Sujet : Analyse, Topologie, Connexité par arcs

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Connexité par arcs Exercice 8 [ 01154 ] [correction] Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n> 2 Montrer que la sphère unité S ={x∈E/kxk = 1} est connexe par arcs.Exercice 1 [ 01147 ] [correction] Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe. Exercice 9 [ 01155 ] [correction] Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension n> 2.Exercice 2 [ 01148 ] [correction] a) Soit H un hyperplan de E. L’ensemble E\H est-il connexe par arcs?Montrer que l’union de deux connexes non disjoints est connexe. b) Soit F un sous-espace vectoriel de dimension p6n−2. L’ensemble E\F est-il connexe par arcs? Exercice 3 [ 01149 ] [correction] Montrer que l’image d’un connexe par une application continue est connexe. Exercice 10 [ 01156 ] [correction] Montrer que le sous-ensemble deM (R) formé des matrices diagonalisables estn connexe par arcs.Exercice 4 [ 01150 ] [correction] 0Soit f :I→R une fonction dérivable. On suppose que f prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir 0 Exercice 11 [ 01157 ] [correction]que f s’annule. 2 2 Montrer que GL (R) n’est pas connexe par arcs.na) Etablir que A = (x,y)∈I ,x 2.a) A est une partie convexe donc connexe par arcs. b) L’application δ est continue donc δ(A) est connexe par arcs c’est donc un 0intervalle deR.
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Connexité par arcs
Exercice 1[ 01147 ][correction] Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe.
Exercice 2[ 01148 ][correction] Montrer que l’union de deux connexes non disjoints est connexe.
Exercice 3[ 01149 ][correction] Montrer que l’image d’un connexe par une application continue est connexe.
Enoncés
Exercice 4[ 01150 ][correction] Soitf:IRune fonction dérivable. On suppose quef0prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir quef0s’annule. a) Etablir queA=(x y)I2 < y xest une partie connexe par arcs deI2. b) On noteδ:ARl’application définie parδ(x y) =f(y)f(x). Etablir que 0δ(A). c) Conclure en exploitant le théorème de Rolle
Exercice 5[ 01151 ][correction] Soitf:IRinjective et continue. Montrer quefest strictement monotone. Indice : on peut considérerϕ(x y) =f(x)f(y)défini sur X=(x y)I2 < y x.
Exercice 6[ 01152 ][correction] SoientAetBdeux parties connexes par arcs d’unK-espace vectorielEde dimension finie. a) Montrer queA×Best connexe par arcs. b) En déduire queA+B={a+baA bB}est connexe par arcs.
Exercice 7[ 01153 ][correction] SoientAetBdeux parties fermées d’un espace vectoriel norméEde dimension finie. On supposeABetABconnexes par arcs, montrer queAetBsont connexes par arcs.
Exercice 8[ 01154 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé de dimension finien>2 Montrer que la sphère unitéS={xEkxk= 1}est connexe par arcs.
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Exercice 9[ 01155 ][correction] SoitEun espace vectoriel normé réel de dimensionn>2. a) SoitHun hyperplan deE. L’ensembleE\Hest-il connexe par arcs ? b) SoitFun sous-espace vectoriel de dimensionp6n2. L’ensembleE\Fest-il connexe par arcs ?
Exercice 10[ 01156 ][correction] Montrer que le sous-ensemble deMn(R)formé des matrices diagonalisables est connexe par arcs.
Exercice 11[ 01157 ][correction] Montrer que GLn(R)n’est pas connexe par arcs.
Exercice 12[ 01158 ][correction] Montrer que GLn(C)est connexe par arcs.
Exercice 13[ 03737 ][correction] [Théorème de Darboux] Soitf:IRune fonction dérivable définie sur un intervalleIdeR. a) Montrer queU=(x y)I2x < yest une partie connexe par arcs deR2 . b) On noteτ:URl’application définie par
τ(x y) =f(yy)xf(x)
Justifier τ(U)f0(I)τ(U) c) En déduire quef0(I)est un intervalle deR.
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Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé] Le plan privé d’une boule est connexe. Les points exclus étant en nombre fini sont tous inclus dans une mme boule et il suffit de transiter par l’extérieur de celle-ci pour conclure.
Exercice 2 :[énoncé] Si les deux points à relier figurent dans un mme connexe, le problème est résolu, sinon on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.
Exercice 3 :[énoncé] L’image d’un arc continu par une application continue est un arc continu. Ainsi si Xest connexe etfcontinue définie surXalors pour toutf(x) f(y)f(X), l’image parfd’un arc continu reliantxet àyest un arc continue reliantf(x)à f(y)et doncf(X)est connexe.
Exercice 4 :[énoncé] a)Aest une partie convexe donc connexe par arcs. b) L’applicationδest continue doncδ(A)est connexe par arcs c’est donc un intervalle deR. Puisquef0prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonctionfn’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalleδ(A). Par conséquent0δ(A). c) Puisque0δ(A), il existea < bItels quef(a) =f(b). On applique le théorème de Rolle sur[a b]avant de conclure.
Exercice 5 :[énoncé] Xest une partie connexe par arcs (car convexe) etϕest continue doncϕ(X)est une partie connexe par arcs deR, c’est donc un intervalle. De plus0ϕ(X)doncϕ(X)R+?ouϕ(X)R?et on peut conclure.
