Sujet : Analyse, Suites numériques, Comparaison de suites numériques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 s √ n n+1Comparaison de suites numériques 1 1 n a) u =n ln 1+ b) u = 1+sin c) u = √n n n2 nn +1 n (n+1) Exercice 1 [ 02280 ] [correction] Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de négligeabilité : Exercice 7 [ 02287 ] [correction] Soit (u ) une suite décroissante de réels telle quen2√1 1 lnn lnn 1 n2a) , , , , b) n,n ,nlnn, nlnn, 2 2 1n n n n nlnn lnn u +u ∼n n+1 n +a) Montrer que (u ) converge vers 0 .nExercice 2 [ 02281 ] [correction] b) Donner un équivalent simple de (u ).nTrouver un équivalent simple aux suites (u ) suivantes et donner leur limite :n √ 2 2ln(n +1) n +n+1−(n+1)a) u = (n+3lnn)e b) u = c) u =√n n n 3 Exercice 8 [ 02284 ] [correction]2n+1 n −n+1 Pour n∈N, on pose nX u = 0!+1!+2!+···+n! = k!Exercice 3 [ 00236 ] [correction] n k=0Trouver un équivalent simple aux suites (u ) suivantes et donner leur limite :n √ Montrer que u ∼n!.n3 2 3 nn − n +1 2n −lnn+1 n!+e a) u = b) u = c) u =n n n2 2 n nlnn−2n n +1 2 +3 Exercice 9 [ 02285 ] [correction] On pose Exercice 4 [ 02282 ] [correction] nX 1 Trouver un équivalent simple aux suites (u ) suivantes :n S = √n k k=1 p√ √ a) Justifier que1 1 a) u = − b) u = n+1− n−1 c) u = ln(n+1)−ln(n) √ √ n n n 1 1 n−1 n+1 √ √6 2 n+1− n 6 n+1 n b) Déterminer la limite de (S ).n√ Exercice 5 [ 00235 ] [correction] c) On pose u =S −2 n. Montrer que (u ) converge.
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Comparaison de suites numériques

Exercice 1[ 02280 ][correction]
Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de
négligeabilité :

1 1 lnnlnn
a)n 2  n2nln1n
n n

b)n n2 nlnn√nln2
nnlnn

Exercice 2[ 02281 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes et donner leur limite :
a)un= (n+ 3 lnn)e−(n+1)b)un= ln(nn211)++c)un=√3√nn22−+nn+1+1

Exercice 3[ 00236 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes et donner leur limite :
a)un=n3ln−n√−n22n+21b)un= 2n3−lnn+ 1)u2nn++!e3nn
n2+ 1cn=

Exercice 4[ 02282 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes :

a)un=n−11−n1+1

Enoncés

b)un=√n+ 1−√n−1c)un=pln(n+ 1)−ln(n)

Exercice 5[ 00235 ][correction]
Trouver un équivalent simple aux suites(un)suivantes :
1
a)un= sin√n1+1b)un= lnsinn1c)un= 1n
−cos

Exercice 6[ 02283 ][correction]
Déterminer la limite des suites(un)suivantes :

a)un=nsln1 +n211+

b)un= 11 + sinnn

Exercice 7[ 02287 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante de réels telle que

1
un+un+1∼
n

a) Montrer que(un)converge vers0+.
b) Donner un équivalent simple de(un).

Exercice 8[ 02284 ][correction]
Pourn∈N, on pose

Montrer queun∼n!.

n
un= 0! + 1! + 2! +∙ ∙ ∙+n! =Xk!
k=0

Exercice 9[ 02285 ][correction]
On pose

n
Sn=X1
k=1√k

a) Justifier que
1162√n+ 1√−n6√1n
√n+
b) Déterminer la limite de(Sn).
c) On poseun=Sn−2√n. Montrer que(un)converge.
d) Donner un équivalent simple de(Sn).

Exercice 10[ 00301 ][correction]
On étudie ici la suite(Sn)de terme général

n1
Sn=Xk
k=1

)unn√n+1
=
c(n+ 1)√n

1

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a) Etablir que pour toutt >−1,ln(1 +t)6tet en déduire

b) Observer que

n( +t)>t+t1
l 1

ln(n+ 1)6Sn6lnn+ 1

et en déduire un équivalent simple deSn.
c) Montrer que la suiteun=Sn−lnnest convergente. Sa limite est appelée
constante d’Euler et est usuellement notéeγ.

Exercice 11[ 02286 ][correction]
Soit(un)(vn)(wn)(tn)des suites de réels strictement positifs tels queun
etwn∼tn.
Montrer queun+wn∼vn+tn.

