Sujet : Analyse, Suites numériques, Calculs de limites

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Calculs de limites Exercice 5 [ 02258 ] [correction] Comparer m m nExercice 1 [ 02254 ] [correction] 1 1 1 lim lim 1− , lim lim 1− et lim 1−Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (u ) suivantes :n m→+∞n→+∞ n→+∞m→+∞ n→+∞n n n n n p p3 −(−2) 2 2a) u = b) u = n +n+1− n −n+1n nn n3 +(−2)√ n Exercice 6 [ 02259 ] [correction]2 Xn− n +1 1 √ n√ Soit (u ) une suite de réels strictement positifs. On suppose u →‘.c) u = d) u = kn n n n22 nn+ n −1 a) Montrer que si ‘ 1 alors u → +∞.n c) Montrer que dans le cas ‘ = 1 on ne peut rien conclure. Exercice 2 [ 02255 ] [correction] Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : n Exercice 7 [ 02260 ] [correction]√1 n 2a) u = 1+ b) u = n Soit (u ) une suite de réels strictement positifs. On supposen n n n 1/n n un+11 n−1 →‘c) u = sin d) u =n n unn n+1 a) Montrer que si ‘ 1 alors u → +∞.nExercice 3 [ 02256 ] [correction] c) Observer que dans le cas ‘ = 1 on ne peut rien conclure. Déterminer par comparaison, la limite des suites (u ) suivantes :n sinn n!
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Calculs de limites

Exercice 1[ 02254 ][correction]
Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites(un)suivantes :
3n(−2)n

a)un=3n+ (−2)nb)un=pn2+n+ 1−pn2−n+ 1
c)un=nn+√√−n2211+d)un=n12k=Xn1k
n−

Exercice 2[ 02255 ][correction]
Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
a)un=1 +n1nb)un=n√n2
c)un=sin 1n1nd)un=nn−11+n

Exercice 3[ 02256 ][correction]
Déterminer par comparaison, la limite des suites(un)suivantes :

sinn
=
ac))uunnn−+((−−11))n+1
n
n=n+ (−1)n
e)un=p2 + (−1)n
n

n!
b)un=
nn
d en
=
)unnn

Exercice 4[ 02257 ][correction]
Déterminer les limites des sommes suivantes :
n
Xn√kb)Sn=X1
a)Sn=k=1k=1√k
n
c)Sn=Xn2+1k2d)Sn=2Xnk12
k=1k=n+1
e)Sn=nkX=1n2n+kf)Sn=Xn1+k
k=1√n2
n
g)Sn=X(−1)n−kk!
k=0

Enoncés

Exercice 5[ 02258 ][correction]
Comparer
1
ml→im+∞nl→im+∞1−1nm,nl→i+m∞ml→im+∞1−n1metnl→i+m∞1−nn

Exercice 6[ 02259 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On supposen√un→`.
a) Montrer que si` <1alorsun→0.
b) Montrer que si` >1alorsun→+∞.
c) Montrer que dans le cas`= 1on ne peut rien conclure.

Exercice 7[ 02260 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs. On suppose
un+1→`
un
a) Montrer que si` <1alorsun→0.
b) Montrer que si` >1alorsun→+∞.
c) Observer que dans le cas`= 1on ne peut rien conclure.

Exercice 8[ 02261 ][correction]
Pour toutn∈N, on pose

n1kn−1
Sn=X
k=1n+ketS0n=kX=1(−1k)

a) Etablir que pour toutp >1,
1pdx
Zpp+1dx6 6Z
x pp−1x

En déduire la limite de(Sn).
b) Etablir queS20n=Sn. En déduire la limite de(S0n).

Exercice 9[ 02262 ][correction]
Soita∈Ret pourn∈N,

n
a
Pn=Ycosk
2
k=1

1

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Montrer que

et déterminerlimPn.
n→∞

sin2anPn sin= 1a
2n

Exercice 10[ 02263 ][correction]
Déterminer la limite de

un=nk=X0kn!−1

Exercice 11[ 02264 ][correction]
Soitp∈N {01}. Pourn∈N?on pose
un=nn+p!−1

n
etSn=Xuk
k=1

a) Montrer que
∀n∈N,(n+p+ 2)un+2= (n+ 2)un+1
b) Montrer par récurrence

Sn=p−11(1−(n+p+ 1)un+1)

c) On pose∀n∈N?vn= (n+p)un. Montrer que(vn)converge vers 0.
d) En déduirelimSnen fonction dep.

Exercice 12X MP[ 03039 ][correction]
Soitz∈Cavec|z|<1. Existence et calcul de

n
n→m+∞Y 1 +z2k
li
k=0

Exercice 13[ 03196 ][correction]
Etudier la convergence de deux suites réelles(un)et(vn)vérifiant

nl→im+∞(un+vn) = 0etnl→im+∞(eun+ evn) = 2

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)

b)

c)

d)

un=

1−(−23)n
un + (= 1−23)n→1

2n2
=
√n2+n+ 1 +√n2−n+ 1q1 +1n+n12+q1−1n+n12→1

un=pp1 + 1n2→0
1−
1 + 1−1n2

(n 1+ 1
un2=n)→2

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)un=en(ln(1+1n))ornln1 +1n=11nln1 +1n→1carln(1x+x)x−→−0→1. Par
suiteun→e.
2ln
b)un=enn→1carlnnn→0.
c)sinn11n=en1ln(sin1n)or1nlnsinn1∼n1lnn1→0doncsin1n1n→1.
d)nn−11+n=enln(1−n1+2)ornln1−n1+2∼ −2→ −2doncnn−+11n→e−2.

