Sujet Oraux : Centrale, Oraux Centrale Avec Maple

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 00087 ] [correction] Exercice 3 [ 02477 ] [correction] On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel. Soit (x ) la suite définie parn n>1 a) Résoudre sur l’intervalle I = ]1, +∞[ l’équation différentielle ?x > 0 et∀n∈N , x =x +n/x1 n+1 n n 10(E) : xy +y = lnx a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs de x . Commenter.1et expliciter (sous forme intégrale) la solution de (E) sur I, notée f, telle que b) Minorer x . Si (y ) vérifie la même relation de récurrence, étudier x −y .n n n>1 n nf(2) = 0. En déduire le comportement asymptotique de (x ).nQuel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel? b) Etudier les variations de f. Vérifier que f admet un maximum en un unique point d’abscisse x ∈I.0 Exercice 4 [ 02478 ] [correction]Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de x .0 +a) SubdiviserR en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenantc) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de f(x) quand une unique racine de l’équation (E) : tanxthx = 1.x→ +∞. On commencera par établir l’équivalent b) On range toutes les racines positives de (E) dans une suite strictement 1 croissante (x ) .n n>0f(x) ∼ x→+∞ lnx Evaluer numériquement les quatre premiers termes. c) Donner un développement asymptotique de x .+ nd) Déterminer un équivalent de f lorsque x→ 1 .
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 48
Voir plus Voir moins

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 1[ 00087 ][correction]
On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel.
a) Résoudre sur l’intervalleI= ]1+∞[l’équation différentielle

(E):xy0+yl1n=x
et expliciter (sous forme intégrale) la solution de(E)surI, notéef, telle que
f(2) = 0.
Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel ?
b) Etudier les variations def. Vérifier quefadmet un maximum en un unique
point d’abscissex0∈I.
Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée dex0.
c) Déterminer un développement asymptotique à deux termes def(x)quand
x→+∞. On commencera par établir l’équivalent

f(x)∼+∞1lnx
x→
d) Déterminer un équivalent deflorsquex→1+.
e) Tracer le graphe defavec le logiciel de calcul formel.

Exercice 2[ 02469 ][correction]
Soit(xk)une suite de[01]équirépartie :

∀[a b]⊂[01],nl→i+m∞n1Card{k∈[1 n]|xk∈[a b]}=b−a

a) Montrer que

n1
∀f∈ C([01]),nl→i+m∞1nXf(xk) =Z0f(x)dx
k=1

b) Pourf(t) = e−t2, créer, à l’aide de Maple, un programme calculant

1nnXf(xk)
k=1

Créer un programme qui réalise la méthode des rectangles. Comparer ces deux
programmes avec la valeur donnée par Maple.
c) Adapter la méthode aléatoire au calcul de
Z Z[01]2y)ex2+y2dxdy
cos(x

Enoncés

Exercice 3[ 02477 ][correction]
Soit(xn)n>1la suite définie par

x1>0et∀n∈N?,xn+1=xn+nxn

1

a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs
dex1. Commenter.
b) Minorerxn. Si(yn)n>1vérifie la mme relation de récurrence, étudierxn−yn.
En déduire le comportement asymptotique de(xn).

Exercice 4[ 02478 ][correction]
a) SubdiviserR+en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenant
une unique racine de l’équation(E) : tanxthx= 1.
b) On range toutes les racines positives de(E)dans une suite strictement
croissante(xn)n>0.
Evaluer numériquement les quatre premiers termes.
c) Donner un développement asymptotique dexn.

Exercice 5[ 01479 ][correction]
SoitGle sous-groupe de GL2(R)engendré par les deux matricesSetTsuivantes :
S=−1100,T=√12−1111

Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2(R)contenantSetT.
a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matricesS T. Expliciter les éléments
du groupehRiengendré par la matriceR=STet préciser le cardinal de ce
sous-groupe deG.
Quelles sont les matricesSRetR7S?
b) Montrer que tout élément deGest soit une puissanceRkdeR, soit un produit
RkS. Préciser le cardinalndeG.
Dresser la liste de tous les éléments deGet déterminer la nature géométrique des
endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidienR2.
c) La transformationφS:g7→Sgdéfinit une permutation de l’ensembleG.
A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments deGet de
leurs images parφS.
Quelle est la signature de la permutation deG(qu’on peut identifier à l’ensemble
{12     n}) ainsi définie ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 6[ 02472 ][correction]
Montrer que
2 4
18123+4r53!13+−181r35!13
3

est un rationnel. On conseille d’effectuer les calculs par ordinateur.

