Sujet Oraux : Mines-Ponts, Oraux Mines-Ponts Analyse

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Exercice 1 [ 02781 ] [correction] Exercice 6 [ 02812 ] [correction] 1/nn Soit f : ]0, +∞[→R telle queEtudier la convergence de la suite ba c , où a> 0. f(x)−f(x/2) limf(x) = 0 et lim √ = 1 x→0 x→0 x Exercice 2 [ 02782 ] [correction] Trouver un équivalent simple en 0 de f. Soient des réels positifs a et b. Trouver la limite de n1/n 1/n Exercice 7 [ 02813 ] [correction]a +b Soient f et g des fonctions continues de [0, 1] dans [0, 1] telles que f◦g =g◦f. 2 a) Montrer que l’ensemble des points fixes de f possède un plus grand et un plus petit élément. b) Montrer l’existence de c∈ [0, 1] tel que f(c) =g(c). Exercice 3 [ 02783 ] [correction] ?Soit (x ) une suite de réels positifs. On pose, pour tout n> 0,n n∈N Exercice 8 [ 02815 ] [correction] r 1 ?q Soient f unC difféomorphisme croissant de [0, 1] sur [0, 1] et n∈N . Montrer√ y = x + x +··· + xn 1 2 n que l’on peut trouver une suite (x ) telle que :k,n 16k6n nXk− 1 k 1a) Ici x =a pour tout n, où a> 0. Etudier la convergence de (y ).n n ∀k∈{1,...,n}, 6f(x )6 et =nk,nn 02 n n f (x )k,nb) Même question dans le cas où x =ab pour tout n, avec b> 0.n k=1 −n2c) Montrer que (y ) converge si, et seulement si, la suite (x ) est bornée.n n Exercice 9 [ 02816 ] [correction] Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral. Exercice 4 [ 02788 ] [correction] nP 1 −3Donner un développement asymptotique de k! à la précision o(n ).
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Exercice 1[ 02781 ][correction]
Etudier la convergence de la suitebanc1n, oùa >0.

Exercice 2[ 02782 ][correction]
Soient des réels positifsaetb. Trouver la limite de
a1n+2b1nn

Exercice 3[ 02783 ][correction]
Soit(xn)n∈N?une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0,
yn=rx1+qx2+∙ ∙ ∙+√xn

a) Icixn=apour toutn, oùa >0. Etudier la convergence de(yn).
b) Mme question dans le cas oùxn=ab2npour toutn, avecb >0.
c) Montrer que(yn)converge si, et seulement si, la suite(xn2−n)est bornée.

Enoncés

Exercice 4[ 02788 ][correction]
n
Donner un développement asymptotique de1k=0k!n∈Nà la précisiono(n−3).
n!P

Exercice 5[ 02811 ][correction]
Soient des réelsa boùa∈{01}. On poseh(x) =ax+bpour toutxréel. On
noteSl’ensemble des fonctions dérivablesf:R→Rtelles que

f◦f=h

a) Montrer queS=∅sia <0.
Désormais on supposea >0(eta6= 1).
b) Montrer quehest une homothétie préciser son centre et son rapport. ;
c) Soitf∈S. Montrer queh−1◦f◦h=f. En déduire une expression def; on
commencera par le cas0< a <1.

Exercice 6[ 02812 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rtelle que

xli→m0f(x) = 0etlimf(x)−f(x2)1
=
x→0√x
Trouver un équivalent simple en 0 def.

Exercice 7[ 02813 ][correction]
Soientfetgdes fonctions continues de[01]dans[01]telles quef◦g=g◦f.
a) Montrer que l’ensemble des points fixes defpossède un plus grand et un plus
petit élément.
b) Montrer l’existence dec∈[01]tel quef(c) =g(c).

Exercice 8[ 02815 ][correction]
SoientfunC1difféomorphisme croissant de[01]sur[01]etn∈N?. Montrer
que l’on peut trouver une suite(xkn)16k6ntelle que :
∀k∈ {1     n},k−n16f(xkn)6nketk=Xn1f0(x1kn) =n

Exercice 9[ 02816 ][correction]
Enoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégral.