Exercice 3 :[énoncé]
a)|un|6n1−1→0doncun→0.
b)06un61n62nnn−+nn116avn1ec→n−01donn+c1un→0.→1.
c)nn−1+16unn+1n−1→1doncun
d)06un6e2e1×1× ∙ ∙ ∙ ×1×e→0doncun→0.
n
e)16un6n√3 =en1ln 3→1doncun→1.

Exercice 4 :[énoncé]
n
a)Sn>P1 =n→+∞
k=1

n
P1
b)Sn>k=1√n=√n→+∞.
n
n
c)06Sn6kPn211+=n2+1→0doncun→0.
=1
2n
n
d)06Sn6k=nP+1 (n)1+126(n+1)2→0.
n n
n
e)kP=1n2n+n6Sn6Pn2+1doncn+n16Sn6n2n2+1puisun→1.
k=1
n n
f)√nn2+n=kP=1√n12+n6Sn6kP=1√n12+1=√nn2+1par le théorème des
gendarmes :Sn→1.
g)Sn=n!−(n−1)! + (n−2)! +∙ ∙ ∙+ (−1)n. Par regroupement de termes.
Sinest pair alorsSn>n!−(n−1)!et sinest impairSn>n!−(n−1)!−1.
Puisquen!−(n−1)! = (n−1)(n−1)!→+∞, on aSn→+∞.

Exercice 5 :[énoncé]
nl→im+∞1−n1m= 1metml→im+∞nl→i+m∞1−1nm= 1.
ml→im+∞1−n1m= 0etnl→i+m∞ml→im+∞1−n1m= 0.
1−n1n=enln(1−1n)→e−1.

3

Exercice 6 :[énoncé]
a) Soitρ=`21+de sorte que` < ρ <1.
Commen√un→` < ρ, il existe un rangNau delà duqueln√un6ρdonc
0< un6ρn. On a alorsun→0.
b) Mme démarche mais par minoration.
c)un=n,un= 1etun= 1nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Soitρ=`21+de sorte que` < ρ <1.
Commeun+1, il existe un rangNau delà duquel
un→` < ρ
un+16ρ
un

On a alors

doncun→0.

06un=unun−1∙ ∙ ∙uN+1uN6ρn−NuN→0
un−1un−2uN

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Corrections

On peut aussi raisonner en observant que la suite(un)est décroissante à partir
d’un certain rang, donc convergente et que sa seule limite possible est nulle.
b) Mme démarche mais par minoration ou par croissance.
c)un=n,un= 1etun= 1nsont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On a
pdx1
Zp+1x6Zpp+1dppx
=
car la fonction décroissantex7→1xest majorée par1sur[p p+ 1].
p
Par un argument semblable
Zpp−1dxx>Zpp−1dxp=p1

Pourn>1,

donne en sommant

Or

Znn++kk+1dxx6n+1k6Zn+kdx
n+k−1x
Zn2+n1+1dxx6Sn6Zn2ndxx

dx= ln 2n+ 1→ln 2
Zn+2n1+1x n+ 1

et
Z2ndx 2= l
n
nx
doncSn→ln 2.
b) On a
S20n1=1−1+213−+41∙ ∙ ∙2+n1−1−12n=11+12+∙ ∙ ∙+21n−21+241+∙ ∙ ∙2+1n

donc
0
S2=2Xnk1−Xnk1=2Xn1k=nXn1+k=Sn
n
k=1k=1k=n+1k=1
0
Par suiteS2n→ln 2. De plusS02n+1=S2n+2n11+→ln 2donc

S0n→ln 2

Exercice 9 :[énoncé]
En exploitant la formulesin 2x sin= 2xcosx

aP1 in 2a1cos2na−1∙a1
sin = s∙ ∙cos =  = sina
2n n2n−2 2n
Sia= 0alorsPn= 1→1.
Sia6= 0alors, pournassez grand,sin(a2n)6= 0et

car2nsin2an∼2n2an=a.

sinasi
Pn2=nsa→ana
in2n

−1
1
+ + 1
n

Exercice 10 :[énoncé]
On a
1n−2
un= 1 + +Xnk!
n
k=2
Or pourk∈ {2     n−2},
nk!>n2!=n(n2−1)

donc

puisun→2.

06X
n−22nk!−16n((2nn−−)3)1→0
k=

Exercice 11 :[énoncé]
a)
n+pn2+2+!=nn++p22+nn++p11+!

d’où la relation.
b) Par récurrence surn∈N:
Pourn= 1:
S1=p111+!etp1−1 (1−(p+ 2) (p2+)2(p )+ 1) =p1+1

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ok
Supposons la propriété établie au rangn>1.

Corrections

Sn+1=Sn+un+1H=Rp−11(1−(n+p+1)un+1)+un+1=p1−1 (1−(n+2)un+1) =p1−1 (1−(n+p+2)un+2

Récurrence établie.
c)
n!p!
=
06vn=nn++pp!(n+p−1)!6pn!+1
n

d) Par opérations

Sn→p−11

→0

Exercice 12 :[énoncé]
(1−z)kQn=01 +z2k= (1−z)(1 +z)(1 +z2)  (1 +z2n) = (1
Or2n+1→0doncnl→i+m∞k=nQ01 +z2k=1 1.
z
−z

2n+1
−z).

Exercice 13 :[énoncé]
Posonsεn=un+vn. On a, par factorisation de l’exponentielle équilibrée
eun+ evn= eun+ eεn−un= 2eεn2chhun−ε2ni

Puisqueεn→0eteun+ evn→2, on a par opérations
chhun−ε2ni→1

et donc en composant avec la fonction argch

εn
un− →0
2

On en déduitun→0puisvn→0.

)

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