Sujet : Géométrie, Géométrie des surfaces, Surfaces

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Surfaces Exercice 5 [ 00640 ] [correction] Former une équation cartésienne du cône Σ de sommet A(1, 0, 1) et de directrice (Exercice 1 [ 00636 ] [correction] z = 0 SoitS la surface d’équation Γ : 2 23 3 3 x +y = 1x +y +z = 1 a) A quelle condition l’intersection deS et du plan z =k contient-elle une droite? b) Déterminer les droites incluses dansS non parallèles à (xOy). Exercice 6 [ 00641 ] [correction] c) Montrer que celles-ci sont coplanaires. Former une équation du cône de révolutionC de sommet O, d’axe Δ :x =y =z d) le plan tangent àS en chacun des points d’intersection de ces et de demi-angle au sommet π/3. droites deux à deux? Exercice 7 [ 00642 ] [correction] Exercice 2 [ 00637 ] [correction] Former une équation de la surface de révolutionS obtenue par rotation du cercle Déterminer les plans tangents aux points réguliers de la surface Γ de centre Ω(a, 0, 0) et de rayon r> 0 du plan (xOy) autour de l’axe (Oy). 3Σ :z =xy Exercice 8 [ 00643 ] [correction]contenant la droite déterminée par le système d’équations Former une équation de la surface de révolutionS obtenue par la rotation de la ( courbex = 2  x =ty = 3(z + 1) 2Γ : y =t  2 z =−t Exercice 3 [ 00638 ] [correction] autour de la droite Δ :x =y =z.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: geometrie-mpsi
• Nombre de lectures: 20
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Surfaces

Exercice 1[ 00636 ][correction]
SoitSla surface d’équation
x3+y3+z3= 1

Enoncés

a) A quelle condition l’intersection deSet du planz=kcontient-elle une droite ?
b) Déterminer les droites incluses dansSnon parallèles à(xOy).
c) Montrer que celles-ci sont coplanaires.
d) Déterminer le plan tangent àSen chacun des points d’intersection de ces
droites deux à deux ?

Exercice 2[ 00637 ][correction]
Déterminer les plans tangents aux points réguliers de la surface

Σ :z3=xy

contenant la droite déterminée par le système d’équations
= 2
(yx= 3(z+ 1)

Exercice 3[ 00638 ][correction]
Former une équation cartésienne de la surfaceΣréunion des droites coupant
(xz==10,D2:(yz0==−1etD3:(zx=0=y
D1:

Exercice 4[ 00639 ][correction]
Poura >0, former une équation du cylindreCde génératrice
2+z2=a2
Γ :(xx22++yy2=ax

~
et de directionj.

Exercice 5[ 00640 ][correction]
Former une équation cartésienne du côneΣde sommetA(101)et de directrice
z
Γ :(x20=+y2= 1

Exercice 6[ 00641 ][correction]
Former une équation du cône de révolutionCde sommetO, d’axeΔ :x=y=z
et de demi-angle au sommetπ3.

1

Exercice 7[ 00642 ][correction]
Former une équation de la surface de révolutionSobtenue par rotation du cercle
Γde centreΩ(a00)et de rayonr >0du plan(xOy)autour de l’axe(Oy).

Exercice 8[ 00643 ][correction]
Former une équation de la surface de révolutionSobtenue par la rotation de la
courbe
xz===tt−2t2
Γ :y

autour de la droiteΔ :x=y=z.

Exercice 9[ 00644 ][correction]
Nature de l’intersection de deux cylindres de révolution isométriques d’axes
perpendiculaires.

Exercice 10[ 00645 ][correction]
SoitΣ :x3+y3+z3−3xyz−1 = 0. Montrer queΣest une surface de révolution.

Exercice 11[ 00410 ][correction]
a) Que représentent

S1:x2+y2= 1etS2:y2+ 4z2= 1?

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b) Soient les plansP1: 2z−x= 0etP2: 2z+x= 0. Démontrer que

C=S1∩S2= (S2∩P1)∪(S2∩P2)
c) Vérifier queA(1012)etB√22√22√−24appartiennent àC.
d) Calculer les tangentes àCenAetB, puis la perpendiculaire commune aux
deux tangentes

Exercice 12[ 03718 ][correction]
On considère les surfacesΣ1etΣ2définies par les équations cartésiennes

Σ1: ex+y+z−z

2= 1etΣ2:x2+y

2+z= 1

Déterminer la tangente enA(001)à la courbeΓ = Σ1∩Σ2.