Exercice 7[ 02475 ][correction]
n
Sinest un entier>2, le rationnelHn=Pk1
k=1

peut-il tre entier ?

Exercice 8[ 00528 ][correction]
On définit pourn∈N?les nombres complexes
un=k=nY11 +ik2etvn=kYn=11 + 2ki

Enoncés

a) On note, dans le plan complexe,AnetBnles points d’affixes respectivesunet
vn.
Utiliser le logiciel de calcul formel pour visualiser les lignes polygonales
A1 A2     AnetB1 B2     Bpour diverses valeurs den: par exemple
50,100,500. . . Un point du plan d’affixez=x+iysera repéré par la liste[x y]de
ses deux coordonnées.
b) Etudier la convergence de la suite(un).
S’il y a convergence, donner à l’aide du logiciel de calcul formel, une valeur
approchée (par module et argument) delimun.
n→+∞
c) Etudier la convergence de la suite(vn).
On pourra justifier l’existence d’une constanteLtelle que :

Xnarctan 2k= 2 lnn+L+o(1)
k=1

et étudier la nature (convergente ou divergente) de la suite complexe(zn)n>1:

zn= exp(2ilnn)

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

2

Exercice 9[ 03060 ][correction]
Soientn petqtrois naturels non nuls et deux applications linéairesu∈ L(RpRq)
etv∈ L(RpRn).
a) Démontrer qu’il existe une application linéairew∈ L(RnRq)telle que
u=w◦vsi, et seulement si, on a l’inclusion des noyaux

ker(v)⊂ker(u)

Dans ce cas, déterminer toutes les applicationswqui conviennent.
b) Pour résoudre cette question, on utilisera un logiciel de calcul formel.
SoientAetBles matrices deM3(R)suivantes :
A=−348112−−351etB=−521−120−−113

Existe-t-il une matriceC∈ M3(R)telle queA=CB?
Déterminer toutes les matricesCsolutions.
c) Pour la matriceBdonnée dans la question précédente, caractériser par leurs
colonnes les matricesA∈ M3(R)pour lesquelles il existeC∈ M3(R)telle que
A=CB.
Déterminer dans ce cas l’ensemble des solutionsC.
d) Soient trois applications linéairesu∈ L(RpRq)etv1 v2∈ L(RpRn).
Démontrer qu’il existe deux applications linéairesw1 w2∈ L(RnRq)telles que
u=w1◦v1+w2◦v2si, et seulement si,

kerv1∩kerv2⊂keru

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Exercice 10[ 02112 ][correction]
On pose, pourx∈R+et pourn∈N?:
Pn(x) =k=Yn11+1+2k2xx−k1!

1.a) Démontrer que pour toutx∈R+, la suite(Pn(x))n∈N?est convergente, de
limite strictement positive. On noteP(x)cette limite.
1.b) Tracer sur[020], le graphe de quelques fonctionsPn.
2.a) Démontrer quePest une fonction de classeC1surR+.
2.b) Etudier le sens de variation dePsurR+ainsi que l’existence de limite deP
en+∞.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

3.a) CalculerP(2j)pour tout entier naturelj. Confirmer le résultat avec le
logiciel de calcul formel (on rappelle que la fonctionΓest définie surR+?par
Γ(x) =R+0∞tx−1e−tdt)
3.b)Pest-elle intégrable surR+?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 11[ 02474 ][correction]
a) Montrer que pour toutn∈N?,

fn(t) =ten+t1et−p=Xn0ptp!!

