Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Analyse

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00246 ] [correction] Montrer que (v ) converge. Exprimer sa limite en fonction de ‘.n 1La fonction t7→ sin si t> 0 et 0 si t = 0 est-elle continue par morceaux sur c) Calculer ‘ en utilisant f(x) = ln(1 +x).t +[0, 1]? d) Si f deR dansC est continue et vérifie f(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite (v ).n Exercice 2 [ 00316 ] [correction] Exercice 6 [ 00323 ] [correction]n 2Montrer que l’équation x +x − 1 = 0 admet une unique racine réelle strictement Développement asymptotique à trois termes de : positive pour n> 1. On la note x . Déterminer la limite ‘ de la suite (x ) puis unn n néquivalent de x −‘. Xn k u = sinn 2n k=1 Exercice 3 [ 00317 ] [correction] nPour tout entier n> 2, on considère l’équation (E ) :x =x + 1 dont l’inconnuen Exercice 7 [ 00563 ] [correction] est x> 0. Soit (u ) une suite strictement croissante de réels de [0, 1] de limite 1. Déterminern a) Montrer l’existence et l’unicité de x solution de (E ).n n les fonctions f∈C([0, 1],R) vérifiant b) Montrer que (x ) tend vers 1.n +∞Xf(u x + 1−x)c) Montrer que (x ) admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisn n ∀x∈ [0, 1],f(x) = npremiers termes de ce développement limité.
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 53
Voir plus Voir moins
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Enoncés
Exercice 1[ 00246 ][correction]Montrer que(vn)converge. Exprimer sa limite en fonction de`. La fonctiont7→sint1sit >0et 0 sit= 0 Calculer c)est-elle continue par morceaux sur`en utilisantf(x) = ln(1 +x). [01]? d) SifdeR+dansCest continue et vérifief(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite(vn). Exercice 2[ 00316 ][correction]Ex cice 6[ 00323 ][correction] Montrer que l’équationxn+x21 = 0admet une unique racine réelle strictement Déveerloppement asymptotique à trois termes de : positive pourn>1. On la notexn. Déterminer la limite`de la suite(xn)puis un équivalent dexn`.un=Xnsik nn2 k=1 Exercice 3[ 00317 ][correction] Pour tout entiern>2, on considère l’équation(En) :xn=x+ 1dont l’inconnueExercice 7[ 00563 ][correction] estx>0.0 a) Montrer l’existence et l’unicité dexnsolution de(En)s.eofoStli(nucnti)nsuneofieédrstleaénredetnasisrotcenemctristsiuet[1]de limite 1. Détermine b) Montrer que(xn)tend vers 1.∈ C([01]R)v+f(unx c) Montrer que(xn)admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisx[01] f(x) =X+2n1x) premiers termes de ce développement limité.1 n=
Exercice 4[ 00318 ][correction] Pourn>2, on considère le polynôme Pn=XnnX+ 1 a) Montrer quePnadmet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn. b) Déterminer la limite dexnlorsquen+. c) Donner un équivalent de(xn)puis le deuxième terme du développement asymptotiquexn.
Exercice 5[ 00319 ][correction] a) Soit np un=Xn1+k k=1 pN?est fixé. Montrer que la suite(un)converge. Sa limite sera notée`(on ne demande pas ici de la calculer) b) Soitf:R+Cde classeC1et telle quef(0) = 0. Soit Xf vn=npn1+kk=1
1
r
Exercice 8[ 02436 ][correction] Calculer Z3rcsin2+1tt2dt a 0
Exercice 9[ 02444 ][correction] Soit f(x) =Zxx2dnltt a) Calculer les limites defen0+et+, la limite en+def(x)xet montrer quef(x)tend versln 2quandxtend vers 1. b) Montrer quefest de classeCsurR+?mais qu’elle ne l’est pas surR+. c) Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative.
Exercice 10[ 02471 ][correction] Soitf(x) = (cosx)1xet(C)le graphe def. a) Montrer l’existence d’une suite(xn)vérifiant : i)(xn)est croissante positive. ii) la tangente à(C)en(xn f(xn))passe parO. b) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de(xn). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Exercice 11[ 03181 ][correction] Déterminer un équivalent de Z1ln(x1n+1x) dx In= 0
Exercice 12[ 03184 ][correction] SoientKun réel strictement supérieur à 1 et(εn)une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit(un)une suite de réels de[01]vérifiant nN06un+16unK+εn
La suite(un)converge-t-elle vers 0 ?