Exercice 10[ 02817 ][correction]
Montrer, pour toutx∈]0 π2[, l’existence deθx∈]01[tel que
x3
sinx=x−6 cos(xθx)
Etudier la limite deθxquandxtend vers 0 par valeur supérieure.

Exercice 11[ 02818 ][correction]
Soitf: ]−1+∞[→Rdonnée par

fl)(1+1+n(x)
x=
x
a) Trouver le plus grand intervalle ouvertIcontenant 0 sur lequelfest un
C∞-difféomorphisme.
b) On notegl’application réciproque defI. Montrer que les coefficients du
développement limité degen 0 à un ordre quelconque sont positifs.

1

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Exercice 12[ 02819 ][correction]
On posef(x) = e−1x2pourxréel non nul etf(0) = 0.
a) Montrer l’existence pour toutn∈Nd’un polynômePntel que :
∀x∈R?,f(n)(x) =x−3nPn(x)f(x)

Quel est le degré dePn?
b) Montrer quefest de classeC∞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.
c) Montrer que toute racine dePnest réelle.

Exercice 13[ 02820 ][correction]
Soientf:I→Rune fonction deux fois dérivable surIeta b ctrois points
distincts deI.
Montrer
∃d∈I(a−bf(()aa)−c(+)b−cf)((bb)−a+f(cc)−b1=2)f00(d)
) (c−a)(

Exercice 14[ 02822 ][correction]
Soitf:R+→Rdérivable.
a) Sif0est bornée surR+, montrer quefest uniformément continue surR+.
b) Si|f0(x)| →+∞quandx→+∞, montrer quefn’est pas uniformément
continue surR+.

Exercice 15[ 00183 ][correction]
Etudier l’intégrabilité en 0 de
→Zxettdt
f:x7
1

Exercice 16[ 00696 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue.
On suppose que pours0∈R, l’intégraleR+0∞f(t)e−s0tdtconverge.
Montrer que l’intégraleR0+∞f(t)e−stdtconverge pour touts > s0.

Exercice 17[ 02421 ][correction]
Convergence de

Z−+∞∞eit2dt

Enoncés

Exercice 18[ 02824 ][correction]
Existence et calcul de
Z

π2
√tanθdθ
0

Exercice 19[ 02825 ][correction]
Existence et calcul éventuel de
Z−+∞∞1 + (t+1ib)2dt

Exercice 20[ 02826 ][correction]
Calculer
Z+0∞t2nl+ta2dt
oùa >0.

Exercice 21[ 02827 ][correction]
Trouver une expression simple de
Z0π(1−2xcost+xsi2)(n21t−2ycost+y2) dt
oùx y∈]−11[.

Exercice 22[ 02829 ][correction]
Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.

Exercice 23[ 02879 ][correction]
a) Donner la nature de l’intégrale
Z+0∞sitntdt
On pose pour tout réelx
f(x) =Zx+∞sitntdt
b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée.
c) Calculer
Z+∞f(t) dt
0

2

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Exercice 24[ 03753 ][correction]
[Inégalité de Hardy]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pourx >0, on pose
g(x 1) =xZxf(t) dt
0

a) Montrer queg2est intégrable sur]0+∞[et que
Z0+∞g2(t) dt64Z0+∞f2(t) dt

b) Montrer quef gest intégrable et
Z+0∞g2(t) dt=Z+0∞f(t)g(t) dt
2

Exercice 25[ 02784 ][correction]
Soitu0∈]02π[puis
∀n∈N un+1= sin (un2)

a) Montrer que(un)tend vers 0.
b) Montrer quelim(2nun) =Apour un certainA >0.
c) Trouver un équivalent simple de(un−A2−n).

Exercice 26[ 02789 ][correction]
Nature de la série de terme général
e−1 +nn
1
n32−n32+n

Exercice 27[ 02790 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùa >0.

un= ln1 + (−n1a)n

Enoncés

Exercice 28[ 02791 ][correction]
Nature de la série de terme général
√n√+n(+−a1)n
un= ln

oùa >0.

Exercice 29[ 02792 ][correction]
Nature de la série de terme général

oùαest réel.


n
Pln2k
k=2

Exercice 30[ 02793 ][correction]
Convergence de la série de terme généralun= sinπ√n2+ 1.

