn−PNest
une fonction polynomiale constante. Posonsλnla valeur de celle-ci.
b)λn=Pn(0)−PN(0)→f(0)−PN(0) =λ∞.Pn=PN+Pn−P−C−S→PN+λ∞
donc par unicité de limitef=PN+λ∞est une fonction polynomiale.

Exercice 12 :[énoncé]
Pourε= 1, il existe un rangN∈Ntel que

∀n>N Pn−fest bornée etkPn−fk∞61

Pour toutn>N, on peut alors affirmer que le polynôme
Pn−PN= (Pn−f)−(PN−f)est borné et donc constant. Puisque la suite(Pn)
converge uniformément versf, la suite(Pn−PN)n>Nconverge uniformément
versf−PN. Or cette suite étant formée de fonctions constantes, sa convergence
équivaut à la convergence de la suite de ces constantes. En posantCla limite de
cette suite, on obtient
f=PN+C
et doncfest une fonction polynôme.

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