Sujet Oraux : CCP, Oraux CCP Algèbre

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00074 ] [correction] a) En appliquant le théorème du rang à la restriction h de f à l’image g, montrer Pour p∈N et a∈R\{0, 1}, on note S l’ensemble des suites (u ) vérifiant quep n rgf +rgg−n6 rg(f◦g) ∃P∈R [X],∀n∈N,u =au +P (n)p n+1 n 2b) Pour n = 3, trouver tous les endomorphismes de E tels que f = 0. a) Montrer que si u∈S , P est unique; on le notera P .p u b) Montrer que S est unR-espace vectoriel.p Exercice 6 [ 03359 ] [correction] c) Montrer queφ, qui àu associeP , est linéaire et donner une base de son noyau.u Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E surR ouC vérifiant Que représente son image? f◦g = Id.k kd) Donner une base de S (on pourra utiliser R (X) = (X + 1) −aX pourp k a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img. k∈ [0,p]). b) Montrer e) Application : déterminer la suite (u ) définie parn E = kerf⊕Img −1u =−2 et u = 2u − 2n + 70 n+1 n c) Dans quel cas peut-on conclure g =f ? d) Calculer (g◦f)◦ (g◦f) et caractériser g◦f Exercice 2 [ 02504 ] [correction] Exercice 7 [ 03701 ] [correction]Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie E. On note E l’espace vectorielR [X] et e = (e ,e ,e ) la base duale de la basea) Montrer que|rg(u)−rg(v)|6 rg(u +v)6 rg(u) +rg(v). 2 1 2 3 ?2 canonique de E. On note v et w les éléments de E définis parb) Trouver u et v dansL(R ) tel que rg(u +v) 1.
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Exercice 1[ 00074 ][correction]
Pourp∈Neta∈R\ {01}, on noteSpl’ensemble des suites(un)vérifiant

∃P∈Rp[X]∀n∈N un+1=aun+P(n)

Enoncés

a) Montrer que siu∈Sp,P on le notera ;est uniquePu.
b) Montrer queSpest unR-espace vectoriel.
c) Montrer queφ, qui àuassociePu, est linéaire et donner une base de son noyau.
Que représente son image ?
d) Donner une base deSp(on pourra utiliserRk(X) = (X+ 1)k−aXkpour
k∈[0 p]).
e) Application : déterminer la suite(un)définie par

u0=−2etun+1= 2un−2n+ 7

Exercice 2[ 02504 ][correction]
Soientuetvdeux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finieE.
a) Montrer que|rg(u)−rg(v)|6rg(u+v)6rg(u) +rg(v).
b) TrouveruetvdansL(R2)tel que rg(u+v)<rg(u) +rg(v).
c) Trouver deux endomorphismesuetvdeR2tel que rg(u+v) =rg(u) +rg(v).

Exercice 3[ 02533 ][correction]
Soientu v:Rn[X]→Rn[X]définies par

u(P) =P(X+ 1)etv(P) =P(X−1)

a) Calculer rg(u−v)en utilisant sa matrice.
b) Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Exercice 4[ 02495 ][correction]
SoitEun plan vectoriel.
a) Montrer quefnon nul est nilpotent si, et seulement si,endomorphisme
kerf=Imf.
b) En déduire qu’un tel endomorphisme ne peut s’écrire sous la formef=u◦v
avecuetvnilpotents.

Exercice 5[ 02585 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension finien,fetgdeux endomorphismes
deE.

1

a) En appliquant le théorème du rang à la restrictionhdefà l’imageg, montrer
que
rgf+rgg−n6rg(f◦g)
b) Pourn= 3, trouver tous les endomorphismes deEtels quef2= 0.

