Sujet : Analyse, Suites numériques, Convergence d'une suite numérique

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Convergence d’une suite numérique

Exercice 1[ 02247 ][correction]
Soient(un)et(vn)deux suites réelles convergeant vers`et`0avec` < `0.
Montrer qu’à partir d’un certain rang :un< vn.

Exercice 2[ 02248 ][correction]
Montrer que(un)∈ZNconverge si, et seulement si,(un)est stationnaire.

Exercice 3[ 02249 ][correction]
Soient(a b)∈R2,(un)et(vn)deux suites telles que
(n∈N un6aetvn6b
un+vn→a+b

Montrer queun→aetvn→b.

Enoncés

Exercice 4[ 02250 ][correction]
Soit(un)et(vn)deux suites réelles telles que(un+vn)et(un−vn)convergent.
Montrer que(un)et(vn)convergent.

Exercice 5[ 02251 ][correction]
vergentes. Etudierlimn).
Soit(un)et(vn)deux suites conn→+∞max(un v

Exercice 6[ 02252 ][correction]
Soient(un)et(vn)deux suites réelles telles que

un2+unvn+v2n→0

Démontrer que les suites(un)et(vn)convergent vers 0.

Exercice 7[ 02253 ][correction]
Soient(un)et(vn)deux suites telles que

06un61,06vn61etunvn→1

Que dire de ces suites ?

Exercice 8[ 03497 ][correction]
Soit(un)une suite de réels non nuls vérifiant
un+1→0
un

Déterminer la limite de(un).

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsm= (`+`0)2. On aun→` < m. Pourε=m−` >0, il existen0∈Ntel
que

et donc

∀n>n0|un−`|< ε

∀n>n0 un< m

De façon symétrique, il existen1∈Ntel que

∀n>n1 vn> m

et alors pour toutn>max(n0 n1)on a

un< m < vn

Exercice 2 :[énoncé]
Si(un)est stationnaire, il est clair que cette suite converge.
Inversement, supposons que(un)converge et notons`sa limite.
Montrons`∈Z. Par l’absurde, si`∈ZalorsE(`)< ` < E(`) + 1donc à partir
d’un certain rangE(`)< un< E(`) + 1. Orun∈Z. Absurde. Ainsi`∈Z.
Puisqueun→`et`−1< ` < `+ 1, à partir d’un certain rang`−1< un< `+ 1.
Orun∈Zet`∈Zdoncun=`. Finalement(un)est stationnaire égale à`.

Exercice 3 :[énoncé]
On a l’encadrement

06a−un6(a−un) + (b−vn) = (a+b)−(un+vn)→0

doncun→apuis

vn= (un+vn)−un→(a+b)−a=b

Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsu+vn→`etun−vn→`0
n.
un=21(un+vn) +21(un−vn)→`+2`0et de mmevn→`−`0
2.

Exercice 5 :[énoncé]
max(un vn) =21((un+vn) +|un−vn|)→max(limunlimvn).

Exercice 6 :[énoncé]
On a
06(un+vn)2=u2n+ 2unvn+v2n62(u2n+unvn+vn2)→0
Ainsiun+vn→0puis

unvn= (un+vn)2−(un2+unvn+v2n)→0

et donc
un2+vn2= 2(u2n+unvn+vn2)−(un+vn)2→0
qui permet de conclureun→0etvn→0.

Exercice 7 :[énoncé]
On a
unvn6un vn61
Par le théorème d’encadrement on obtient

limun= limvn= 1

Exercice 8 :[énoncé]
Puisque|un+1un| →0<12, il existe un rangN∈Nvérifiant

c’est-à-dire

On a alors par récurrence

∀n>N|un+1un|612

∀n>N|un+1|612|un|

∀n>N|un|62n1−N|uN|

et donc par comparaisonun→0.

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