Sujet : Géométrie, Courbes de Bézier

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Courbes paramétrées. Géométrie affine.

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Courbes de Bézier

Le problème est consacré à l’étude des courbes dites « courbes de Bézier », du nom de l’ingénieur français
Bézier, l’un des créateurs, dans les années 1960, de cet outil très répandu aujourd’hui dans l’industrie automobile
et plus généralement dans le vaste de domaine d’applications que constitue la conception assistée pas ordinateurs
(CAO).

Notations utilisées dans le problème

ℕdésigne l’ensemble des entier naturels,ℝle corps des réels. Les notations usuelles en découlent pour les
ensembles construits à partir de ceux-là. Par exemple,ℕ∗désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls,ℝ+
l’ensemble des réels positifs ou nuls, etc.
Dans tout le problème, le plan vectoriel2est muni de la base canonique (,) :
=(1, 0)
=(0,1)
Chaque vecteur∈ℝ2s’identifie ainsi au couple de ses coordonnées dans la base canonique.
Un point de vue différent mais cohérent avec ce qui précède permet que les éléments deℝ2soient parfois
appeléspoints, l’ensembleℝ2étant alors muni de sa structure de plan affine et repéré par le repère canonique
(;,) , où= point du plan s'identifie alors au couple de ses coordonnées dans ce repère. On Tout(0, 0)
.
pourra ainsi écrire simplement :
=(,)
pour exprimer que les coordonnées du point (dans le repère canonique sont,) .

Etant donnés deux pointset, on posera−=. Cette écriture est cohérente avec les conventions

précédentes, comme le montre la relation existant entre les coordonnées du vecteuret celles des points
et.
De façon équivalente, on pourra écrire :

=+
Plus généralement, si (désigne un entier naturel non nul,λ1,...,λ famille de) une (scalaires et1,...,)
une famille depoints, l’expression
λ11+λ22+...+λ
désignera le point (ou, selon le contexte, le vecteur) dont les coordonnées sont données conformément à cette
expression.

En particulier, si le-uplet (λ1,...,λ) vérifie∑λ= l’expression1 ,λ11+λ22+...+λdésigne le
=1
barycentre des points (1,..., respectivement des poids) affectés (λ1,...,λ) .
Le candidat remarquera qu’avec ces conventions, la propriété d’associativité du barycentres’exprime d’une
façon très simple et naturelle.

Pour tout entier, on notel’ensemble des-uplets de points du plan.
Autrement dit,=(ℝ2).
On ne fera pas de différence entre1et le planℝ2.
Pour∈ℕet (0,...,)∈+1on définit un arc paramétré(0,…,) : 0,1→ℝ2en procédant par
récurrence sur∈ℕ:
1) Pour∈1on pose0() l’arc paramétré constant (de trajectoire réduite à un point) :

0() :

0,1→ℝ

֏

2) Pour tout≥ ( tout1 et0,1,...,)∈+1on définit l’arc paramétré(0,…, 0,1) :→ℝ2par la
relation :
∀ ∈ … = −   … + … .
0,1 ,(0,1, , ) (1)( )−1(0, ,1,−)1( )−(1,1, )( )

L’arc paramétré :
(0,…,) : 0,1→ℝ2
֏(0,…,)()
est appelé lecourbe de Bézier associée aux(+1)pôles0,1,…,.
Afin d’alléger la notation, pour toute famille∈+1, la courbe de Bézier associée aux (+1) pôlessera le
plus souvent notée,parfois même.
De façon générale, et sauf mention explicite du contraire dans l’énoncé, on ne fera pas appel aux coordonnées
des points.

1.

1.a

1.b
2.

2.a
2.b

2.c

2.d

Partie I

Cas=1 .
Soit=(0,1)∈2.
Exprimer, en fonction du paramètreet des points0et1, le point courant de la courbe de Bézier
associée à la famille, c’est à dire1,() .
Quelle est la trajectoire de l’arc paramétré1,?
Cas2 .
=
Soit=(0,1,2)∈3.
Déterminer(0) et(1) .
Soit, pour∈ {0,1},le milieu deet+1.
1
Montrer que2est le milieu de0et1.
Exprimer en fonction de, le point courant() comme barycentre des trois pôles0,1et2avec
des coefficients dont la somme fait 1.