Exercice 13[ 00525 ][correction] Justifier l’existence et calculer I=Z0+t[1t] dt
Exercice 14[ 00572 ][correction] Soitf∈ C2([0+[R). On suppose quefetf00sont intégrables. a) Montrer quef0(x)0quandx+. b) Montrer queff0est intégrable.
Exercice 15[ 02446 ][correction] a) Soitf∈ C1([a b]R). Déterminer les limites des suites (Zbaf(t) sin(nt) dt)et(Zabf(t) cos(nt) dt) b) Calculer, pournN?, Z0π2sin(2snint) cost dt t
(on procédera par récurrence) c) En déduire Z+0sitntdt
Enoncés
d) Etudier la limite puis un équivalent de Z0π2ln(2 sin(t2)) cos(nt) dt!
Exercice 16[ 03334 ][correction] x La fonctionx7→R0sin(et) dtadmet-elle une limite en+? Exercice 17[ 01056 ][correction] a) Donner un développement asymptotique à deux termes de n un=Xlnpp p=2
On pourra introduire la fonctionf:t7→(lnt)t. b) A l’aide de la constante d’Euler, calculer
+X(1)nlnnn n=1
Exercice 18[ 01083 ][correction] Soienta bR. Déterminer la nature de la série Xlnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) n>1
Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.
Exercice 19[ 01325 ][correction] SoitjN. On noteΦjle plus petit entierpN?vérifiant p1 Xn>j n=1
a) Justifier la définition deΦj. b) Démontrer queΦjj−−++. Φ c) DémontrerΦjj+1j−−+−→e.
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Enoncés
Exercice 20[ 02418 ][correction]Exercice 24[ 02429 ][correction] Former un développement asymptotique à trois termes de la suite(un)définie par On fixexR+?. PournN?, on pose x u1= 1etnN?,un+1= (n+unn1)1nun=nx!nYnln1 +kk=1 Exercice 21[ 02423 ][correction]a) Etudier la suite de terme généralln(un+1)ln(un). se +)p On poun=p+X=n(p)11+αetvn=pX=n(p()1+1αelasuitecedesEtednndéeixuileirrulqb)abEt(uαn)nR>1réeilesaleuqt:alérénegrmtedecalrsitime.evnoeegrérptesic a) Déterminer la nature de la série de terme généralunselonα.ln(un+1)ln(un)αln 11 +nb) Déterminer la nature de la série de terme généralvnselonα. converge. c) Etablir l’existence deAR?tel queunAnα. Exercice 22[ 02424 ][correction]d) Etudier la convergence de la série de terme généralun. Convergence et calcul, pourzC, de n +Xz2EOxeroctieceun25=[R00π24430(t]a[ncot)rrnedctt.ion] n=01z2n+1n n a) Déterminer la limite deun. b) Trouver une relation de récurrence entreunetun+2. Exercice 23[ 02428 ][correction]Donner la nature de la série de terme généralc) (1)nun. On pose d) Discuter suivantαR, la nature de la série de terme généralunnα. f(x) lnxx = a) Nature des séries de termes générauxf(n)puis(1)nf(n). b) Montrer la convergence de la série de terme général n f(n)Zn1f(t) dt
c) Calculer +X(1)nf(n) n=1 Indice : On pourra s’intéresser à la quantité
n2n 2Xf(2k)Xf(k) k=1k=1
Exercice 26[ 02431 ][correction] Soita >0 > b0et pournN?, n n An=n1X(a+bk),Bn=Y(a+bk)1n k=1k=1 TrouverlnimBAnnen fonction dee.
Exercice 27[ 02432 ][correction] a) EtudierPunun=Rd1x 0 1+x+∙∙∙+xn. b) EtudierPvnvn=R1xndx 0 1+x+∙∙∙+xn.
