Sujet : Analyse, Suites numériques, Limite de suite des solutions d'une équation

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Limite de suite des solutions d’une équation Exercice 1 [ 02289 ] [correction] +?Soit n un entier naturel et E l’équation x+lnx =n d’inconnue x∈R .n a) Montrer que l’équation E possède une solution unique notée x .n n b) Montrer que la suite (x ) diverge vers +∞.
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Limite de suite des solutions d’une équation
Exercice 1[ 02289 ][correction] Soitnun entier naturel etEnl’équationx+ lnx=nd’inconnuexR+?. a) Montrer que l’équationEnpossède une solution unique notéexn. b) Montrer que la suite(xn)diverge vers+. c) Donner un équivalent simple de la suite(xn).
Enoncés
Exercice 2[ 02290 ][correction] Soitnun entier naturel etEnl’équationx+ tanx=nd’inconnuex]π2 π2[. a) Montrer que l’équationEnpossède une solution unique notéexn. b) Montrer que la suite(xn)converge et déterminer sa limite.
Exercice 3[ 02288 ][correction] Montrer que l’équationxex=npossède pour toutnN, une unique solutionxn dansR+. Etudier la limite de(xn).
Exercice 4[ 02291 ][correction] Soitnun entier naturel non nul etEnl’équation :xnlnx= 1d’inconnuexR+?. a) Montrer que l’équationEnadmet une unique solutionxn, et quexn>1. b) Montrer que la suite(xn)est décroissante et converge vers 1.
Exercice 5[ 02292 ][correction] SoientnN?et En:xn+xn1+∙ ∙ ∙+x= 1 a) Montrer que l’équationEnpossède une unique solutionxndansR+et que xn[121] b) Montrer que(xn)converge. c) Déterminer la limite de(xn).
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Corrections
Corrections
qui est continue, strictement croissante et vérifie
Exercice 1 :[énoncé]fn(0) = 0etxlim+fn(x) = +a) Le tableau de variation def:x7→x+ lnxpermet d’affirmer que cette fonction réalise une bijection croissante deR+?versR. L’équationEn fonction Lapossède alors pourfnréalise une bijection de[0+[vers[0+[, par suite l’équation solution uniquexn=f1(n).Enpossède une unique solutionxnR+. b) Le tableau de variation def1donnel+imf1= +. Par suitexn+. Puisque(1 12) = 1n1 =n c)xn+donnelnxn=o(xn). La relationxn+ lnxn=ndonne alorsfn xn+o(xn) =net doncxnn.2 11122<1etfn( )>1 on axn[121]. b) On a Exercice 2 :[énoncé] a) Le tableau de variation def:x7→x+ tanxpermet d’affirmer que cettefn+1(xn) =xnn+1+∙ ∙ ∙+x2n+xn=xn(xnn+∙ ∙ ∙+xn) +xn= 2xn>1 fonction réalise une bijection croissante de]π2 π2[versR. L’équationEn possède alors pour solution uniquexn=f1(n). donc b) (1) Le tableau de variation def1donnelimf1=π +2. Par suitexnπ2.xn+16xn (2)xn+ tanxn=ndonnexn= arctan(nxn). Ornxn+car(xn)La suite(xn)est décroissante et minorée, donc elle converge. bornée doncxnπ2 Posons. c)`= limxn. Puisquex2<1,xn6x2donne à la limite` <1. n+ 1xn 1 =xn∙ ∙ ∙+xn=xn n Exercice 3 :[énoncé]1xn Soitf:R+Rdéfinie parf(x) =xex. fest dérivable etf0(x) = (x+ 1)ex>0doncf à la limiteest strictement croissante. donne` f(0) = 0etl+imf= +donc l’équationxex=npossède une unique solutionxn.1 = 1` xn=f1(n)+.arc06xnn6xn20et finalement Exercice 4 :[énoncé]`= 12 a) Le tableau de variation defn:x7→xnlnxpermet d’affirmer que l’équation fn(x) = 1possède une unique solutionxnsurR+?et que de plusxn[1+[. b)1 =xnn1++1lnxn+1=xn+1fn(xn+1)doncfn(xn+1) =xn1+161 =fn(xn)donc xn+16xncarfest strictement croissante sur[1+[. La suite(xn)est décroissante et minorée par 1 donc elle converge. Posons`sa limite, on a`>1 Si` >1alorsxnnlnxn>`nln`+ce qui est absurde carxnnlnxn= 1. Il reste `= 1.
Exercice 5 :[énoncé] a) Introduisons la fonction
fn:x7→xn+∙ ∙ ∙+x
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