Exercice 6[ 03359 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes d’un espace vectorielEsurRouCvérifiant
f◦g=Id.
a) Montrer queker(g◦f) = kerfet Im(g◦f) =Img.
b) Montrer
E= kerf⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclureg=f−1?
d) Calculer(g◦f)◦(g◦f)et caractériserg◦f

Exercice 7[ 03701 ][correction]
On noteEl’espace vectorielR2[X]ete= (e1 e2 e3)la base duale de la base
canonique deE. On notevetwles éléments deE?définis par
v(P) =P(1)etw(P) =Z1P(t)dt
0
a) Montrer quee0= (e1 v w)est une base deE?.
b) Donner la matrice de passage deeàe0.
c) Donner la base antéduale dee0.

Exercice 8[ 00748 ][correction]
Pour(i j)∈[1 n]2, on considèreai∈Retbj∈Rtels queai+bj6= 0.
Calculer
deta+1bj16i[déterminant de Cauchy]
ij6n
Traiter en particulier le cas où

∀i∈[1 n] ai=bi=i[déterminant de Hilbert]

Exercice 9[ 02547 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien >1.
Montrer quef∈ L(E)de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.
Montrer quef∈ L(E)de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.
Trouver une base deL(E)constituée de projecteurs.

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Exercice 10[ 02563 ][correction]
PourAetBfixées dansMn(R), résoudre dansMn(R)l’équation

X=tr(X)A+B

Exercice 11[ 03702 ][correction]
Soit
1−1 0
A=010000−001

CalculerAnpour toutn∈Z.

Exercice 12[ 02584 ][correction]
Soit(a b)∈R2; calculer

a+b b
. .
.
a .. .
Dn=
. .
. .
. .
(0)a

Exercice 13[ 02596 ][correction]
Soitfun élément non nul deL(R3)vérifiant

f3+f= 0

00
1
−1

(0)

b
a+b[n]

Montrer queR3= kerf⊕Imfet que l’on peut trouver une base dans laquelle
pour matrice
A=000−010010

Exercice 14[ 03160 ][correction]
SoitEun espace vectoriel réel de dimension finien>2.
a) Indiquer des endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE.

Enoncés

fa

2

b) Soit(e1     en)une base deE. Montrer que pour touti∈ {2     n}, la
famille(e1+ei e2     en)est une base deE.
c) Déterminer tous les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est
diagonale dans toutes les bases deE.
d) Quels sont les endomorphismes deEdont la représentation matricielle est la
mme dans toutes les bases deE?

Exercice 15[ 03366 ][correction]
Montrer

1

n

2 1
Dn=..
..
n−1
n n−1

n−1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
  

  

.
.
.
1
2

2

3
.= (−1)n+1(n1+)2nn−1
n
1

Exercice 16[ 03577 ][correction]
Pour une famille denréels distincts(xk)de[0 π], on pose
Pn=Y(cosxi−cosxj)
16i<j6n

a) Combien le produit définissantPncomporte-t-il de facteurs ?
b) Pour(i j)∈[14]2écrire la matriceM∈ M4(R)de coefficient général

mij((j−1)xi)
= cos
c) Montrer quemijest un polynôme encosxi.
d) CalculerdetMen fonction deP4et montrer|detM|<24

Exercice 17[ 03808 ][correction]
a) Montrer que siC∈ Mn(R)vérifie :
∀X∈ Mn(R)det(C+X) = detX
alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC).
b) Montrer que siAetBdeMn(R)vérifient :
∀X∈ Mn(R)det(A+X) = det(B+X)

alorsA=B.

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Exercice 18[ 00042 ][correction]
Soientu,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel.
a) Siλ6= 0est valeur propre deu◦v, montrer qu’il l’est aussi dev◦u.
b) SoitP∈E=R[X],
u(P) =P0etv( =Zx
P)P(t) dt
0
Trouverker(u◦v)etker(v◦u).
c) Montrer que la propriété précédente reste valable pourλ= 0siEest de
dimension finie.

Enoncés

Exercice 19[ 03433 ][correction]
Pour quelle(s) valeurs dex∈R ?, la matrice suivante n’est-elle pas diagonalisable
A=−2−x−x−5+2−xx−xx
5 5 3

Exercice 20[ 02410 ][correction]
Soientn>2,A∈ Mn(R)etfl’endomorphisme deMn(R)défini par
f(M) =tr(A)M−tr(M)A

où tr désigne la forme linéaire trace.
Etudier la réduction de l’endomorphismefet préciser la dimension de ses
sous-espaces propres.