Exercice 31[ 02794 ][correction]
Nature de la série de terme généralun= sinπ(2 +√3)n.

Exercice 32[ 02795 ][correction]
Soitα∈R?. On pose, pourn∈N?

1
=
unn
Pkα
k=1

Nature de la série de terme généralun?

Exercice 33[ 02796 ][correction]
Soit(un)suite réelle décroissante et positive. On poseune

n
vn= 2u2n
Déterminer la nature dePvnen fonction de celle dePun.

3

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Enoncés

Exercice 34[ 02797 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante d’éléments deR+, de limite 0. Pourn>1, on pose

vn=n2un2

Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes générauxunetvn?

Exercice 35[ 02798 ][correction]
Soientα∈Retf∈ C0([01]R)telle quef(0)6= 0. Etudier la convergence de la
série de terme général
1n
un=n1αZf(tn) dt
0

Exercice 36[ 02799 ][correction]
Soientα >0et(un)une suite de réels strictement positifs vérifiant
u1n= 1−1+on1α
nnα

La série de terme généralunconverge-t-elle ?

Exercice 37[ 02800 ][correction]
a) Soient(un)n>0et(vn)n>0deux suites réelles,λ∈R. On suppose :
∀n∈N un>0;X|vn|converge etuunn+1= 1−λn+vn

Montrer que(nλun)converge.
b) Nature de la série de terme général

nn?
n!en

Exercice 38[ 02801 ][correction]
SoientαdansR?,aetbdansRN. On pose

−a
u0=αet∀n∈N,un+1=nn−b un

Etudier la nature de la série de terme généralunet calculer éventuellement sa
somme.

Exercice 39[ 02802 ][correction]
Soient(a α)∈R+×Ret, pourn∈N?:

n
P1kα
un=ak=1

a) Pour quels couples(a α)la suite(un) ? Dans la suite, onest-elle convergente
suppose que tel est le cas, on note`= limunet on pose, sin∈N?,
vn=un−`

b) Nature des séries de termes générauxvnet(−1)nvn.

Exercice 40[ 02803 ][correction]
Etudier

n m
nli→m∞m→∞X X(−1)i+jti+j+1
lim
i=0j=0

Exercice 41[ 02804 ][correction]
Convergence puis calcul de

+∞
X12+ 22+1∙ ∙ ∙+n2
n=1

Exercice 42[ 02805 ][correction]
Calculer

+∞(−1)n
n=X04n+ 1

Exercice 43[ 02806 ][correction]
Nature et calcul de la somme de la série de terme général

∞(−1)k
Xk2
k=n

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Exercice 44[ 02809 ][correction]
On pose
1 1 1
an=n+ 1 +n ++ 2∙ ∙ ∙3+n
a) Montrer que la suite(an)converge et trouver sa limiteλ.
b) Trouver un équivalent simple dean−λ.

Exercice 45[ 02810 ][correction]
On posef(x) =sin(xlnx)pour toutx>1etun=Rnn−1f(t) dt−f(n)pour tout
entiern>2.
a) Montrer quef0est intégrable sur[1+∞[.
b) Montrer que la série de terme généralunest absolument convergente.
c) Montrer que la suite(cos(lnn))diverge.
d) En déduire la nature de la série de terme généralf(n).

Exercice 46[ 03119 ][correction]
Soient(un)n>0et(vn)n>0dans(R+)Ntelles que

∀n∈N1+1n2
vn=
un
Montrer que si la série de terme généralvnconverge alors la série de terme
généralundiverge.

Exercice 47[ 03750 ][correction]
Soit(un)une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose

n
vn=unS+1avecSn=Xuk
nk=0
Montrer que les sériesPunetPvnont mme nature.

Exercice 48[ 00118 ][correction]
Soit, pourn∈N,
un=Z0π2hcos2πsinxindx
a) Etudier la suite(un)n>0.
b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Enoncés

Exercice 49[ 00150 ][correction]
Soitf∈ C0(R+R+)bornée. On pose, pourn∈N,
+∞
In=Znf(t)e−ntdt
0
Déterminer la limite deInquandn→+∞.

Exercice 50[ 00933 ][correction]
Etablir
1
Z0dx=n+X=∞1(−1n)nn−1
xx

Exercice 51[ 02435 ][correction]
Etudier la limite de

oùf: [01]→Rest continue.

