Sujet : Analyse, Suites numériques, Suites récurrentes linéaire d'ordre 2

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Suites récurrentes linéaire

d’ordre

2

Exercice 1[ 02298 ][correction]
Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe(un
définie par :u0= 0 u1= 1 + 4iet

∀n∈N un+2= (3−2i)un+1−(5−5i)un

)n>0

Exercice 2[ 02299 ][correction]
Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes :
a)(un)n>0définie paru0= 1 u1= 0et∀n∈N un+2= 4un+1−4un
b)(un)n>0définie paru0= 1 u1=−1et∀n∈N2un+2= 3un+1−un
c)(un)n>0définie paru0= 1 u1= 2et∀n∈N un+2=un+1−un.

Exercice 3[ 02300 ][correction]
Soitθ∈]0 π[. Déterminer le terme général de la suite réelle(un)définie par :

u0=u1= 1et∀n∈N un+2−2 cosθun+1+un= 0

Exercice 4[ 02683 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R+?→R+?vérifiant

∀x >0 f(f(x)) = 6x−f(x)

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(un)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique
r2−(3−2i)r+ (5−5i) = 0.
On obtient
un= (2 +i)n−(1−3i)n

Exercice 2 :[énoncé]
a)un= 2n(1−n)b)un=−3 + 22−nc)un= 2 cos(n−3)1π.

Exercice 3 :[énoncé]
(un)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique

r2−2 cosθr+ 1 = 0

−iθ
de solutionsr=eiθetr=e .
Par suite, il existeα β∈Rtels que

∀n∈N un=αcosnθ+βsinnθ

n= 0donneα= 1etn= 1donneαcosθ+βsinθ= 1donc

Finalement

β= 1−cnisoθsθs2=nisni2θθ tan2 =θ2

θos
tan sinnθ= c ((
∀n∈N un= cosnθ22oc+ns(θ−1))2θ2)

Exercice 4 :[énoncé]
Soitfune fonction solution.
Pourx >0, on considère la suite(un)déterminée par

u0=xet∀n∈N un+1=f(un)

La suite(un)positifs et satisfait la relation deest formée de réels strictement
récurrence linéaire
∀n∈N un+2+un+1−6un= 0

Corrections

2

Les racines de l’équation caractéristique associée sont2et−3de sorte qu’il existe
λ µ∈Rvérifiant
∀n∈N un=λ2n+µ(−3)n

Puisque la suite(un)n’est formée que de réels strictement positifs, il est
nécessaire queµsoit nul.
Après résolution cela donnef(x) = 2x.
Inversement, cette fonction est bien solution.

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