Exercice 6 :[énoncé] a) Soient(a b)A×Bet(a0 b0)A×B. Par la connexité deAetB, il existe ϕ: [01]Aetψ: [01]Bcontinues vérifiantϕ(0) =a ϕ(1) =a0et ψ(0) =b ψ(1) =b0. L’applicationθ: [01]A×Bdéfinie parθ(t) = (ϕ(t) ψ(t))
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est continue et vérifieθ(0) = (a b)etθ(1) = (a0 b0). AinsiA×Best connexe par arcs. b)A+Best l’image deA×Bpar l’application continue(x y)7→x+ydeE×E versE,A+Best donc connexe par arcs.
Exercice 7 :[énoncé] Il nous suffit d’étudierA. Soienta a0A.AABdonc il existe ϕ: [01]ABcontinue telle queϕ(0) =aetϕ(1) =a0. Siϕne prend pas de valeurs dansBalorsϕreste dansAet résout notre problème. Sinon posons t0= inf{t[01]ϕ(t)B}ett1= sup{t[01]ϕ(t)B}.ϕétant continue et A,Bfermés,ϕ(t0) ϕ(t1)AB.ABétant connexe par arcs, il existe ψ: [t0 t1]ABcontinue tel queψ(t0) =ϕ(t0)etψ(t1) =ϕ(t1). En considérantθ: [01]Rdéfinie parθ(t) =ψ(t)sit[t0 t1]etθ(t) =ϕ(t)sinon, on aθ: [01]Acontinue etθ(0) =a,θ(1) =a0. AinsiAest connexe par arcs.
Exercice 8 :[énoncé] Soienta bS. Sia6=b. On peut alors affirmer que pour toutλ[01],(1λ)a+λb6= 0. L’applicationλ7→k(1λ)1a+λbk((1λ)a+λb)est alors un chemin joignantaàb inscrit dansS. Sia=b, on transite par un pointc6=a bce qui est possible carn>2.
Exercice 9 :[énoncé] a) Non. Si on introduitfforme linéaire non nulle telle queH= kerf,fest continue etf(E\H) =R?non connexe par arcs doncE\Hne peut l’tre. b) Oui. Introduisons une base deFnotée(e1     ep)que l’on complète en une base deEde la forme(e1     en). Sans peine tout élémentx=x1e1+∙ ∙ ∙+xnendeE\Fpeut tre lié par un chemin continue dansE\Fau vecteurensixn>0ou au vecteurensixn<0 (prendrex(t) = (1t)x1e1+∙ ∙ ∙+ (1t)xn1en+ ((1t)xn+t)en). De plus, les vecteursenetenpeuvent tre reliés par un chemin continue dans E\Fen prenantx(t) = (12t)en+ (1t2)en1. AinsiE\Fest connexe par arcs.
Exercice 10 :[énoncé] NotonsDnla partie deMn(R)étudiée et montrons que toute matrice deDn peut-tre reliée par un chemin continu inscrit dansDnà la matriceInce qui suffit pour pouvoir conclure.
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Corrections
SoitA∈ Dn. Il existePGLn(R)telle queP1AP=DavecDdiagonale. Considérons alorsγ: [01]→ Mn(R)définie parγ(t) =P D(t)P1avec D(t) = (1t)D+tIn. L’applicationγest continue, à valeurs dansDnavecγ(0) =Aetγ(1) =In: elle résout notre problème.
Exercice 11 :[énoncé] L’applicationdet :Mn(R)Rest continue et l’image de GLn(R)par celle-ci est R?pas connexe par arcs donc GLqui n’est n(R)ne peut l’tre.
Exercice 12 :[énoncé] Pour montrer que GLn(C)est connexe par arcs, il suffit d’observer que toute matriceAGLn(C)peut tre relier continûment dans GLn(C)à la matriceIn. SoitAGLn(C). La matriceAest trigonalisable, il existePinversible telle que B=P1AP= (bij)soit triangulaire supérieure à coefficients diagonaux non nuls. Nous allons construire un chemin continue joignantInàBdans GLn(C)puis en déduire un chemin joignantInàAlui aussi dans GLn(C). Pouri > j, posonsmij(t) = 0. Pouri < j, posonsmij(t) =tbijde sorte quemij(0) = 0etmij(1) =bij. Pouri=j, on peut écrirebii=ρieiavecρi6= 0. Posonsmii(t) =ρtieitθide sorte quemii(0) = 1,mii(1) =biiet
t[01],mii(t)6= 0
L’applicationt7→M(t) = (mij(t))est continue, elle jointInàBet ses valeurs prises sont des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux non nuls, ce sont donc des matrices inversibles. En considérantt7→P M(t)P1, on dispose d’un chemin continu joignantInàA et restant inscrit dans GLn(C). On peut donc conclure que GLn(C)est connexe par arcs.
Exercice 13 :[énoncé] a) La partieUest convexe donc connexe par arcs. b) Par le théorème des accroissements finis, un taux de variation est un nombre dérivé et donc τ(U)f0(I)
De plus, tout nombre dérivé est limite d’un taux de variation, donc
f0(I)τ(U)
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c) Puisque l’applicationτest continue surUconnexe par arcs, son imageτ(U)est un connexe par arcs deR, c’est donc un intervalle. L’encadrement précédent assure alors aussi quef0(I)est aussi un intervalle deR.
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