Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Analyse

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00246 ] [correction] Montrer que (v ) converge. Exprimer sa limite en fonction de ‘.n 1La fonction t7→ sin si t> 0 et 0 si t = 0 est-elle continue par morceaux sur c) Calculer ‘ en utilisant f(x) = ln(1 +x).t +[0, 1]? d) Si f deR dansC est continue et vérifie f(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite (v ).n Exercice 2 [ 00316 ] [correction] Exercice 6 [ 00323 ] [correction]n 2Montrer que l’équation x +x − 1 = 0 admet une unique racine réelle strictement Développement asymptotique à trois termes de : positive pour n> 1. On la note x . Déterminer la limite ‘ de la suite (x ) puis unn n néquivalent de x −‘. Xn k u = sinn 2n k=1 Exercice 3 [ 00317 ] [correction] nPour tout entier n> 2, on considère l’équation (E ) :x =x + 1 dont l’inconnuen Exercice 7 [ 00563 ] [correction] est x> 0. Soit (u ) une suite strictement croissante de réels de [0, 1] de limite 1. Déterminern a) Montrer l’existence et l’unicité de x solution de (E ).n n les fonctions f∈C([0, 1],R) vérifiant b) Montrer que (x ) tend vers 1.n +∞Xf(u x + 1−x)c) Montrer que (x ) admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisn n ∀x∈ [0, 1],f(x) = npremiers termes de ce développement limité.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: oraux-mpsi
• Nombre de lectures: 117
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Enoncés

Exercice 1 [ 00246 ] [correction]Montrer que(v n )converge. Exprimer sa limite en fonction de`. La fonctiont7→sin t 1 sit >0et 0 sit= 0 Calculer c)est-elle continue par morceaux sur`en utilisantf(x) = ln(1 +x). [01]? d) SifdeR + dansCest continue et vérifief(0) = 0, montrer qu’il peut y avoir divergence de la suite(v n ). Exercice 2 [ 00316 ] [correction] Ex cice 6 [ 00323 ] [correction] Montrer que l’équationx n +x 2 −1 = 0admet une unique racine réelle strictement  Dév e e r loppement asymptotique à trois termes de : positive pourn>1. On la notex n . Déterminer la limite`de la suite(x n )puis un équivalent dex n −`. u n = Xn si k n n 2 k=1 Exercice 3 [ 00317 ] [correction] Pour tout entiern>2, on considère l’équation(E n ) :x n =x+ 1dont l’inconnue Exercice 7 [ 00563 ] [correction] estx>0. 0 a) Montrer l’existence et l’unicité dex n solution de(E n ) s . eof oSt l i( n u c n ti )n s u n e ofifi e é d r s t le a é n redetnasisrotcenemctristsiuet[1]de limite 1. Détermine b) Montrer que(x n )tend vers 1. ∈ C([01]R)v +∞ f(u n x c) Montrer que(x n )admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois ∀x∈[01] f(x) = X + 2 n 1−x) premiers termes de ce développement limité. 1 n=

Exercice 4 [ 00318 ] [correction] Pourn>2, on considère le polynôme P n =X n −nX+ 1 a) Montrer queP n admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéex n . b) Déterminer la limite dex n lorsquen→+∞. c) Donner un équivalent de(x n )puis le deuxième terme du développement asymptotiquex n .

Exercice 5 [ 00319 ] [correction] a) Soit np u n = X n 1 +k k=1 oùp∈N ? est fixé. Montrer que la suite(u n )converge. Sa limite sera notée`(on ne demande pas ici de la calculer) b) Soitf:R + →Cde classeC 1 et telle quef(0) = 0. Soit X f v n = np  n 1 +k  k=1

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r

Exercice 8 [ 02436 ] [correction] Calculer Z √ 3 rcsin  2 +1 t t 2  dt a 0

Exercice 9 [ 02444 ] [correction] Soit f(x) = Z x x 2 d nlt t a) Calculer les limites defen0 + et+∞, la limite en+∞def(x)xet montrer quef(x)tend versln 2quandxtend vers 1. b) Montrer quefest de classeC ∞ surR +? mais qu’elle ne l’est pas surR + . c) Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative.

Exercice 10 [ 02471 ] [correction] Soitf(x) = (cosx) 1x et(C)le graphe def. a) Montrer l’existence d’une suite(x n )vérifiant : i)(x n )est croissante positive. ii) la tangente à(C)en(x n  f(x n ))passe parO. b) Déterminer un développement asymptotique à 2 termes de(x n ). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

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Exercice 11 [ 03181 ] [correction] Déterminer un équivalent de Z 1 ln( x 1 n+ − 1 x ) dx I n = 0

Exercice 12 [ 03184 ] [correction] SoientKun réel strictement supérieur à 1 et(ε n )une suite de réels positifs convergeant vers 0. Soit(u n )une suite de réels de[01]vérifiant ∀n∈N06u n+1 6 u n K +ε n

La suite(u n )converge-t-elle vers 0 ?