Exercice 21[ 02493 ][correction]
Soienta1     an∈C?, tous distincts etP(x) = det(A+xIn)avec
0a2∙ ∙ ∙an

A=a10.
a.1∙ ∙ ∙a.n.−.1a0n

a) CalculerP(ai)et décomposer en éléments simples la fraction
P(x)
n
Q(x−ai)
i=1
b) En déduiredetA.

Exercice 22[ 02497 ][correction]
Soitaun réel. PourM∈ Mn(R)(avecn>2), on pose
L(M) =aM+tr(M)In
a) Montrer queLest un endomorphisme deMn(R)et trouver ses éléments
propres et son polynôme minimal.
b) Pour quelsa, l’endomorphismeL ?est-il un automorphisme
Trouver son inverse dans ces cas.

Exercice 23[ 02501 ][correction]
SoientEunK-espace vectoriel de dimension quelconque,u∈ L(E)etP∈K[X]
ayant 0 comme racine simple et tel queP(u) = 0.
a) Montrer
keru2= keruet Imu2=Imu
b) En déduite
E= keru⊕Imu

Exercice 24[ 02502 ][correction]
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie,u∈ L(E),v∈ L(E)
diagonalisables vérifiantu3=v3. Montrer queu=v.

3

Exercice 25[ 02511 ][correction]
Soita∈Retn>2.
a) Montrer queφ(P)(X) = (X−a) (P0(X)−P0(a))−2(P(X)−P(a))définit un
endomorphisme deRn[X].
b) A l’aide de la formule de Taylor, déterminer l’image et le noyau deφ.
c) Trouver ses éléments propres. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

Exercice 26[ 02513 ][correction]
Soituun endomorphisme d’unR-espace vectorielEde dimension finie tel qu’il
existe deux réels non nuls distinctsaetbvérifiant

(u−aId)(u−bId) = 0

Soient
p=b−1a(u−aId)etq=a−1b(u−bId)
a) Calculerp+q,p◦p,q◦qetq◦p.
b) Montrer queE= kerp⊕kerq.
c) Trouver les éléments propres deu. L’endomorphismeu ?est-il diagonalisable

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Enoncés

Exercice 27[ 02521 ][correction]
PourA= (aij)∈ Mn(C)etB= (bij)∈ Mn(C), on définitA ? B∈ Mn2(C)par
a11
A ? B=an.1BB∙∙∙∙∙∙aa1n.nnBB

a) Montrer que siA A0 B B0∈ Mn(C)alors(A ? B)(A0? B0) = (AA0)?(BB0).
b) En déduire queA ? Best inversible si, et seulement si,AetBsont inversibles.
c) Déterminer le spectre deA ? B.
En déduire le polynôme caractéristique, la trace et le déterminant deA ? B.

Exercice 28[ 02522 ][correction]
Soit(a1     an−1)∈Cn−1.
a) Quel est le rang deA∈ Mn(C)définie par
0∙ ∙ ∙0a1
A= .. .?
a01∙∙∙∙∙∙a01an0−1
n−

b) Avec la trace, que peut-on dire des valeurs propres ?
c)Aest-elle diagonalisable ?

Exercice 29[ 02524 ][correction]
SoientA B∈GLn(C)telles queB=Ap.
Montrer queAest diagonalisable si, et seulement si,Bl’est.

Exercice 30[ 02526 ][correction]
Montrer que la matrice
13
−−25

−5
7
4

−27
−8

est trigonalisable et préciser la matrice de passage.

Exercice 31[ 02536 ][correction]
Soienta b c dquatre nombres complexes aveca2+b26= 0et
dcbadc
A=−−bd−ac−b a
−c d a−b

4

a) CalculerAtA,detAet montrer que rg(A) = 2ou4.
b) On poseα2=b2+c2+d2supposé non nul. Montrer queAest diagonalisable.