Enoncés

est intégrable surR+?.
Soituncette intégrale.
b) A l’aide du logiciel de calcul fourni, calculerunpour16n610, puis effectuer
une conjecture sur l’expression deun.
c) Montrer que l’on peut écrireuncomme somme d’une série et utiliser ce résultat
pour démontrer la conjecture précédente.

Exercice 12[ 02479 ][correction]
Soit pourt∈R,
f(t) =+X∞t41+n4
n=1
a) Donner le domaine de définition def.
b) La fonctionf ?est-elle continue de classeC1?
c) Calculer, avec un logiciel de calcul formel
Z+0∞d+1tt4
d) Donner un équivalent defen+∞.
e) Montrer
+X∞Z

(−1)n1dt
=
n=04n+ 101 +t4

Exercice 13[ 02480 ][correction]
a) Déterminer le domaine de définition réel def:a7→+P∞e−a2n2
.
n=0
b) Déterminerlim0+af(a)etal→i+mf(a).
a→ ∞

Exercice 14[ 02485 ][correction]
Soit
−1)n
S=+X∞(
n=0(3n+ 1)(2n+ 1)
a) Montrer qu’il existe(a b)∈Q2que l’on déterminera tel que
S=aZ10d1+tt3+bπ

b) CalculerSà l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Exercice 15[ 02488 ][correction]
Soita∈Q∩]02[aveca6= 1.
On pose
In(a) =Z1xn(1−x)ndx
0(1−(1−a)x)n+1
a) Justifier l’existence deIn(a).
b) Calculer, avec Maple,In(a)poura∈ {15141312}et pour
n∈ {12    10}.
Etablir une conjecture.
c) Montrer que pour toutn∈N?on a

+∞
In(a) =Xαnp(1−a)p
p=0

où lesαnpsont à déterminer.
On pourra utiliser
1n!m!
Z0xn(1−x)mdx(=n+m+ 1)!
d) On pose
(X+ 1)  (X+n)

Rn(X) = (X+n+ 1)  (X+ 2n+ 1)
DécomposerRnen éléments simples.
En déduire que pour toutn∈N?, il existe des rationnelsrn(a)etqn(a)tels que

In(a) =rn(a) +qn(a) lna

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

Exercice 16[ 01279 ][correction]
a) Démontrer que, si deux endomorphismesuetvd’un espace vectorielE
commutent, alors, les sous-espaces propres deuet l’image deusont stables parv.
Dans les deux cas suivants :
A=2−−1044−123−594−−5512etA−421−1163−81−−41
−8−10 6−2 9= 4 5−1
8 10 2 6

b) Préciser les matrices qui commutent avecA(structure, dimension, base
éventuelle).
c) Etudier dansM4(R), puis dansM4(C), l’équation

X2=A

(nombre de solutions, un exemple de solution quand il y en a, somme et produit
des solutions quand elles sont en nombre fini).
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 17[ 01557 ][correction]
Soient(a1     a2n)∈C2netA= (aij)16ij62nla matrice deM2n(C)définie par :
=(0)a2n)
A=A(a1     a2n). . .
a1(0

autrement dit telle queaij= 0sii+j6= 2n+ 1etai2n+1−i=a2n+1−ipour
i= 1    2n.
a) Etude du casn= 2avec le logiciel de calcul formel : créer la matrice
(0)dc
A=A(a b c d)
=ba(0)

et étudier le caractère diagonalisable deA.»arelégénitnoitua«ens
Etudier séparément avec le logiciel les cas particuliers non envisagés en situation
générale.
Vérifier tous les résultats par un étude directe
b) Soientuun endomorphisme d’unK-espace vectorielEetF1     Fpdes
sous-espaces vectoriels stables parutels que

E=F1⊕ ∙ ∙ ∙ ⊕Fp

Démontrer une condition nécessaire et suffisante pour queusoit diagonalisable,
faisant intervenir les restrictionsuF1     uFp(où la restrictionuFiest
considérée comme endomorphisme deFi).
c) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice
A(a1     a2n)soit diagonalisable.
d) Comment les résultats sont-ils modifiés si la matriceAest réelle et qu’on
étudie si elle est diagonalisable dansM2n(R)?