Exercice 13 [ 00525 ] [correction] Justifier l’existence et calculer I= Z 0 +∞ t[1t] dt

Exercice 14 [ 00572 ] [correction] Soitf∈ C 2 ([0+∞[R). On suppose quefetf 00 sont intégrables. a) Montrer quef 0 (x)→0quandx→+∞. b) Montrer queff 0 est intégrable.

Exercice 15 [ 02446 ] [correction] a) Soitf∈ C 1 ([a b]R). Déterminer les limites des suites ( Z b a f(t) sin(nt) dt)et( Z a b f(t) cos(nt) dt) b) Calculer, pourn∈N ? , Z 0 π2 sin(2 s n in t) cost dt t

(on procédera par récurrence) c) En déduire Z + 0 ∞ si t nt dt

Enoncés

d) Etudier la limite puis un équivalent de
Z 0 π2 ln(2 sin(t2)) cos(nt) dt !

Exercice 16 [ 03334 ] [correction] x La fonctionx7→ R 0 sin(e t ) dtadmet-elle une limite en+∞? Exercice 17 [ 01056 ] [correction] a) Donner un développement asymptotique à deux termes de n u n = X lnp p p=2

On pourra introduire la fonctionf:t7→(lnt)t. b) A l’aide de la constante d’Euler, calculer

+X∞ (−1) n ln n n n=1

Exercice 18 [ 01083 ] [correction] Soienta b∈R. Déterminer la nature de la série X lnn+aln(n+ 1) +bln(n+ 2) n>1

Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

Exercice 19 [ 01325 ] [correction] Soitj∈N. On noteΦ j le plus petit entierp∈N ? vérifiant p 1 X n >j n=1

a) Justifier la définition deΦ j . b) Démontrer queΦ j j −− → − + − ∞ →+∞. Φ c) Démontrer Φ j j+1 j −− → − + −→e. ∞

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Enoncés

Exercice 20 [ 02418 ] [correction]Exercice 24 [ 02429 ] [correction] Former un développement asymptotique à trois termes de la suite(u n )définie par On fixex∈R +? . Pourn∈N ? , on pose x u 1 = 1et∀n∈N ? ,u n+1 = (n+u n n −1 ) 1n u n = n x ! n Y n ln  1 + k  k=1 Exercice 21 [ 02423 ] [correction] a) Etudier la suite de terme généralln(u n+1 )−ln(u n ). se +∞ ) p On po u n = p +X = ∞ n (p) 1 1+ α etv n = p X =n (p (− )1+ 1 α elasuite cedes E te d n nd ’ é e i x u il e i r r u l q b)abEt (u α n ∈ ) n R >1 réeilesaleuqt:alérénegrmtede calrsitime.evnoeegrérptesic a) Déterminer la nature de la série de terme généralu n selonα. ln(u n+1 )−ln(u n )−αln   1 1 + n  b) Déterminer la nature de la série de terme généralv n selonα. converge. c) Etablir l’existence deA∈R ? tel queu n ∼An α . Exercice 22 [ 02424 ] [correction] d) Etudier la convergence de la série de terme généralu n . Convergence et calcul, pourz∈C, de n +X∞ z 2 E O xer o c t i e ce u n 25 = [ R 0 0 π 2  4 4 30 (t ] a [ n co t) rr n e d c t t . ion] − n=0 1z 2n+1 n n a) Déterminer la limite deu n . b) Trouver une relation de récurrence entreu n etu n+2 . Exercice 23 [ 02428 ] [correction] Donner la nature de la série de terme généralc) (−1) n u n . On pose  d) Discuter suivantα∈R, la nature de la série de terme généralu n n α . f(x ) ln x x = a) Nature des séries de termes générauxf(n)puis(−1) n f(n). b) Montrer la convergence de la série de terme général n f(n)− Z n−1 f(t) dt

c) Calculer +∞ X (−1) n f(n) n=1 Indice : On pourra s’intéresser à la quantité

n2n 2 X f(2k)− X f(k) k=1k=1

Exercice 26 [ 02431 ] [correction] Soita >0 > b0et pourn∈N ? , n n A n = n 1 X (a+bk),B n = Y (a+bk) 1n k=1k=1 Trouverl n i ∞ m B A n n en fonction dee.

Exercice 27 [ 02432 ] [correction] a) Etudier P u n oùu n = R d 1 x 0 1+x+∙∙∙+xn . b) Etudier P v n oùv n = R 1 x n dx 0 1+x+∙∙∙+xn .