Exercice 32[ 02543 ][correction]
Expliquer brièvement pourquoi

tcom(A)A= det(A)In

On suppose queAadmetn que vaut ;valeurs propres distinctesdet(A)?
Que représente un vecteur propre deApourtcom(A)?
On suppose de plus queAn’est pas inversible. Déterminer

dim kertcomA

Prouver quetcomAn’admet que deux valeurs propres, les expliciter.

Exercice 33[ 03191 ][correction]
a) Montrer que siPest un polynôme annulateur d’un endomorphismefalors
P(λ) = 0pour toute valeur propreλdef.
b) Montrer que sifvérifie

alorsfest bijectif.

f3+ 2f2−f−2Id= 0

Exercice 34[ 03192 ][correction]
SoitA∈ M2(Z)telle quedetA= 1et qu’il existep∈N?pour lequel

p
A=In

a) Montrer queAest diagonalisable dansC.
On noteαetβles deux valeurs propres deA.

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¯
b) Montrer que|α|=|β|= 1, queα=βet

|Re(α)| ∈ {0121}

Enoncés

c) Montrer queA12=I2
d) Montrer que l’ensembleG={Ann∈N}est un groupe monogène fini pour le
produit matriciel.

Exercice 35[ 02577 ][correction]
a) Montrer queΦ, qui àPassocie

(X2−1)P0(X)−(4X+ 1)P(X)

est un endomorphisme deR4[X].
b) Résoudre l’équation différentielle
y0=5−−λ(321)+x++λ1)y
2(x

c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres deΦ.

Exercice 36[ 03795 ][correction]
KdésigneRouC.
On dit qu’une matriceA∈ Mn(K)vérifie la propriété(P)si

∃M∈ Mn(K)∀λ∈Kdet(M+λA)6= 0

a) Rappeler pourquoi une matrice deMn(C)admet au moins une valeur propre.
b) SoitTune matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
Calculerdet(In+λT). En déduire queTvérifie la propriété(P)
c) Déterminer le rang de la matrice
Tr=00I0r∈ Mn(K)

d) SoientAvérifiant(P)etBune matrice de mme rang queA; montrer

∃(P Q)∈GLn(K)2 B=P AQ

et en déduire queBvérifie(P).
e) Conclure que, dansMn(C), les matrices non inversibles vérifient(P)et que ce
sont les seules.
f) Que dire des cette propriété dans le casMn(R)(on distingueranpair etn
impair) ?

Exercice 37[ 02595 ][correction]
Soient(a1     an)∈(R?+)net
aa21
N=
a.n

a1
a2
.
an

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

a1
a2

.
an

CalculerN2, la matriceNest-elle diagonalisable ?
Montrer queM= 2N+Inest inversible et calculerM−1.

Exercice 38[ 02598 ][correction]
SoientAetBdeux matrices réelles carrées d’ordrentelles qu’il existe un
polynômeP∈R[X]de degré au moins égal à 1 et vérifiantP(0) = 1et
AB=P(A).
Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.

Exercice 39[ 03187 ][correction]
a) Soitfun endomorphisme d’unR-espace vectoriel de dimension finie. Siaest
valeur propre def, de multiplicitém, et siE(f a)est le sous-espace propre
attaché, montrer
16dimE(f a)6m

b) Soit

A=


1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

12
43

Déterminer simplement les valeurs propres deA.
La matriceA ?est-elle diagonalisable

Exercice 40[ 03056 ][correction]
Soientλ µ∈C?,λ6=µetA B M∈ Mp(C)telles que

Ip=A+B
M=λA+µB
M2=λ2A+µ2B

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a) Montrer queMest inversible et exprimerM−1.
On pourra utiliserM2−(λ+µ)M+λµIp
b) Montrer queAetBsont des projecteurs.
c)Mest-elle diagonalisable ? Déterminer son spectre.