1
Z0f(tn) dt

Exercice 52[ 02807 ][correction]
a) Pour(m n)∈N2, calculer
1
Z0
xn(1−x)mdx
Pourp∈Z, montrer l’existence de

+∞p
Sp=Xn
2nn!
n=1

b) CalculerS0etS−1.
c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.

Exercice 53[ 02830 ][correction]
On pose, pourx>0,
1
fp(x) =
(1 +x)1+1p
Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions(fp)p∈N?.

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Enoncés

Exercice 54[ 02831 ][correction]
Soitf: [01]→[01]donnée parf(x) = 2x(1−x). Etudier la convergence de(fn)
oùfnest l’itérénème def.

Exercice 55[ 02833 ][correction]
On noteUl’ensemble des complexes de module 1 ; soitωun complexe de module
6= 1. Exprimer une condition nécessaire et suffisante pour que la fonctionz7→z−1ω
soit limite uniforme surUd’une suite de fonctions polynomiales.

Exercice 56[ 02834 ][correction]
Six >1, on pose
+∞
ζ(x) =Xn1x
n=1

a) Quelle est la limite deζ(x)quandx→+∞?
b) Pour quels réelsxla sériePζ(nn)xnconverge-t-elle ?
c) Si
F+∞ζ(n)x
(x) =Xnn
n=2
montrer queFest continue sur[−11[et de classeC1sur]−11[.
d) Donner une expression plus simple deF(x)

Exercice 57[ 02835 ][correction]
Six >0etn∈N?, soit
f(xnnxn!
n) =
Q(x+k)
k=0
a) Montrer l’existence deΓ(x) =nl→im+∞fn(x).
b) Montrer
+∞
ln Γ(x) =−lnx−γx+X nx−ln1 +nx
n=1
c) Montrer queΓest une fonction de classeC1.



Exercice 58[ 02836 ][correction]
Soitαun réel. Pour tout entiern >0et tout réelx, on pose

un(x) =nαxe−nx
n2+ 1

On noteIle domaine de définition de


S:x7→Xun(x)
n=0

a) DéterminerI.
b) Montrer queSest continue surR+?.
c) A-t-on convergence normale surR+?
d) On supposeα>2. Montrer que


Xuk(1n)
k=n+1

6

ne tend pas vers 0 quandntend vers+∞. La convergence est-elle uniforme surI?
e) Etudier la continuité deSsurI.

Exercice 59[ 02837 ][correction]
On pose
+X∞1 +xnxn
S(x) =
n=0

Etudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité deS. Donner un
équation équivalent deSen 0 et en1−.

Exercice 60[ 02838 ][correction]
Soientα∈Ret sin∈N,

un:x∈[01]7→nαxn(1−x)∈R

Etudier le mode convergence de la suite de fonctions(un), puis de la série de
fonctionsPun.

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Exercice 61[ 02839 ][correction]
On pose
u0(x) = 1etun+1Zxn(t−t2) dt
(x) =u
0
pour tout réelx∈[01]et tout entier natureln.
Montrer que la série de terme généralunest normalement convergente.

Exercice 62[ 02840 ][correction]
a) Si(s λ)∈R+?×C, quelle est la nature de la série de terme général

λn
s(s+ 1)  (s+n

)

Enoncés

pourn>0? Aλfixé, on noteΔλl’ensemble dess >0tels que la série converge,
et on noteFλ(s)la somme de cette série.
b) Calculers→lsiumΔλFλ(s).
p
c) Donner un équivalent deFλ(s)quands→inf Δλ.

d) Sin>1, calculer :
Z01
(1−y)s−1yndy
e) En déduire une expression intégrale deFλ(s).

Exercice 63[ 02862 ][correction]
Calculer
+
limZ0∞nQ(nk!+xd)x
n→+∞
k=1

Exercice 64[ 02863 ][correction]
a) Etablir pour >a b0l’égalité

b) Calculer

n
Z011ta+−t1bdt=n+X∞0a(−1)+nb
=

∞)n
+X03(n−+11
n=

Exercice 65[ 02864 ][correction]
Existence et calcul de
1lntdt
Z01−t2
Le résultat est à exprimer à l’aide deζ(2).