3
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Exercice 28[ 02433 ][correction] Soitα >0et(un)n>1la suite définie par : u1>0etn>1,un+1=u1 n+nαun a) Condition nécessaire et suffisante surαpour que(un)converge. b) Equivalent deundans le cas où(un)diverge. c) Equivalent de(un`)dans le cas où(un)converge vers`.
Enoncés
Exercice 29[ 02434 ][correction] Soit, pourxR, f(x cos) =x13x23 a) Nature la série de terme général un=Znn+1f(x) dxf(n) b) Nature de la série de terme généralf(n). (indice : on pourra montrer quesinn13n’admet pas de limite quandn+c) Nature de la série de terme général sinn13n23
Exercice 30[ 02443 ][correction] a) Existence de x A=xli+mZsin(t2) dt 0 +b) Montrer queAse met sous la formeA=P(1)nunavecun>0. En déduire n=0 A>0. c) Mmes questions avec B=+Zx lim cos(t2)dt x0 d) Comment retrouver ces résultats avec un logiciel de calcul formel
Exercice 31[ 00926 ][correction] Calculer +n→∞Z0etsinn(t) dt lim
Exercice 32[ 00939 ][correction] Soientα >0,nN. On pose un(α) =Z0π2(sint)α(cost)ndt a) Nature de la série de terme généralun(1). b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α). c) CalculerPun(α)pourα= 23. n=1
Exercice 33[ 02435 ][correction] Etudier la limite de Z1tn) dt f( 0 f: [01]Rest continue.
Exercice 34[ 02438 ][correction] a) Démontrer la convergence de la série de terme général
b) Comparer
c) En déduire :
n! an=nn anetnZ0+ tnentdt ++nX=1an=Z0(tett)2dt 1te
Exercice 35[ 02439 ][correction] SoientaC,|a| 6= 1etnZ. Calculer Z20πeiteintdt a
4
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Exercice 36[ 02445 ][correction] On pose IZ101+1tndt n= pour tout entiern >0. a) Trouver la limite`de(In). b) Donner un équivalent de(`In). c) Justifier +Z01ln(1 +yd)y=X((k+1)1k)2 yk=0 d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(In).
Exercice 37[ 00465 ][correction] SoientE=C1([01]R)etN:ER+définie par N(f) =sf2(0) +Z1 f02(t)dt 0
a) Montrer queNdéfinit une norme surE. b) ComparerNetkk.
Exercice 38[ 00477 ][correction] SoitEun espace vectoriel réel normé. On pose f( ) 1 x(x1ma=kxk)x Montrer quefest 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme surEest hilbertienne alorsfest 1-lipschitzienne.
Exercice 39[ 02409 ][correction] a) Quelles sont les valeurs deaRpour lesquelles l’application (x y)7→Na(x y) =px2+ 2axy+y2 définit une norme surR2. b) SiNaetNbsont des normes, calculer infNa(x y)N (xy)6=0Nb(x y)et(xsyu)6p=0Nab((xyxy))
Enoncés
Exercice 40[ 02411 ][correction] Soit E=f∈ C2([0 π]R)f(0) =f0(0) = 0a) Montrer que N:f7→ kf+f00kest une norme surE. b) Montrer queNest équivalente à
ν:f7→ kfk+kf00k
Exercice 41[ 02412 ][correction] Soient l’espaceE=f∈ C1([01]R)f(0) = 0etNl’application définie surE par N(f) =N(3f+f0) a) Montrer que(E N)est un espace vectoriel normé puis qu’il existeα >0tel queN(f)6αN(f). b) Les normesNetNsont-elles équivalentes ?
Exercice 42[ 00750 ][correction] e PourA∈ Mn(K), on noteAla transposée de la comatrice deA. e a) CalculerdetA. e b) Etudier le rang deA. e e c) Montrer que siAetBsont semblables alorsAetBle sont aussi. e d) CalculerA.
Exercice 43[ 01108 ][correction] SoitEleR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme
kuk= sup|un| nN Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A={suites croissantes},B={suites convergeant vers 0}, C={suites convergentes}, D=suites admettant0pour valeur d0adhérenceetE={suites périodiques}.