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Exercice 28 [ 02433 ] [correction] Soitα >0et(u n ) n>1 la suite définie par : u 1 >0et∀n>1,u n+1 =u 1 n + n α u n a) Condition nécessaire et suffisante surαpour que(u n )converge. b) Equivalent deu n dans le cas où(u n )diverge. c) Equivalent de(u n −`)dans le cas où(u n )converge vers`.

Enoncés

Exercice 29 [ 02434 ] [correction] Soit, pourx∈R, f(x  cos ) =  x 13  x 23 a) Nature la série de terme général u n = Z n n+1 f(x) dx−f(n) b) Nature de la série de terme généralf(n). (indice : on pourra montrer quesin  n 13  n’admet pas de limite quandn→+∞ c) Nature de la série de terme général sin  n 13  n 23

Exercice 30 [ 02443 ] [correction] a) Existence de x A= x l → i + m ∞ Z sin(t 2 ) dt 0 +∞ b) Montrer queAse met sous la formeA= P (−1) n u n avecu n >0. En déduire n=0 A>0. c) Mmes questions avec B= →+ Z x lim cos(t 2 )dt x∞ 0 d) Comment retrouver ces résultats avec un logiciel de calcul formel

Exercice 31 [ 00926 ] [correction] Calculer +∞ n→∞ Z 0 e −t sin n (t) dt lim

Exercice 32 [ 00939 ] [correction] Soientα >0,n∈N. On pose u n (α) = Z 0 π2 (sint) α (cost) n dt a) Nature de la série de terme généralu n (1). b) Plus généralement, nature de la série de terme généralu n (α). ∞ c) Calculer P u n (α)pourα= 23. n=1

Exercice 33 [ 02435 ] [correction] Etudier la limite de Z 1 t n ) dt f( 0 oùf: [01]→Rest continue.

Exercice 34 [ 02438 ] [correction] a) Démontrer la convergence de la série de terme général

b) Comparer

c) En déduire :

n! a n = n n ∞ a n etn Z 0 + t n e −nt dt +∞ +∞ n X =1 a n = Z 0 ( te −t −t ) 2 dt 1−te

Exercice 35 [ 02439 ] [correction] Soienta∈C,|a| 6= 1etn∈Z. Calculer Z 2 0 π e it e int dt −a

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Exercice 36 [ 02445 ] [correction] On pose I Z 1 0 1 +1t n dt n = pour tout entiern >0. a) Trouver la limite`de(I n ). b) Donner un équivalent de(`−I n ). c) Justifier +∞ Z 0 1 ln(1 +y d ) y= X ( (k − +1 )1 k ) 2 y k=0 d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(I n ).

Exercice 37 [ 00465 ] [correction] SoientE=C 1 ([01]R)etN:E→R + définie par N(f) = s f 2 (0) + Z 1 f 02 (t)dt 0

a) Montrer queNdéfinit une norme surE. b) ComparerNetkk ∞ .

Exercice 38 [ 00477 ] [correction] SoitEun espace vectoriel réel normé. On pose f( )  1 x (x1ma = kxk) x Montrer quefest 2-lipschitzienne. Montrer que si la norme surEest hilbertienne alorsfest 1-lipschitzienne.

Exercice 39 [ 02409 ] [correction] a) Quelles sont les valeurs dea∈Rpour lesquelles l’application (x y)7→N a (x y) = p x 2 + 2axy+y 2 définit une norme surR 2 . b) SiN a etN b sont des normes, calculer inf N a (x y)N (xy)6=0 N b (x y) et (x s y u )6 p =0 N a b ( ( xy xy ) )

Enoncés

Exercice 40 [ 02411 ] [correction] Soit E=  f∈ C 2 ([0 π]R)f(0) =f 0 (0) = 0  a) Montrer que N:f7→ kf+f 00 k ∞ est une norme surE. b) Montrer queNest équivalente à

ν:f7→ kfk ∞ +kf 00 k ∞

Exercice 41 [ 02412 ] [correction] Soient l’espaceE=  f∈ C 1 ([01]R)f(0) = 0  etNl’application définie surE par N(f) =N ∞ (3f+f 0 ) a) Montrer que(E N)est un espace vectoriel normé puis qu’il existeα >0tel queN ∞ (f)6αN(f). b) Les normesN ∞ etNsont-elles équivalentes ?

Exercice 42 [ 00750 ] [correction] e PourA∈ M n (K), on noteAla transposée de la comatrice deA. e a) CalculerdetA. e b) Etudier le rang deA. e e c) Montrer que siAetBsont semblables alorsAetBle sont aussi. e d) CalculerA.

Exercice 43 [ 01108 ] [correction] SoitEleR-espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme

kuk ∞ = sup|u n | n∈N Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non : A={suites croissantes},B={suites convergeant vers 0}, C={suites convergentes}, D=  suites admettant0pour valeur d 0 adhérence  etE={suites périodiques}.