Exercice 41[ 03205 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE
vérifiant
u3+u= 0

a) Montrer que l’espace Imuest stable paru.
b) Pourx∈Imu, calculeru2(x)
c) Soitvl’endomorphisme induit parusur Imu.
Montrer quevest un isomorphisme.
d) En déduire que le rang de l’endomorphismeuest un entier pair.

Exercice 42[ 03215 ][correction]
SoitA∈ M3(R)telle que
SpA={−213}
a) ExprimerAnen fonction deA2,AetI3.
b) Calculer
+∞A2n
=
ch(A)n=X0(2n)!

Exercice 43[ 03299 ][correction]
Soientn>2,AetBdes matrices deMn(Z)de déterminants non nuls et
premiers entre eux.
Montrer qu’il existeUetVdansMn(Z)telles que

U A+V B=In

(on pourra écrireχA(X) =XQA(X) + detA)
On donnera un exemple pourn= 2.

Exercice 44[ 03810 ][correction]
a) Trouver les valeurs propres des matricesM∈ M2(R)vérifiant
M2+M=1111

Enoncés

b) Déterminer alors les matricesMsolutions à l’aide de polynômes annulateurs
appropriés.

Exercice 45[ 03809 ][correction]
a) Déterminer l’ensembleΩdes réelsatels que
A=1211a1−−−121

6

n’est pas diagonalisable.
b) Poura∈Ω, trouverPinversible telle queP−1APsoit triangulaire supérieure.

Exercice 46[ 03450 ][correction]
On considère unR-espace vectoriel de dimension finieE,uun endomorphisme de
E,U= (uij)la matrice deudans une base deE,eijles projecteurs associés à
cette base etEijla matrice de ces projecteurs.
On considèreϕl’endomorphisme dansL(E)tel que

ϕ(v) =u◦v

a) Montrer queϕetuont les mmes valeurs propres.
b) CalculerU Eijen fonction desEkj. En déduire qu’il existe une base deL(E)
dans laquelle la matrice deϕest diagonale par blocs.
c) Exprimer cette matrice.

Exercice 47[ 03582 ][correction]
SoientA Bfixés dansRn[X].
On notefl’application qui, àP∈Rn[X]associe le reste de la division
euclidienne deAPparB.
a) Montrer quefest un endomorphisme ; est-ce un isomorphisme ?
b) On suppose dans la suite que les polynômesAetBpremiers entre eux avecB
scindé à racines simples ; donner les valeurs propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?

Exercice 48[ 03583 ][correction]
Trigonaliser la matrice

A=

1 0 0
0010−21

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Exercice 49[ 03693 ][correction]
Soit la matrice
A=0−b a∈
−ba0c−0cM3(R)

a)Aest-elle diagonalisable dansM3(R)?
b)Aest-elle diagonalisable dansM3(C)?
c) Soitλ la matrice ;un réel non nulB=A+λI3est-elle inversible ?
d) Montrer qu’il existe trois réelsα β γtels que

B−1αA2+βA+γI3
=

Exercice 50[ 03767 ][correction]
Considérons la matriceAsuivante :
A=01k11010M4(C)
0 1 0 0∈
0 1 0 0

1. On supposekréel, la matriceAest-elle diagonalisable dansM4(R)? (sans
calculs) ;
2.a) Déterminer le rang deA.
2.b) Donner la raison pour laquelle le polynôme caractéristique deAest de la
forme
X2(X−u1)(X−u2)
avecu1,u2appartenant àC?et vérifiant

u1+u2=ketu21+u22=k2+ 6

2.c) Etudier les éléments propres dans le cas oùu1=u2.
2.d) En déduire les valeurs dekpour queAsoit diagonalisable dansM4(C).