4

Exercice 18[ 01959 ][correction]
SoitA∈ Mn(K)une matrice nilpotente non nulle. On appelle indice de
nilpotence deAle nombre entier
Ind(A) = mink∈N?Ak= 0
1. Quelle est la dimension de l’algèbreK[A]engendrée parA?
2.a) SoitP∈K[X]tel queP(0) = 1. Démontrer que la matriceB=AP(A)est
nilpotente, de mme indice queA.
2.b) En déduire qu’il existe un polynômeQ∈K[X]vérifiantQ(0)6= 0et
A=BQ(B).
3. Cette question doit tre traitée avec le logiciel de calcul formel. On considère la
matriceA∈ M8(R)définie par :

∀(i j)∈[18]2 A[i j] = 1sii=j−1ou sii=j−4et 0 sinon

3.a) Vérifier queAest nilpotente et calculer son indice de nilpotence.
3.b) On suppose ici queP= 1 +X+ 2X2+ 3X3etB=AP(A). Déterminer
explicitement un polynômeQde coefficient constant non nul tel queA=BQ(B).
Indication : on peut chercherQde degré strictement inférieur à l’indice de
nilpotence deA.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 19[ 02492 ][correction]
Soientfetgdeux endomorphismes l’espace euclidien deR3canoniquement
représentés par
A=−223142−4100−1 2
etB= 0−1 0
−1 1−3

a) Trouver les droites vectorielles stables parf.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Enoncés

b) SoitPun plan deR3de vecteur normal~n. Montrer quePest stable parfsi,
et seulement si, Vect(~n)est stable parf?.
En déduire les plans stables parf.
c) Donner les droites et les plans stables parg.

Exercice 20[ 03103 ][correction]
On considèren+ 1réels deux à deux distinctsa0     anetAle polynôme

n
A(X) =Y(X−ak)
k=0

SoitBun polynôme réel tel que pour toutk= 0     n,B(ak)6= 0. On considère
l’applicationfqui à un polynômePdeRn[X]associe le resteR=f(P)de la
division euclidienne deBPparA.
a) Justifier qu’on définit ainsi un endomorphisme deRn[X].
b) Etude d’un exemple avec le logiciel de calcul formel : on demande de résoudre
cette question avec le logiciel.
On choisit

n= 2,A(X) = (X−1)(X−2)(X−3)etB(X) =X3

Ainsifest ici l’endomorphisme deR2[X]qui àP∈Eassocie le reste de la
division euclidienne deX3Ppar(X−1)(X−2)(X−3).
Créer l’applicationf. Utiliser la commande « rem »qui fournit le reste de la
division euclidienne. Expliciter alors l’image deP=aX2+bX+c.
Déterminer le noyau def.
Suivre le mme procédé pour déterminer les éléments propres def, en annulant
les coefficients deQ=f(P)−λP.
Créer la matrice defdans la base canonique deEet retrouver ainsi les valeurs
propres et les vecteurs propres def.
c) On revient au cas général. Déterminer le noyau, les éléments propres (valeurs
propres, sous-espaces propres) et le déterminant def. L’endomorphismefest-il
diagonalisable ?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 21[ 03114 ][correction]
Dans cet exercice,nest un entier supérieur ou égal à deux etqun nombre
complexe non nul tel que pour toutk∈Z?,qk6= 1. On considère également une
matriceA∈ Mn(C).

1. On suppose qu’il existeM∈GLn(C)telle que
M−1AM=qA

On notreχAle polynôme caractéristique deA. Déterminer une relation entre
χA(X)etχAqX.
En déduire queAest nilpotente.
2. Cette question est à résoudre à l’aide du logiciel de calcul formel.
Dans cette question, on suppose queq= 2et queAest donnée par :
000100100010
A1=00000000010
000000000100

a) Déterminer les matricesM∈ M6(C)vérifiant
AM= 2M A

b) Que dire de l’ensemble des matricesMainsi obtenues ?
c) Déterminer les matricesM∈GL6(C)vérifiant
M−1AM= 2A

Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

5

Exercice 22[ 03204 ][correction]
SoitAn= (aij)∈ Mn(R)la matrice définie par
aii= 0etaij=jsii6=j
a) A l’aide de Maple, calculer les valeurs approchées des valeurs propres deA2,A3
et, si possibleA10.
b) Siλest valeur propre deAn, montrer que
k=nX1k+λk= 1

c) Nombre et localisation des valeurs propres deAn?
d) On appellexnla valeur propre deAnstrictement comprise entre−2et−1.
Quel est le sens de variation de la suite(xn)?
e) Limite de(xn)et développement asymptotique à deux termes.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 23[ 02476 ][correction]
Sin∈N?, soitfnla fonction continue égale à 0 sur[012], affine sur
[1212 + 1(n+ 1)]et égale à 1 sur[12 + 1(n+ 1)1].
a) Représenterfnavec la fonctionpiecewisede Maple.
b) Montrer que(fn)n>1est de Cauchy pour la normekk1.
c) L’espace muni dekk1 ?est-il complet

Exercice 24[ 02481 ][correction]
On considère une suite réelle(un)n>0vérifiant

un+2= (n+ 1)un+1−(n+ 2)unetu0=u1=−1

a) Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.
+∞
b) On posef(x) =Punxn. Trouverfà l’aide d’une équation différentielle.
n=0
+∞
c) On poseg(x) =Pnu!nxn. Trouvergà l’aide d’une équation différentielle.
n=0

Exercice 25[ 02482 ][correction]
On considère les sommes :
S1 + 1= 1 9×+111∙ ∙ ∙etS21=1×3−5×9+71×111− ∙ ∙ ∙
1×3+5×7

a) Calculer la première somme avec Maple. Constater qu’il ne calcule pas la
deuxième.
b) On cherche à calculerS2. On noteanle terme général de cette série.
Calculer le rayon de convergenceRdePanzn.
c) Exprimer
+∞
X(−1)nx4n+1−1)nx4n+3
n=04n+ 1etn=+X∞0(4n+ 3
pourx∈]−R R[.
d) ExprimerS2à l’aide d’une intégrale que l’on calculera avec Maple.

Exercice 26[ 02483 ][correction]
Soitα >−1.
a) Donner le rayon de convergenceRde

+∞
fα(x) =Xnαxn
n=1

Enoncés

6

On désire trouver un équivalent defαlorsquex→R−.
b) On suppose queαest un entierp.
Calculerf0,f1un logiciel de calcul formel l’expression de. Donner avec f2     f5.
Trouver les équivalents recherchés.
Montrer qu’il existeQp∈R[X]tel que

(x)
fp(x (1) =Q−px)p+1

(on calculeraf0p). En déduire l’équivalent recherché.
c) On supposeα >−1quelconque.
Donner le développement en série entière de

1
(1−x)1+α

On noterabnses coefficients.
Montrer qu’il existeA(α)>0tel quenα∼A(α)bn. On étudiera la nature de la
série de terme général
ln (nbn++11)α−lnnbαn
En déduire quefα(x)est équivalente à

quandxtend versR−.

Exercice 27[ 02484 ][correction]
a) Décomposer

en éléments simples surR.

A(α)
(1−x)1+α

1
1−X6

b) Calculer
Z0x1−dtt6
quand cette intégrale est bien définie.
c) Calculer, pourx∈]01[,

+∞xn
nX=06n+ 1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

d) Que vaut

+∞
?
X0(6n−+1)n1
n=

Exercice 28[ 02487 ][correction]
Soit
f:t∈]−∞14[\ {0} 7→t√11−4t−t1
a) Montrer quefse prolonge en une fonction deC∞sur]−∞14[.
b) Tracer le graphe defà l’aide d’un logiciel de calcul formel.
c) Etudier la concavité du graphe.

Enoncés

Exercice 29[ 02486 ][correction]
On pose
+
f(x) =Z0∞lnte−xtdt
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest de classeC1et donner une équation différentielle vérifiée par
f.
c) Calculerf(1)avec un logiciel de calcul forme et en déduire explicitementf.
d) Retrouver ce résultat par une méthode plus simple.