Exercice 12CCP MP[ 02459 ][correction]
Montrer que, au voisinage de+∞,
un=Zn2n31+dtt2∼n1

2

∼v

Enoncés

n

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)

b)

Exercice 2 :[énoncé]
a)un=ne−n→0
e
b∼ →0
)un2 lnnn
c)un∼n13→+∞.

Exercice 3 :[énoncé]
a)un∼ −21n→ −∞
b)un∼2n→+∞
n!
c)un∼n→+∞
3

Exercice 4 :[énoncé]
a)

b)

1 lnn ln1 1n
n2n2nlnnnn

√nlnnnnlnnlnn2nn2

un

2 2
=∼
n2−1n2

2 2
un= =
√n+ 1 +√n−1√n+o(√n) +√n+o(√n)

c)
1
un=sln1 +n∼r1n=√1n
carln1 +n1∼n1puisque1n→0.

Corrections

1 1
=∼
√n+o(pn)√n

Exercice 5 :[énoncé]
a)un= sin√n1+1∼√n+11∼√1ncar11→0.
√n+
b)sin1n∼1n→06= 1doncun∼lnn1=−lnn.
c)un sin= 2212n∼21n2.

Exercice 6 :[énoncé]
a)ln1 +n2+11∼n21+1∼n12carn211+→0. Par suiteun∼1→1.
b)un=enln(1+sinn1),ln1 + sinn1∼sin1n∼1ndoncnln1 + sinn1→1puis
un→e.
c)un=e√n+1 lnn−√nln(n+1),
√n+ 1 lnn− √nln(n+ 1) =√n+ 1− √nlnn− √nln1 +n1.
Or√n+ 1− √nlnn=√n1+nln+√n=2√n+nln(√n)∼nl2√nnet
o
√nln1 +1n∼√1n=onl2√nndonc
√n+ 1 lnn− √nln(n+ 1) =2nl√nn+o2nl√nn→0doncun→1.

Exercice 7 :[énoncé]
a)(un)est décroissante donc admet une limite`∈R∪ {−∞}.
Puisqueun+un+1∼1n→0+, on a`+`= 0donc`= 0.
De plus, à partir d’un certain rang :2un>un+un+1>0
b) Par monotonie
un+1+un62un6un−1+un
avecun+1+un∼1netun−1+un∼n−11∼n1donc2un∼1npuis
1
u∼
n2n

Exercice 8 :[énoncé]
On a

Or

et

n−2
un=n! + (n−1)! +Xk!
k=0

(n−1)! 1
=→0
n!n

n−2
Pk!n−2
06k=n0! =Xkn!!6nX−2(nn−!=!2)kn=X−02n(n1−1)6n1→0
k=0k=0

3

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donc

n−2
un=n! + (n−1)! +Xk! =n! +o(n!)∼n!
k=0

Exercice 9 :[énoncé]
a)

donc

2√n+ 1−√n=√n1++2√n

1√n+ 1−√n6√1n
√n+ 162

Corrections

b)
n
Sn>X2√k+ 1√−k= 2√n+ 1−2
k=1
puisSn→+∞.
c)un+1−un=√n+1−2√n+ 1− √n60donc(un)est décroissante.
1
Orun=Sn−2√n>2√n+ 1−2−2√n>−2donc(un)est aussi minorée. Par
suite(un)converge.
d)
Sn= 2√n+un= 2√n+o(√n)∼2√n

Exercice 10 :[énoncé]
a) On étudie la fonctiont7→t−ln(1 +t)pour établir la première inégalité. On en
déduit
n(1−1t+t)6−1t+t
l
donc
ln1+t6t

1 1 +t
puis l’inégalité voulue.
b)
Sn=kXn=11k>lnkY=n11 +k1!= ln(n+ 1)
et
Sn= 1 +nk−=X11+111kk61 + lnnkY−1=11 +k1!= 1 + lnn

On en déduit

c)

Sn∼lnn

un+1−un1nn−ln1 +n160
=
1 + 1

donc(un)est décroissante. De plusun>ln(n+ 1)−lnn>0donc(un)est
minorée et par suite convergente.

Exercice 11 :[énoncé]
Supposonsun∼vnetwn∼tn.
(un−vn)+(wn−tn)| −vn|
vunn++twnn−1=vn+tn6unvn+|wntn−tn|=uvnn−1+wtnn−1→0.

Exercice 12 :[énoncé]
On peut calculer l’intégrale

un= arctann3−arctann2

Or pourx >0,

arctanx+ arctanx2=
1 1 =n12+on12∼n12
un= arctann2−arctann3

donc

4

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