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SoientDune droite incluse dansSet le planz=k. On ax3+y3= 1−k3.
Si la droite est parallèle à(y0Oy)alorsx=Cteetyquelconque ce qui est
impossible.
Sinon la droite esty=ax+bce qui donne(1 +a3)x3+ 3a2bx2+ 3ab2x= 1−k3
donc
k= 1 a=−1etb= 0ce qui donneD1:A(001) +Vect(~u(1−10)).
b) SoitDune droite incluse dansSet non parallèle à(xOy). On peut la
paramétrer par(yx==yx00++bazqui dans l’équation donne :
z
x30+y03+ (3x02a+ 3y02b)z+ (3x0a2+ 3y0b2)z2+ (1 +a3+b3)z3= 1pour tout
z∈Rdonc :
Par identification :a3+b3=−1 (1),a2x0+b2y0 (2)= 0,ax20+by02 (3)= 0et
x03+y30= 1 (4).
x0(2)−a(3)donneb2x0y0−aby20=by0(bx0−ay0).
Sib= 0alorsa=−1,x0= 0ety0= 1:D2=B(010) +Vect(~v(−101)).
Siy0= 0alorsx0= 1,a= 0etb=−1:D3=C(100) +Vect(w~(0−11)).
Sinonx0=aby0et(4)donney0=−b,x0=−apuis une contradiction.
c) Ces droites appartiennent au plan :x+y+z= 1.
d) Ces droites s’interceptent en(−111),(1−11)et(11−1). Le plan tangent
y a pour équationx+y+z= 1.

Exercice 2 :[énoncé]
Le plans tangent àΣenM(x0 y0 z0)régulier (i.e.M6=O) a pour équation

y0x+x0y−3z02z+z03= 0

Ce plan contient la droite spécifiée si, et seulement si,A(20−1)lui appartient et
u~(031)sa direction ce qui conduit au système :appartient à
2xyx000y0=+=z320zz2003+z30= 0

qui a pour solutions(000),(1−1−1)et(4−2−2).
Les plans tangents cherchés ont alors pour équations :−x+y−3z= 1et
x−2y+ 6z+ 4 = 0.

Exercice 3 :[énoncé]
A(0 t1)∈D1,B(u0−1)∈D2,C(v v0)∈D3.
−
A→B∧ −A→C=~0⇔(ut=2=2vv

intsM=A+−→met alors
La surfaceΣformée des droites(AB)i.e. des potABad
pour paramétrage :
x= 2vt
zy1=2=v−−2t2vt


et par élimination on parvient à l’équationxz+yz+x−y= 0.

Exercice 4 :[énoncé]

~
M(x y z)∈ C ⇔ ∃t∈R M+tj∈Γ

Ainsi
C ⇔ ∃t (x2+ (y+t)2=ax⇔ ∃t∈R(z(y2=+at)22−=aax2−
M(x y z)∈ ∈Rx2+ (y+t)2+z2=a2

puis

donc

M(x(z2=a2−ax
 y z)∈ C ⇔ ∃t∈R(y+t)2=ax−x2

C:z2+ax=a2etax>x2

Notons que la dernière condition peut se simplifier enx>0car la première
équation entraînex6a.

Exercice 5 :[énoncé]
A∈Σet pourM(x y z)6=A, on a
−−
A∈Σ⇔ ∃λ∈R A+λAM∈→Γ

3

z2−x2

Après élimination du paramètreλdans le système obtenu, on parvient à l’équation

x2+y2−2xz+ 2z−1 = 0

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Exercice 6 :[énoncé]
Par définition
M(x y z)∈ C ⇔d(MΔ) = sin(π3)OM

Or
d(MΔ) =√31p(x−y)2+ (y−z)2+ (z−x)2
et on parvient alors à l’équation

(x2+y2+z2) + 8(xy+yz+zx) = 0

Exercice 7 :[énoncé]
On peut former un paramétrage du cercleΓ
x=a+rcost
yz==r0nsit


On a

Ainsi

M(x y z)∈ S ⇔ ∃P∈Γ OM2=OP2et−O−M→~−→Pj~
∙j=O∙

M(x y z)∈ S ⇔ ∃t∈R(2arcost=x2+y2+z2−a2−r2
rsint=y

Ce système implique

donc

4a2r2cos2t= (x2+y2+z2−a2−r2)2

4a2r2(1−y2) = (x2+y2+z2−a2−r2)2

Corrections

Inversement, si un pointMvérifie cette équation en posantttel quersint=yet
costdu signe dex2+y2+z2−a2−r2, le système précédent est vérifié.
Finalement

S: (x2+z2)2−2(x2+z2)(a2+r2) + (a2−r2)2+y4+ 2y2(a2+r2) = 0

Exercice 8 :[énoncé]
−
On aM(x y z)∈ S ⇔ ∃P∈Γ OM2=OP2etO−M→~u=O−P∙→u~
∙

avecu(111)vecteur directeur deΔ.
~

Ainsi

Finalement

M(x y z)∈ S ⇔ ∃t∈R(tt2+=x2t+4y=+zx2+y2+z2

S: (x+y+z)4+ (xy+yz+zx) = 0

4

Exercice 9 :[énoncé]
Dans un repère ad hoc, les équations des cylindres sontx2+y2=R2et
x2+z2=R2. Les points intersections vérifient alorsy2=z2et sont donc inclus
dans les plans d’équationsy=zety=−z. L’intersection cherchée apparaît alors
comme la réunion des intersections du premier cylindre et des deux précédents
plans. Cela conduit à des ellipses de petit axeb=R, de grand axea=√2Ret
d’excentricitée=ca= 1√2.

Exercice 10 :[énoncé]
SoitΠλ:x+y+z=λ.
xy−λx−λy) +λ3−1 = 0
M(x y z