On suppose0=(−1,1) ,1= et(0, 0)2=(1,1) .
Exprimer les coordonnées ((),()) du point() .
Montrer que la trajectoire de l’arcest incluse dans une parabole dont on précisera l’équation.
Tracer la trajectoire de(on prendra (;, 4 cm). avec unité de longueur de) orthonormé

Partie II

On rappelle qu’une partie non videdu plan est convexe ssi∀(,)∈2,∀λ∈ (10,1 ,−λ)+λ∈.
1. Montrer qu’une partie non vide du plan est convexe ssi
 
∀∈ℕ∗,∀(1,…,)∈,∀(λ1,…,λ)∈(+),∑λ=1⇒∑λ∈.
=1=1
2. Soitune partie non vide du plan, et soitdes parties convexes du plan contenantl’ensemble .
2.a Montrer que l’intersection de tous les convexes appartenant à, c’est à dire∩, est un convexe
∈
contenant .

Dans la suite, pour tout partie non videdu plan, on note( convexe de) l’enveloppe, c’est à dire
l’intersection de toutes les parties convexes du plan contenant.
2.b Soitune partie non vide du plan. Montrer l’équivalence :

2.c

2.d

3.

1.
1.a

1.b

1.c

2.

2.a

2.b

convexe⇔ =() .
Soientetdeux parties non vides du plan. Prouver l’implication
(⊂⇒ (()⊂() .
Soitune partie non vide du plan. Montrer que :
 
()=∈ℝ2,∃∈ℕ∗,∃(1,…,)∈,∃(λ1,…,λ)∈(ℝ+),∑λ=1=∑λ
=1=1
Dans la suite, pour tout entier naturel, et toute famille de points∈, on notera encore()
l’enveloppe convexe des points formant la famille.
Démontrer, par récurrence sur, que pour tout entier naturelet toute famille∈+1, la trajectoire
de,est incluse dans() .

Partie III

Fonctions de Mélange

Démontrer, par récurrence sur, que pour tout entier naturel, il existe+1 fonctions polynômes
,: [0,1]→, de degré inférieur ou égal à, telles que, pour toute famille=(0,...,)∈+1, on
ait

,()=∑,().
=0
On ne chercha pas dans cette question III.1.a à exprimer explicitement les fonctions,(appelées

fonctions de mélange).
Au cours de la démonstration demandée, le candidat mettra en évidence la relation entre+1,,,et
,−1 1vérifiée lorsque≤≤, ainsi que la relation entre+1,0et,0, et celle qui a lieu entre+1,+1et
,.
Dresser un tableau ou vous exprimerez sous forme factorisée les polynômes,( 0) pour≤≤3 et
0≤≤.

Déterminer, pour tout∈ {0,…,}, une formule simple exprimant,() en fonction de, deet de
.
Pour tout∈ {0,…,}, on pose

1
,=0,().


Déterminer∑,.
=0
Déterminer, en fonction deet, la valeur de,(on pourra faire une intégration par parties).

Partie IV

Soit∈ℕ∗et=(0,…,)∈+1.
On se propose ici, d’étudier quelques propriétés géométriques de l’arc,.
Pour cela on exploitera judicieusement la relation

     
,( )==∑0 ,( )=∑=0(1−)−
qui a été établie dans la partie III.
1.a Déterminer,(0) et,(1) .
1.b Exprimer le vecteur,() .

1.c

2.

3.

3.a

3.b

4.

4.a

4.b
5.

On suppose ici les pôlesdeux à deux distincts.
Déterminer la droite tangente à la trajectoire de,au point de paramètre=0 .
Même question en=1 .
Soitϕune transformation affine du plan.
Démontrer que pour tout entier naturelet toute famille∈+1, on a :

0
∀∈,1 ,ϕ(,())=,ϕ()() ,

oùϕ( la famille obtenue en appliquant) désigneϕà chacun des points de la famille.
ɶ ɶ
On notela famille obtenue à partie deen inversant l’ordre des pôles :=(,−1,…,0)∈+1.

Quelle relation a-t-on entre,ɶet,?

Comparer les trajectoires respectives de,ɶet de,.

Soit#un point du planℝ2etla symétrie de centre#.

On suppose que=(0),1=(1),…,0=().

Quelle propriété géométrique possède la trajectoire de,?
Le point#appartient-il alors à cette trajectoire ?
Pour finir on prend=3,0=(−1, 0),1=(0, 2),2=(0,−2) et3= .(1, 0)
Tracer la courbe de Bézier associée à la famille de points (0,1,2,3) .

Le tracé s’ puiera en particulier sur les ta1
ap ngentes à la courbe aux points de paramètre∈120,,et sera
réalisé relativement à un repère orthonormé où l’unité de longueur sera de 2 cm.

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