Exercice 30[ 02491 ][correction]
On considère la fonction suivanteIdéfinie par :
∀x∈ D I(xZπ2sint)xdt
) = (
0

a) Déterminer le domaine de définitionD.
b) Montrer queIest de classeC∞surD.
c) CalculerI(0) I(1) I(2) I(3) I(4).
d) Trouver une relation simple entreI(x+ 2)etI(x).
e) Soitn∈N?. Que vautI(n)I(n−1)?
f) Déterminer des équivalents simples deIaux extrémités deD.

7

Exercice 31[ 03183 ][correction]
a) Déterminer le domaine définitionΔ =Dfde la fonctionfqui àxréel associe :
x
f(x) =Zx+1√t3t+d1t
b) Déterminer la limite puis un équivalent simple def(x)lorsquextend vers+∞.
c) Avec le logiciel de calcul formel, déterminer les développements asymptotiques
en+∞jusqu’au termeox712de la fonction
x7→Zxx+1√dtt
puis def.
Démontrer l’existence de ce développement asymptotique def(x)en s’aidant du
logiciel pour les calculs d’intégrales nécessaires.
d) Etudier les variations defsurΔ.
e) Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée du maximum de
fsurΔabscisse. Visualiser le tracé du graphe deet de son f.

Exercice 32[ 02490 ][correction]
On considère l’équation
x(4)−2x

(3)+ 2x(2)−2x0+x= 0

a) Montrer quex:R→Cest solution deEsi, et seulement si,
X=tx x0x(2)x(3)est solution deAX=X0avecAà déterminer.
b)Aest-elle diagonalisable dansM4(C)?
c) Montrer que

C4= ker(A−iI4)⊕ker(A+iI4)⊕ker(A−I4)2
d) Montrer qu’il existePinversible telle queP−1AP=BavecBdiagonale par
blocs et triangulaire supérieure.
e) Déterminer les solutions de l’équation différentielle.

Exercice 33[ 03061 ][correction]
Soient
(E) :x(x−4)y0+ (x−2)y=−2et(H) :x(x−4)y0+ (x−2)y= 0

a) RésoudreH, quelles sont les solutions maximales ?
b) RésoudreEsurI1= ]−∞0[,I2= ]04[etI3= ]4+∞[.
c) En déduire les solutions maximales deE.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 34[ 03098 ][correction]
Pourn∈N,n>3, on notePnle polynôme :

Pn(X) = (X+ 1)n−Xn−1

Enoncés

a) Avec le logiciel de calcul formel :
Que dire, pourn= 3457du module des racines complexes dePn?
Quelle est la factorisation deP7dansR[X]? dansC[X]?
Vérifier, à l’aide de valeurs approchées, que le polynômeP9possède des racines de
module>1.
b) Démontrer que pourn >7, le polynôme dérivéPn0admet au moins une racine
dansCde module>1.
c) SoitP∈C[X]non constant. Démontrer que les racines complexe du polynôme
dérivéP0sont dans l’enveloppe convexe des racines du polynômeP.
n
Indice : siP(X) =cQ(X−zi)mi, considérer la fractionP0P.
i=1
d) En déduire quen= 7est le plus grand entier pour lequel toutes les racines de
Pnsont de module61.

Exercice 35[ 03452 ][correction]
a) Avec Maple, trouver la solution maximale du problème

x0(t) =ax(t)2x(0) = 1
,

poura∈R.
Vérifier et justifier le résultat obtenu, donner l’intervalle de définition.
PourA∈ Mn(R)
(E):X0(t) =X(t)AX(t),X(0) =In

pour d’inconnuet7→X(t)∈ Mn(R).
b) On suppose qu’il existek∈Ntel queAk=Oet que pour touttdans
l’intervalle de définition d’une solutionX,X(t)commute avecA.
CalculerX. Que vautX(t)−1?
c) On suppose que pour touttdans l’intervalle de définition d’une solutionX,
X(t)est inversible. L’applicationt7→X(t)−1 Quels sont sesest-elle dérivable ?
coefficients ? ExprimerX(t)

