Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites adjacentes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites adjacentes Exercice 5 [ 02274 ] [correction] [Irrationalité du nombre de Néper] SoientExercice 1 [ 02271 ] [correction] n nX X1 1 1 1 Soient θ∈ ]0,π/2[ et a = et b = + =a +n n n k! k! n.n! n.n!θ θn n k=0 k=0u = 2 sin , v = 2 tann nn n2 2 a) Montrer que (a ) et (b ) sont strictement monotones et adjacentes.n n Montrer que les suites (u ) et (v ) sont adjacentes. Quelle est leur limite On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e∈/Q et pourn n p ?commune? cela on raisonne par l’absurde en supposant e = avec p∈Z,q∈N . q b) Montrer que a 1, u 6v , u 6u et v 6v .n n n n+1 n+1 n c) Etablir que (u ) et (v ) convergent vers une même limite.n n Exercice 3 [ 02272 ] [correction] Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et ?Pour tout n∈N , on pose est notée M(a,b). +d) Calculer M(a,a) et M(a,0) pour a∈R . nX +1 1 e) Exprimer M(λa,λb) en fonction de M(a,b) pour λ∈R .0S = et S =S +n nn2k n k=1 0Montrer que les suites (S ) et (S ) sont adjacentes.n n 2On peut montrer que leur limite commune est π /6, mais c’est une autre histoire... Exercice 4 [ 02273 ] [correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit (u ) une suite de réels décroissante et de limite nulle.n nP kPour tout n∈N, on pose S = (−1) u .n k k=0 Montrer que les suites extraites (S ) et (S ) sont adjacentes et en déduire que2n 2n+1 (S ) converge.
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Suites adjacentes
Exercice 1[ 02271 ][correction] Soientθ]0 π2[et un= 2n2nisθn,vn= 2ntna2θn Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes. Quelle est leur limite commune ?
Exercice 2[ 00325 ][correction] On pose un=k=Xn11k2netvn=k=nX12+ 1 1kn Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes. En déduire un équivalent de n1 X1k k=
Exercice 3[ 02272 ][correction] Pour toutnN?, on pose
Enoncés
Sn=Xnk12etS0n=Sn+n1 k=1 Montrer que les suites(Sn)et(S0n)sont adjacentes. On peut montrer que leur limite commune estπ26, mais c’est une autre histoire...
Exercice 5[ 02274 ][correction] [Irrationalité du nombre de Néper] Soient an=nXk!1ebn=nXk1!+n1 1 tn! =an+nn! k=0k=0 a) Montrer que(an)et(bn)sont strictement monotones et adjacentes. On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que eQet pour cela on raisonne par l’absurde en supposant e=pqavecpZ qN?. b) Montrer queaq<e< bqpuis obtenir une absurdité.
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Exercice 6[ 02275 ][correction] [Moyenne arithmético-géométrique] a) Pour(a b)R+2, établir : 2ab6a+b b) On considère les suites de réels positifs(un)et(vn)définies par u0=a v0=betnN un+1=unvn vn+1=un+2vn Montrer que, pour toutn>1,un6vn,un6un+1etvn+16vn. c) Etablir que(un)et(vn)convergent vers une mme limite. Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique deaetbet est notéeM(a b). d) CalculerM(a a)etM(a0)pouraR+. e) ExprimerM(λa λb)en fonction deM(a b)pourλR+.
Exercice 4[ 02273 ][correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit(un)une suite de réels décroissante et de limite nulle. n Pour toutnN, on poseSn=P(1)kuk. k=0 Montrer que les suites extraites(S2n)et(S2n+1)sont adjacentes et en déduire que (Sn)converge.
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé] Viasin 2a sin= 2acosa, on obtient
un= 2n+1s2ninθ+12socnθ+16un+1 Viatan 2a=12tanatn2aa, on obtient 2n+1 vn= 2n+11antan(tθ2(θ2n)+1)>vn+1 sinx∼ →θd’un0. x0xettanxx0xdoncunθetvnvn Les suites(un)et(vn)sont adjacentes de limite commune égale àθ.
Corrections
Exercice 2 :[énoncé] 1n+ 1n=n11+− √n+1+2n60 un+1un=n+ 12 De mmevn+1vn>0et aisémentvnun0d’où l’adjacence de ces deux suites. Notons`leur limite commune, on a Xn1 = 2+`+o(1) = 2n+o(n)2n k=1kn
Exercice 3 :[énoncé] On a Sn+1Sn(=n)1+12>0 0 Sn+1S0n=(n+1)12+n1+1n=(1n1+)12n(n)11+60 et 1
S0nSn=0 n
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Exercice 4 :[énoncé] S2(n+1)S2n=u2n+2u2n+160,S2(n+1)+1S2n+1=u2n+3+u2n+2>0et S2n+1S2n=u2n+10. Les suites(S2n+1)et(S2n)adjacentes elles convergent vers une mme limiteétant et par suite(Sn)converge aussi vers cette limite.
Exercice 5 :[énoncé] a) 1 an+1an(=n+ 1)!>0 donc(an)est strictement croissante. bn+1bn 1 11 +n(n+ 2)(n+ 1)2 =(n (+ 1)!n+ 1)(n+ 1)!nn! =n(n+ 1)(n+ 1)!<0 donc(bn)est strictement décroissante. Enfin bnan=n1n!0 aq< aq+16e6bq+1< bq 1 aqqpa<<q+qq! puis qq! pqa <!< qq!a+ 1
b) On a Par suite
q q Orpq!Zetqq!aq=qPkqq!!Z. Absurde. k=0
Exercice 6 :[énoncé] 2 a)ab>0donne l’inégalité demandée. b) Pourn>1,un=un1vn16un1+2vn1=vnen vertu de a. un+1=unvn>pu2n=unetvn+1=un+2vn62v2n=vn. c) La suite(un)n>1est croissante et majorée parv1donc elle converge vers une limite notée`. La suite(vn)n>1est décroissante est minorée paru1donc elle converge vers une limite notée`0. En passant la relationvn+1=un+2vnà la limite, on obtient`0=`2+`0d’où`=`0
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d) Sib=aalors les deux suites(un)et(vn)sont constantes égales àaet donc M(a a) =a. Sib= 0alors la suite(un)n>1est constante égale à 0 et doncM(a0) = 0. e) Notons(u0n)et(v0n)par le procédé précédent à partir deles suites définies u00=λaetv0=λb. 0 0 = Par récurrence,u0n=λunetvnλvndoncM(λa λb) =λM(a b).
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