Exercice 66[ 02866 ][correction]
Soit(an)n>0une suite bornée. Calculer
lim e−2tX
n→+∞Z0+∞p+=∞napptp!!dt

Exercice 67[ 02867 ][correction]
Soit(an)une suite croissante de réels>0telle quean→+∞.
Justifier
Z+0∞n+X=∞0(−1)ne−anxdx=n+X=∞0(−a1n)n

Exercice 68[ 02869 ][correction]
Montrer
+∞
Xn−n=Z10t−tdt
n=1

Exercice 69[ 02870 ][correction]
+∞
Six >1, on poseζ(x) =Pn1x. Montrer :
n=1
(ζ(x)−1) dx=X
Z+2∞+∞2n2nl1n
n=

Exercice 70[ 03203 ][correction]
Définition, continuité et dérivabilité de

+∞
x
S:x7→Xn(1 +n2x2)
n=1

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Exercice 71[ 03287 ][correction]
Donner la nature de la série de terme général
+
un=Z0∞e−tcos2ntdt

Exercice 72[ 03754 ][correction]
Soitf:R+→Rcontinue décroissante et intégrable.
Montrer l’existence d’une fonctiong:R+→Rcontinue vérifiant

∀x∈R+ g(x+ 1)−g(x) =f(x)

Exercice 73[ 02766 ][correction]
Soit(Ekk)un espace vectoriel normé surK(K=RouC).
a) Montrer que pour tousx y∈E

kxk+kyk62 max{kx+ykkx−yk}

b) Montrer que l’on peut avoir l’égalité avecx6= 0ety6= 0.
Désormais la norme est euclidienne.
c) Montrer que pour tousx y∈E
kxk+kyk6√2 max{kx+ykkx−yk}
d) Peut-on améliorer la constante√2?

Enoncés

Exercice 74[ 02767 ][correction]
SoientE=C([01]R)etE+l’ensemble des fonctions deEqui sont positives et ne
s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonctionϕ∈E+et pour toute
fonctionf∈Eon pose
kfkϕ=Z10|f(t)|ϕ(t) dt
a) Montrer quekkϕest une norme surE
b) Montrer que siϕ1etϕ2sont deux applications strictement positives deE+
alors les normes associées sont équivalentes.
c) Les normeskkxetkkx2sont elles équivalentes ?

Exercice 75[ 02768 ][correction]
SoitEun sous-espace vectoriel de dimensiond>1deC0([01]R).
a) Etablir l’existence de(a1     ad)∈[01]dtel que l’application

d
N:f∈E7→X|f(ai)|
i=1

soit une norme.
b) Soit(fn)une suite de fonctions deEqui converge simplement vers une
fonctionf: [01]→R. Montrer quef∈Eet que la convergence est uniforme.

Exercice 76[ 02769 ][correction]
Déterminer l’ensemble des morphismes continus de(U×)dans lui-mme.

8

Exercice 77[ 02832 ][correction]
Soientdun entier naturel et(fn)une suite de fonctions polynomiales deRdansR
de degré au plusd. On suppose que cette suite converge simplement. Montrer que
la limite est polynomiale de degré au plusd, la convergence étant uniforme sur
tout segment.

Exercice 78[ 01129 ][correction]
Montrer qu’une forme linéaire est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.

Exercice 79[ 02770 ][correction]
On munit l’espace des suites bornées réelles`∞(R)de la norme
kuk∞= supn(|un|).
a) Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé de`∞(R).
b) Montrer que l’ensemble des suites(an)qui sont terme général d’une série
absolument convergente n’est pas un fermé de`∞(R).

Exercice 80[ 02771 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites(an)n>0deCtelles queP|an|converge. Si
a= (an)n>0appartient àE, on pose

+∞
kak=X|an|
n=0

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a) Montrer quekkest une norme surE.
b) Soit
+∞
F=(a∈En=X0an= 1)
L’ensembleF fermé ?est-il ouvert ? borné ?.

Exercice 81[ 02773 ][correction]
Pourn∈N?,Ondésigne l’ensemble des polynômes réels de degrénscindés à
racines simples etFnl’ensemble des polynômes deRn[X]scindés à racines
simples. Sont-ils ouverts dansRn[X]?

