Sujet : Analyse, Suites numériques, Expression du terme général d'une suite récurrente

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Enoncés

Expression du terme général d’une suite récurrente

Exercice 1[ 02293 ][correction]
Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle
(un)n>0définie par :
a)u0= 0et∀n∈N un+1= 2un+ 1
b)u0= 0et∀n∈N un+1=un+1
2.

Exercice 2[ 02294 ][correction]
Soit(xn)et(yn)deux suites réelles telles que
∀n∈N x xn−ynet=xn2+yn
n+1=2yn+1
En introduisant la suite complexe de terme généralzn=xn+iyn, montrer que
les suites(xn)et(yn)convergent et déterminer leurs limites.

Exercice 3[ 02295 ][correction]
Soit(zn)une suite complexe telle que
∀n∈N zn+13(=1zn+ 2z¯n)
Montrer que(zn)converge et exprimer sa limite en fonction dez0.

Exercice 4[ 02296 ][correction]
Soit(un)et(vn)les suites déterminées paru0= 1,v0= 2et pour toutn∈N:

un+1= 3un+ 2vnetvn+1= 2un+ 3vn

a) Montrer que la suite(un−vn)est constante.
b) Prouver que(un)est une suite arithmético-géométrique
.
c) Exprimer les termes généraux des suites(un)et(vn).

Exercice 5[ 02297 ][correction]
Soientρ >0etθ∈]0 π[.
On considère la suite complexe(zn)définie parz0=ρeiθet

∀n∈N zn+1=zn+2|zn|
a) Exprimerznsous forme d’un produit.
b rminerlim
) Déten→+∞zn.

Exercice 6X MP[ 03048 ][correction]
Etudier la suite(zn)n>0définie parz0∈Cet

∀n∈N zn+1=zn2+|zn|

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Posonsvn=un+ 1.(vn)est géométrique de raison 2 etv0= 1donc
un= 2n−1→+∞.
b) Posonsvn=un−1.(vn)est géométrique de raison12etv0=−1donc
un= 1−21n→1.

Exercice 2 :[énoncé]
On a
1 +i
zn+12=zn
donc
zn=2+1inz0
Or1+2i<1donczn→0puisxn yn→0.

Exercice 3 :[énoncé]
Introduisonsxn=Re(zn)etyn=Im(zn). On a
etyn
xn+1=xnyn+1=−3

xn→x0etyn→0donczn→Re(z0).

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a)un+1−vn+1=un−vnetu0−v0=−1donc(un−vn)est constante égale à−1.
b)vn=un+ 1doncun+1= 5un+ 2. La suite(un)est arithmético-géométrique.
c)un+1−a= 5(un−a) + 4a+ 2. Poura=−12,(un−a)est géométrique de
raison 5 et de premier terme32. Ainsi

35n−1 35n+ 1
un=2etvn=
2

Exercice 5 :[énoncé]
a)z1=ρ21+eiθ=ρcos2θei2θ,z2=ρcos2θcos4θei4θ,..., donc

nθei2θ
zn=ρYs2cokn
k=1

b) eiθ2n→1et

donc

n
Yco2sθk2=nsniinsθ2θn
k=1

sinθ
zn→ρθ

sinθ

θ

Exercice 6 :[énoncé]
On peut écrirez0=ρeiθavecρ>0etθ∈]−π π]
On a alors

1+2eiθ=ρcosθeiθ2z2=ρ2socθsoc4θeiθ4,...,zn=ρei2nθYn2csoθk
z1=ρ2,
k=1

Siθ= 0alorszn=ρ→ρ.
Sinon, pour toutn∈N?,sin2θn6= 0et

θnYcosθsinθ
sin2k=
2n2n
k=1

par exploitations successives de l’identitésin 2a= 2 sinacosa.
On en déduit
nθsinθsinθ
k=Y12sock=2nsin2θn→θ
Finalement
sinθ

zn→θρ

2

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