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Enoncés

Exercice 44 [ 01129 ] [correction]a) Trouver la limite de(a n ). Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé. b) Trouver une relation simple entrea n+2 eta n . c) On pose u n (x) = a n x n Exercice 45 [ 02415 ] [correction] n α SoitAune partie non vide deRtelle que pour toutx  Donner réel il existe un et un seul de la série de terme général la nature u n (x)en fonction dexet deα. y∈Atel que|x−y|=d(x A). Montrer queA  d) est un intervalle fermé.  On pose +∞ f(x) = X a n x n Exercice 46 [ 03285 ] [correction] n=1 SoientEespace normé de dimension quelconque etun uun endomorphisme deE Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles. vérifiant ∀x∈Eku(x)k6kxk Pour toutn∈N, on pose 1 n v n = n+ 1 k X =0 u k a) Simplifierv n ◦(u−Id). b) Montrer que Im(u−Id)∩ker(u−Id) ={0} c) On supposeEde dimension finie, établir

Exercice 49 [ 02449 ] [correction] Soit(a n )la suite définie par a 0 = 1eta n = n! 1 Z 1 0 n k −Y 0 1 = (t−k) dtpourn∈N ? a) Rayon de convergence de P a n x. n b) Somme de P a n x n .

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Im(u−Id)⊕ker(u−Id) =E Exercice 50 [ 02451 ] [correction] d) On suppose de nouveauE  On de dimension quelconque.  noteN(n p)le nombre de permutations de[1 n]qui ont exactementppoints Montrer que si  fixes. On pose en particulierD(n) =N(n0), puis Im(u−Id)⊕ker(u−Id) =E + alors la suite(v n )converge simplement et l’espace Im(u−Id)est une partie n fermée deE. f(x) = n= X∞ 0 n D ! (n) x e) Etudier la réciproque.  a) relierN(n p)etD(n−p). b) Justifier la définition defsur]−11[puis calculerf. Exercice 47 [ 00995 ] [correction] c) CalculerN(n p). Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→ R + 1 ∞ t2 d + t x2  d) Etudier la limite de et reconnaître  n! 1 N(n p)  quandntend vers+∞. cette fonction.

Exercice 48 [ 02448 ] [correction] Pourn >0, on pose a n = Z 0 π4 tan n tdt

Exercice 51 [ 02452 ] [correction] Soit(p n )une suite strictement croissante d’entiers naturels telle quen=o(p n ). On pose +∞ f(x) = X x p n n=0

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés a) Donner le rayon de convergence de la série entière P x p n et étudier la limite deExercice 55 [ 03201 ] [correction] (1−x)f(x)quandxtend vers 1 par valeurs inférieures. Soit b) Icip n =n q avecq∈Netq>2. Donner un équivalent simple defen 1. f:x7→ n= +X∞ 1 sin  √ 1 n  x n a terminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf. Exercice 52 [ 02454 ] [correction] )Dé convergenceenE)balreidut−Ret enR. c) Déterminer la limite def(x)quandx→1 − . Convergence et calcul de la série entière + P ∞ a n x n oùa n = R 0 1 (1−t 2 ) n dt. n=0 d) Montrer que quandx→1 −

Exercice 53 [ 02849 ] [correction] Sin>1, soitI n le nombre d’involutions de{1     n}. On convient :I 0 = 1. a) Montrer, sin>2, que

I n =I n−1 + (n−1)I n−2 b) Montrer que P I n n ! x n converge six∈]−11[. SoitS(x)sa somme. n>0 c) Montrer, pourx∈]−11[, que S 0 (x) = (1 +x)S(x)

d) En déduire une expression deS(x)puis une expression deI n .

Exercice 54 [ 03074 ] [correction] Soit une série entière P a n z n de rayon de convergenceR >0. a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière X n a n ! z n

On pose donc, pourtdansR,

+∞ f(t) = X a n n ! t n n=0 b) Montrer qu’il exister >0tel que pour toutx > r,t7→f(t)e −xt soit intégrable sur[0+∞[et exprimer cette intégrale sous forme de série entière en1x.

(1−x)f(x)→0

Exercice 56 [ 03244 ] [correction] Soitfsomme dans le domaine réel d’une série entièrela fonction P a n x n de rayon de convergenceR= 1. On suppose l’existence d’un réel

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`= limf(x) x→1− a) Peut-on affirmer que la série numérique P a n converge et que sa somme vaut`? b) Que dire si l’on sait de plusa n =o(1n)? [Théorème de Tauber]

Exercice 57 [ 03302 ] [correction] Etablir que la fonction 1 7→ x 1−shx est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.

Exercice 58 [ 03303 ] [correction] Soitf: ]−R R[→R(avecR >0) de classeC ∞ vérifiant ∀n∈N∀x∈[0 R[ f (n) (x)>0

Montrer la convergence de la série X n! 1 f (n) (0)x n

pour toutx∈]−R R[.

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