Enoncés

Exercice 51[ 03776 ][correction]
SoientEunC-espace vectoriel de dimension finie ete= (e1     en)une base de
E.
On considère l’endomorphismefdeEdéterminé par

n
∀k∈ {1     n} f(ek) =ek+Xei
i=1

a) Donner la matrice defdanse.
b) Déterminer les sous-espaces propres def.
c) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?
d) Calculer le déterminant def. L’endomorphismef ?est-il inversible

7

Exercice 52[ 00073 ][correction]
On munitE=C([−11]R)du produit scalaire :
(f|g)1=2Z11f(x)g(x) dx

Pouri∈ {0123}, on notePi(x) =xi.
a) Montrer que la famille(P0 P1 P2)est libre mais pas orthogonale.
b) Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée(Q0 Q1 Q2)de
F=Vect(P0 P1 P2)à partir de la famille(P0 P1 P2).
c) Calculer la projection orthogonale deP3surFet la distance deP3àF.

Exercice 53[ 02494 ][correction]
a) Montrer que dansR3euclidien

a∧(b∧c) = (a|c)b−(a|b)c

(on pourra utiliser les coordonnées dea b cdans une base où elles comportent un
maximum de 0)
b) Trouver les valeurs propres et vecteurs propres def(x) =a∧(a∧x)oùaest
un vecteur unitaire puis reconnaîtref.

Exercice 54[ 02571 ][correction]
a) Montrer que(f|g) =R01f(t)g(t) dtdéfinit un produit scalaire sur l’ensembleE
des fonctions continues surRengendré parf1(x) = 1,f2(x) = exetf3(x) =x.
b) Pour quels réelaetbla distance def2(x)àg(x) =ax+best-elle minimale ?

Exercice 55[ 03117 ][correction]
a) Montrer que(A|B) =tr(AtB)définit un produit scalaire surMn(R).
b) Montrer queSn(R)etAn(R)sont supplémentaires et orthogonaux.
Exprimer la distance de
M=1233012∈ M3(R)
1 2

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àS3(R).
c) Montrer que l’ensembleHdes matrices de trace nulle est un sous-espace
vectoriel deMn(R)et donner sa dimension.
Donner la distance àHde la matriceJdont tous les coefficients valent 1.

Exercice 56[ 03805 ][correction]
a) Enoncer le procéder d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
b) Orthonormaliser la base canonique deR2[X]pour le produit scalaire
(P Q)7→Z−11P(t)Q(t) dt

Enoncés

Exercice 57[ 00083 ][correction]
SoitEun espace euclidien de dimensionn>2,aun vecteur unitaire deEetkun
réel,k6=−1.
a) Montrer que
f(x) =x+k(x|a)a

définit un endomorphisme autoadjoint deE.
b) Montrer quefest un automorphisme.
c) Etudier les valeurs propres et les sous-espaces propres def.

Exercice 58[ 02420 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel euclidien etudansL(E).
a) Montrer quekeru?= (Imu)⊥et Imu?= (keru)⊥.
b) On supposeu2= 0.
Montrer
ker(u+u?) = keru∩keru?

En déduire

u+u?inversible⇔keru=Imu

Exercice 59[ 02552 ][correction]
On noteEl’espace vectorielRn,n>2, muni de sa structure euclidienne
canonique. Le produit scalaire est noté(|).
On dit qu’une applicationf:E→Eest antisymétrique si

∀x y∈E,(x|f(y)) =−(f(x)|y)

a) Montrer qu’une application antisymétrique deEest linéaire.
Que dire de sa matrice dans la base canonique deE?
b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes antisymétriques deEest un
sous-espace vectoriel deL(E)et donner sa dimension.

Exercice 60[ 02554 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal deEeuclidien etv=u−Id.
a) Montrer quekerv= (Imv)⊥.
b) Soit
n−1
un=n1Xuk
k=0
Montrer que(un(x))converge, pour tout vecteurx, vers le projeté orthogonal de
xsurkerv.

Exercice 61[ 02737 ][correction]
SoitEeuclidien orienté de dimension 3 etun espace vectoriel réel f∈ L(E).
Montrer l’équivalence de :
(i)f?=−f;
(ii) il existew∈Etel quef(x) =w∧xpour toutx∈E.

Exercice 62[ 02413 ][correction]
On considère la matrice
−2
A=−−122−−221−21

a) Justifiez queAest diagonalisable.
b) DéterminerPetDdansM3(R)telles quetP=P−1,Dest diagonale et
tP AP=D.