5
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Enoncés
Exercice 44[ 01129 ][correction]a) Trouver la limite de(an). Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé. b) Trouver une relation simple entrean+2etan. c) On pose un(x) =anxn Exercice 45[ 02415 ][correction]nα SoitAune partie non vide deRtelle que pour toutx Donnerréel il existe un et un seulde la série de terme général la nature un(x)en fonction dexet deα. yAtel que|xy|=d(x A). Montrer queA d)est un intervalle fermé. On pose +f(x) =Xanxn Exercice 46[ 03285 ][correction]n=1 SoientEespace normé de dimension quelconque etun uun endomorphisme deEExprimerfà l’aide des fonctions usuelles. vérifiant xEku(x)k6kxk Pour toutnN, on pose 1n vn=n+ 1kX=0uk a) Simplifiervn(uId). b) Montrer que Im(uId)ker(uId) ={0} c) On supposeEde dimension finie, établir
Exercice 49[ 02449 ][correction] Soit(an)la suite définie par a0= 1etan=n!1Z10nkY01=(tk) dtpournN? a) Rayon de convergence dePanx. n b) Somme dePanxn.
6
Im(uId)ker(uId) =E Exercice 50[ 02451 ][correction] d) On suppose de nouveauE Onde dimension quelconque. noteN(n p)le nombre de permutations de[1 n]qui ont exactementppoints Montrer que si fixes. On pose en particulierD(n) =N(n0), puis Im(uId)ker(uId) =E+ alors la suite(vn)converge simplement et l’espace Im(uId)est une partien fermée deE.f(x) =n=X0nD!(n)x e) Etudier la réciproque. a) relierN(n p)etD(np). b) Justifier la définition defsur]11[puis calculerf. Exercice 47[ 00995 ][correction]c) CalculerN(n p). Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→R+1t2d+tx2 d) Etudier la limite deet reconnaîtren!1N(n p)quandntend vers+. cette fonction.
Exercice 48[ 02448 ][correction] Pourn >0, on pose an=Z0π4tanntdt
Exercice 51[ 02452 ][correction] Soit(pn)une suite strictement croissante d’entiers naturels telle quen=o(pn). On pose +f(x) =Xxpn n=0
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés a) Donner le rayon de convergence de la série entièrePxpnet étudier la limite deExercice 55[ 03201 ][correction] (1x)f(x)quandxtend vers 1 par valeurs inférieures. Soit b) Icipn=nqavecqNetq>2. Donner un équivalent simple defen 1. f:x7→n=+X1sin1nxn a terminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf. Exercice 52[ 02454 ][correction])DéconvergenceenE)balreidutRet enR. c) Déterminer la limite def(x)quandx1. Convergence et calcul de la série entière+Panxnan=R01(1t2)ndt. n=0d) Montrer que quandx1
Exercice 53[ 02849 ][correction] Sin>1, soitInle nombre d’involutions de{1     n}. On convient :I0= 1. a) Montrer, sin>2, que
In=In1+ (n1)In2 b) Montrer quePInn!xnconverge six]11[. SoitS(x)sa somme. n>0 c) Montrer, pourx]11[, que S0(x) = (1 +x)S(x)
d) En déduire une expression deS(x)puis une expression deIn.
Exercice 54[ 03074 ][correction] Soit une série entièrePanznde rayon de convergenceR >0. a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière Xnan!zn
On pose donc, pourtdansR,
+f(t) =Xann!tn n=0 b) Montrer qu’il exister >0tel que pour toutx > r,t7→f(t)extsoit intégrable sur[0+[et exprimer cette intégrale sous forme de série entière en1x.
(1x)f(x)0
Exercice 56[ 03244 ][correction] Soitfsomme dans le domaine réel d’une série entièrela fonction Panxnde rayon de convergenceR= 1. On suppose l’existence d’un réel
7
`= limf(x) x1a) Peut-on affirmer que la série numériquePanconverge et que sa somme vaut`? b) Que dire si l’on sait de plusan=o(1n)? [Théorème de Tauber]
Exercice 57[ 03302 ][correction] Etablir que la fonction 1 7→ x1shx est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.
Exercice 58[ 03303 ][correction] Soitf: ]R R[R(avecR >0) de classeCvérifiant nNx[0 R[ f(n)(x)>0
Montrer la convergence de la série Xn!1f(n)(0)xn
pour toutx]R R[.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.