Exercice 82[ 02774 ][correction]
a) Chercher les fonctionsf: [01]→[01]continues telles quef◦f=f.
b) Idem avec dérivable

Enoncés

Exercice 83[ 02779 ][correction]
Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé(Ekk)est dense ou fermé
dansE.

Exercice 84[ 02780 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctions réelles définies et continues sur[0+∞[et
dont le carré est intégrable. On admet queEest un espace vectoriel réel. On le
munit de la norme
kk2:f7→Zs+0∞f2(t) dt
On noteE0l’ensemble desf∈Etelles quefest nulle hors d’un c2ertain segment.
On noteFl’ensemble des fonctions deEdu typex7→P(e−x)e−x 2oùP
parcourtR[X]. Montrer queE0est dense dansEpuis queFest dense dansE.

Exercice 85[ 02828 ][correction]
Soitf∈ C([a b]R). On suppose que pour toutn∈N,
Zbaxnf(x) dx= 0

a) Montrer que la fonctionfest nulle.
b) Calculer
In=Z+∞xne−(1−i
)xdx
0
c) En déduire qu’il existefdansC([0+∞[R)non nulle, telle que, pour toutn
dansN, on ait

Z+xnf(x) dx= 0
0

Exercice 86[ 03288 ][correction]
SoientA B C Ddes matrices carrées d’ordren, réelles et commutant deux à
deux. Montrer la matrice
M=DCBA

est inversible si, et seulement si,AD−BCl’est.

Exercice 87[ 01019 ][correction]
Former de deux façons le développement en série entière en 0 de
f:x7→e−x2Z0xet2dt

En déduire la relation

k=Xn0(2k−1)+k1kn! 2nn!4n
=
(2n+ 1)

Exercice 88[ 02422 ][correction]
a) Déterminer la décomposition en éléments simples de

1
(X+ 1)m(X−1)n

avecm ndeux entiers non nuls.
b) Déterminer deux polynômesUetVtels que

(X+ 1)mU(X) + (X−1)nV(X) = 1

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Exercice 89[ 02808 ][correction]
Calculer
+∞
n=X0(3n

1
+ 2)×3n

Exercice 90[ 02841 ][correction]
On noteanlan-ième décimale de√3.
+∞
Quel est l’intervalle de définition dePanxn?
n=1

Exercice 91[ 02842 ][correction]
Quel est le rayon de convergence de
Xπ√n2+2nx2n?

Exercice 92[ 02843 ][correction]
Soitα∈RQuel est le rayon de convergence de.
Xcos(nα)xn?
n
n>1

Exercice 93[ 02844 ][correction]
a) Soit(an)une suite complexe. On suppose quePanxna pour rayon de
convergenceR. Déterminer les rayons de convergence de
X(anlnn)xnetXaknn=X1k1!xn

+∞
b) Donner un équivalent simple dePlnn xnquandx→1−.
n=1

Exercice 94[ 02845 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

+∞x2n+1
n=X03n+ 2

Enoncés

Exercice 95[ 02846 ][correction]
Pourn∈N, on pose
n!
an=1×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)
+∞
Rayon de convergence et somme de la série entièrePanxn?
n=0

Exercice 96[ 02847 ][correction]
a) Déterminer le rayon de convergenceRde
n>X01×3× ∙ ∙ ∙n!×(2n)xn
+ 1

b) Pourx∈]−R R[calculer la somme précédente.

Exercice 97[ 02848 ][correction]
Pourx∈]−11[etα∈R, établir
n+X=∞1xnnsin(nα) = arctan1−xsxocniαsα

Exercice 98[ 02850 ][correction]
On posea0= 1puis pour toutn∈N
n
an+1=Xan−kak
k=0kn!
Calculer lesanen utilisant la série entière de terme généralnan!xn.

Exercice 99[ 02851 ][correction]
Soienta >0etf∈ C∞(]−a a[R)telle que

∀n∈N∀x∈]−a a[ f(n)(x)>0

a) Si|x|< r < a, montrer

nn+1
f(x)−kX=0f(kk)!(0)xk6xrf(r)

b) Montrer quefest développable en série entière sur]−a a[.
c) Montrer quex7→tanxest développable en série entière sur]−π2 π2[.

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