Exercice 63[ 03379 ][correction]
Soituun automorphisme orthogonal d’un espace euclidienEde dimensionn.
a) On posev=u−Id. Montrer

kerv= (Imv)⊥

b) Soitx∈E. Justifier l’existence de(x1 y)∈kerv×Etel que

x=x1+v(y)

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Montrer
N−1
N1Xuk(x) =x1+N1(uN(y)−y)
k=0
c) On notepla projection orthogonale surkerv. Montrer

∀x∈ENl→im+∞p(x)−N1NX−1uk(x 0) =
k=0

Exercice 64[ 03398 ][correction]
Justifier que
A=−−221−−22−12
1−2
est diagonalisable et trouverPtelle quetP APsoit diagonale.

Exercice 65[ 03434 ][correction]
SoientEun espace euclidien dont le produit scalaire est noté(|)etuun
endomorphisme deEvérifiant

∀x∈E(u(x)|x) = 0

a) Montrer queu?=−u.
b) Montrer que l’image et le noyau deusont supplémentaires.
c) Montrer que le rang deuest pair.

Exercice 66[ 03591 ][correction]
Soienta∈R?,uun vecteur unitaire deR3euclidien.
a) Montrer que l’applicationfadéfinie par

fa(x) =x+ahx uiu

est un endomorphisme deR3.
b) Montrer qu’il existe un uniquea06= 0vérifiant

∀x∈R3kfa0(x)k=kxk

Donner la nature defa0(on pourra s’intéresser àfa20).
c) Montrer quefaest un endomorphisme symétrique et déterminer ses éléments
propres.

Enoncés

Exercice 67[ 03618 ][correction]
Soitfun endomorphisme bijectif d’un espace euclidienEvérifiant :
∀(x y)∈E2(f(x)|y) =−(x|f(y))

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a) Montrer que pour tout vecteurxdeE, les vecteursxetf(x)sont orthogonaux.
b) Montrer que l’endomorphismes=f◦fest symétrique.
Soital’une de ses valeurs propres etVale sous-espace propre associé.
c) Soitx∈Va\ {0E}. Montrer que
(s(x)|x) =akxk2=− kf(x)k2

et en déduire quea <0.
d) On considère toujoursx∈Va\ {0E}
Montrer queF=Vect(x f(x))etF⊥sont stables parf.
Montrer que l’endomorphisme induit surFparfa une matrice de la forme
b0−0b

dans une base orthonormée (on préciserab)
e) Conclure que la dimensionEest paire.

Exercice 68[ 03384 ][correction]
Soit(e1     en)une base quelconque d’un espace euclidienE.
a) Montrer que l’endomorphismefdonnée par
n
f(x) =X(ek|x)ek
k=1
est autoadjoint et défini positif.
b) Montrer qu’il existe un endomorphisme autoadjoint positifgdeEtel que
g2f−1
=

c) Montrer que la famille(g(e1)     g(en))est une base orthonormale deE
(indice : on pourra introduire les vecteursuitels quef(ui) =ei)

Exercice 69[ 03692 ][correction]
Soitpun entier naturel impair etuun endomorphisme symétrique d’un espace
euclidien de dimensionn.
a) Montrer qu’il existe un unique endomorphisme symétriquevtel quevp=u.
b) Que se passe-t-il sip ?est pair
c) Sipest pair etupositif ?
d) Sipest pair etuetvpositifs ?

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Exercice 70[ 03787 ][correction]
PourPappartenant à l’ensemble des polynômes de degré inférieur à 2, on pose
φ(P) =Z−11P2(t) dt

Enoncés

a) Montrer queφ12est la norme associée à un produit scalaire que l’on précisera.
b) Calculer la matrice de la forme quadratiqueφdans la base canonique.
c) En déduire la forme analytique donnant l’expression deφrelativement à la
base canonique.
d) Ecrire
φ(P) =αa2+βb2+γc2

avecα β γ∈Reta b cles coordonnées deP

dans une base à préciser.

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