Exercice 36[ 02473 ][correction]
Avec Maple, trouver les extrema de

f(x y) =yexp(x) +xexp(y)

Exercice 37[ 01565 ][correction]
1. SoitF:N×N→R,
(n k)7→(k!)2
((n+k+ 1)!)2
1.a) Démontrer que pour tout entier natureln, la série de terme généralF(n k)
est convergente. On posera dans la suite

+∞
σn=XF(n k)
k=0
1.b) Calculerσn, pourn∈[010]avec le logiciel de calcul formel.
2. SoitG:N×N→R,

(n k)7→(3n+ 2k+ 3)F(n k)

a) Soit(n k)∈N2. A l’aide du logiciel de calcul formel, comparer :

(n+ 1)3F(n+ 1 k)−(4n+ 2)F(n k)etG(n k+ 1)−G(n k)

b) Démontrer que pour tout entier natureln:

3n+ 3
(n+ 1)σn+1−(4n+ 2)σn=−((n!)3)1+2

c) Déterminer une suite(Pn)n∈Ntelle que pour toutn∈N:

σn+1σn3 ((n+ 1)!)2
−=−
Pn+1Pn(n+ 1)2(2n+ 2)!

3. Conclure que la série de terme général

1
n2C2nn

est convergente et que
+∞1π2
X=
1n2C2nn18
n=
Indication : on rappelle que
+X∞n12π2
=
6
n=1
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

8

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 38[ 02489 ][correction]
a) Simplifier avec un logiciel de calcul formel
kX=n0nk!X−nk2Xk(1−X)n−k
Pourf: [01]→Cetn∈N, on pose
Bn(f) =nkX=0nk!fknXk(1−X)n−k
b) On supposef k-lipschitzienne aveck >0.
Montrer queBn(f)converge uniformément versfsur[01].
c) On supposefde classeC1etf0k-lipschitzienne sur[01].
Montrer queBn(f)0converge uniformément versf0.
Indice : UtiliserBn−1(f0)−Bn(f)0.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

Exercice 39[ 03065 ][correction]
L’objectif de cet exercice est de proposer un développement en série alternée du
nombreπ.
En utilisant votre logiciel de calcul formel :
a) Montrer que, pourn mentiers naturels
Z1tn(1−t)mdt=(m+n!mn!!1)+
0
b) Montrer que
Z1x4(1−x)422

2dx=−π
01 +x7

En déduire
3958 3959
1260< π <1260
c) On noteA(x)le quotient dex4(1−x)4par1 +x2(on ne le calculera
explicitement que plus tard)
Montrer que
4A(x)
=
1 +x21 +x4(14−x)4
En déduire que

π=+X∞(−14k)kLkavecLk=Z10A(x)x4k(1−x)4kdx
k=0

d) Etablir que pournentier naturel
n
π=X(−14k)kLk+λZ01x4(n+1)1+(1−xx2)4(n+1)dx
k=0

oùλest un réel dépendant denque l’on exprimera.
e) CalculerA(x),L0,L1et proposer un encadrement du nombreπ.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 40[ 03096 ][correction]
Soit la matrice
3−1 (0)
. .
. .

A= 1. .∈ Mp(R)avecp>2
(0)......−1
−1 3

Ses coefficients sont nuls sauf lesaii= 3,16i6petaii+1=ai+1i=−1,
16i < p. On dira queAest la matrice de bande[−13−1].
a) Démontrer que cette matrice est inversible.
On noteX?l’unique solution du système linéaireAX=Bavec
B=t1∙ ∙ ∙1.
Le systèmeAX=Best équivalent au système

X=CX+31B
avecCmatrice bande à préciser.
SoitTl’application deRpdansRpdéfinie par

9

X7→CX1+3B
Quel est le vecteurT(X?)?
b) Question à résoudre avec le logiciel de calcul formel.
On suppose icip= 5. Construire les matricesA,C, le vecteurBet la
transformationT.
Confirmer l’inversibilité deA. Expliciter alorsX?puis une valeur approchée de ce
vecteur.
Vérifier la valeur attendue pourT(X?).
c) On munitRpde la norme

kXk=16mja6xp|xj|

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Montrer queT:X7→CX+31Best alorsk-lipschitzienne avec une constante
k <1à préciser et que partant d’un vecteurX0arbitraire, la suite(Xn)définie
par la récurrence
Xn+1=T Xn
converge versX?.
d) A partir d’une majoration dekXn+1−Xnkpuis dekXn+p−Xnkà l’aide de
kX1−X0k, établir la formule

kX?−Xk1knkkX1−X0k
n6

Enoncés

e) On choisitX0= 0. Soitε= 10−2. Avec le logiciel de calcul formel, construire
les termes de la suite(Xn)nécessaires pour obtenir une valeur approchée deX?à
epsilon près (au sens de la normekk). On pourra choisir d’écrire une procédure
ou non.
Comparer avec la valeur approchée deX?lorsquep= 5.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 41[ 03106 ][correction]
Soienta∈]01[etfndéfinie surI= ]−∞1a[par

n
fn(x) =Y11
−aix
i=1

a) Poura= 12, tracer, avec Maple, les courbes des fonctionsfnpourn∈[110]
sur[−32[pour observer le comportement de la suite.
b) Montrer quef100est développable en série entière au voisinage de 0 et donner
les valeurs des 20 premiers coefficients de ce développement.
c) Pouraquelconque, montrer que(fn)converge simplement surIvers

+∞
f(x)Y1−1aix
=
i=1

Trouver une relation simple entref(x)etf(ax).
d) Montrer l’existence et l’unicité d’une fonctiongdéveloppable en série entière
vérifiant
g(0) = 1et∀x∈I g(ax) = (1−ax)g(x)

e) Montrer quefest développable en série entière et exprimer, avec Maple, les
coefficients de ce développement en fonction dea.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 42[ 03392 ][correction]
On considère dans le plan affine euclidienR2, un arcΓde classeC1et régulier
paramétré par une abscisse curvilignes:

M:s∈R7→M(s)∈R2

10

\
Pour touts∈R, on noteG(s)le centre de gravité de l’arcM(0)M(s)défini ainsi
∀s∈R?,G(s) = 1sZ0sM(u) duetG(0) =M(0)

Soit alorsΔl’arc paramétré parG:s∈R7→G(s).
1. Dans cette question,Γest l’arc paramétré parN(t) = (tcosht)oùcoshtest le
cosinus hyperbolique det. Calculer son abscisse curvilignesnulle ent= 0et
paramétrerΓpars. En déduire les coordonnées deG(s).
Tracer sur un mme graphique les supports deΓetΔ.
2. On suppose dans cette question que l’arcΓest paramétré parN(t) = (t f(t))
où la fonctionfest convexe de classeC1.
2.a Soit(x y)∈R2. Montrer que

y>f(x)⇔ ∀u∈R y>f0(u)(x−u) +f(u)

2.b En déduire que le support de l’arcΔ support de »du dessus auest «Γ.
3. Reprendre les questions posées au 1. avec l’arcΓparamétré par
N(t) = (costsint).
4. On suppose dans cette question de la fonctionMest périodique de période
L >0.
4.a Montrer queG(s)converge vers un pointΩlorsquestend vers+∞.
4.b Que représenteΩpour le support deΓ? Montrer queΩest un point multiple
de l’arcΔ.
4.c Avec l’exemple de la question 3., compléter le graphique des supports deΓet
Δpar celui des segments de droite(M(s)G(s))pours=π23π4etπ.
Emettre une conjecture puis la démontrer dans le cas général.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC

Exercice 43[ 03391 ][correction]
On considère l’ensembleEndes matricesM∈ Mn(R)sans valeurs propres réelles
vérifiant
tM=M2

1.a) Lorsquen= 2, déterminer à l’aide du logiciel de calcul formel l’ensembleE2;
vérifier qu’il est constitué de deux matricesM1etM2.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.