A MATH II MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2009 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• inf kê1


• mines de nancy


• comparaison des normes n∞


• disposition des concours


• filière mp


• ?k


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace


• norme n2

Sujets

• École polytechnique
• École nationale supérieure des mines de Nancy

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

A 2009MATH. II MP

COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES. COLES NATIONALES SUPRIEURES DE L’ARONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2009

DEUXIME PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les rai- sons des initiatives qu’il est amen À prendre.

ThÉorÈme de Mntz

On dsigne parCl’espace vectoriel des fonctions relles continues([0, 1]) λ sur [0, 1]. Pour toutλÊ0, on noteφ λ l’lment deC([0, 1]) dfini parφ λ (x)=x. 0 Par convention on a pos 0=1 de sorte queφ 0 est la fonction constante 1. Soit (λ k ) k∈N une suite de relsÊ0 deux À deux distincts. On noteWle sous- espace vectoriel deC([0, 1])engend lle(φme r la fami λ k ) k∈N . Le but du probl est d’tablir des critres de densit de l’espaceWdansCpour l’une ou([0, 1]) l’autre des deux normes classiquesN ∞ ouN 2 dfinies par : µZ ¶ 1 1 2 2 N ∞ (f)=sup|f(x)|etN 2 (f)= |f(x)|d x. x∈ [0,1] 0

La question prÉliminaire et les parties A, B, C et D sont indÉpendantes les unes des autres.

Question prliminaire 1)Montrer que (φ λ ) λÊ0 est une famille libre deC([0, 1]).

A. Dterminantsde Cauchy On considre un entiern>0 et deux suites finies (a() etb) de k1ÉkÉn k1ÉkÉn rels telles quea k +b k 6=0 pour toutk∈{1, 2, . . . ,n}. Pour tout entiermtel que 0<mÉn, ledÉterminant de Cauchyd’ordremest dfini par : 1 11 ∙ ∙ ∙ a 1 +b 1 a 1 +b 2 a 1 +b m 1 11 ∙ ∙ ∙ a 2 +b 1 a 2 +b 2 a 2 +b m D m =. . .. 1 11 ¯¯ ∙ ∙ ∙ a m +b 1 a m +b 2 a m +b m On dfinit la fraction rationnelle : n−1 Y (X−a k ) k=1 R(X)= ∙ n Y (X+b k ) k=1

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n X A k 2)Montrer que siR(X) est de la formeR(X)=, alors X+b k k=1 A n D n =R(a n )D n−1 . On pourra pour cela considrer le dterminant obtenu À partir deD n en remplaÇant la dernire colonne par   R(a 1 ) R(a 2 )  .   . R(a n ) 3)En dduire que Y (a j −a i )(b j −b i ) 1Éi<jÉn D n = Y ∙ (a i +b j ) 1ÉiÉn 1ÉjÉn

B. Distanced’un point À une partie dans un espace norm SoitEun espace vectoriel norm par une normek ∙ k. On rappelle que la distance d’un lmentx∈EÀ une partie non videAdeEest le rel notd(x,A) dfini par : d(x,A)=infkx−yk. y∈A 4)Montrer qued(x,A)=0 si et seulement sixest adhrent ÀA. 5)Montrer que si (A n ) nÊ0 est une suite croissante de parties deEet si S A= nÊ0 A n alorsd(x,A)=lim n d(x,A n ). On considre un sous-espace vectorielVdedimension finiedeE, et on note B={y;ky−xk É kxk}. 6)Montrer queB∩Vest compacte et qued(x,V)=d(x,B∩V) pour tout x∈E. 7)En dduire que pour toutx∈E, il existe un lmenty∈Vtel que d(x,V)= kx−yk.

C. Distanced’un point À un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien Dans cette partie, on suppose que la norme sur l’espace vectorielEest d- p finie À partir d’un produit scalaire (∙|∙) surE:kxk =(x|x).

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8)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel dedimension finiedeE, alors pour toutx∈E, la projection orthogonale dexsurVest l’unique lmenty∈Vvrifiantd(x,V)= kx−yk. n Pour tout suite finie (x 1 ,x 2 , . . . ,x n )∈Eon dsigne parG(x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) le dter- minant de lamatrice de Gramd’ordrendfinie par :   (x 1 |x 1 ) (x 1 |x 2 )∙ ∙ ∙(x 1 |x n ) (x 2 |x 1 ) (x 2 |x 2 )∙ ∙ ∙(x 2 |x n ) M(x 1 ,x 2 , . . . ,x n )=  .   . .. (x n |x 1 ) (x n |x 2 )∙ ∙ ∙(x n |x n ) 9)Montrer queG(x 1 ,x 2 , . . . ,x n )=0 si et seulement si la famille (x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) est lie. 10)On suppose que la famille (x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) est libre et l’on dsigne parV l’espace vectoriel qu’elle engendre. Montrer que, pour toutx∈E, G(x 1 ,x 2 , . . . ,x n ,x) 2 d(x,V)= ∙ G(x 1 ,x 2 , . . . ,x n )

D. Comparaisondes normesN ∞ etN 2 ∞2 Pour toute partieAdeCon note([0, 1])AetAles adhrences deApour les normesN ∞ etN 2 , respectivement. Pourf∈C([0, 1])la notationd(f,A) d- signe toujours la distance defÀA relativement À la norme N 2 (on ne consid- rera jamais, dans l’nonc, la distance d’un lment À une partie relativement À la normeN ∞ ). 11)Montrer que pour toutf∈C([0, 1]),N 2 (f)ÉN ∞ (f). En dduire que pour ∞2 toute partieAdeC([0, 1])on aA⊂A. © ª On considre l’ensembleV 0 =f∈C;([0, 1])f(0)=0 ,et on rappelle queφ 0 dsigne la fonction constante 1. 2 12)Montrer queφ 0 ∈V 0 . 13)En dduire queV 0 est dense dansC([0, 1])pour la normeN 2 , mais n’est pasdense pour la normeN ∞ . 14)Montrer que siVest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel norm, alors son adhrenceVest galement un espace vectoriel. 15)Montrer qu’un sous-espace vectorielVdeC([0, 1]) est dense pour la norme ∞ N ∞ si et seulement si pour tout entiermÊ0,φ m ∈V. 16)En dduire qu’un sous-espace vectorielVdeCest dense pour la([0, 1]) 2 normeN 2 si et seulement si pour tout entiermÊ0,φ m ∈V.

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E. Uncritre de densit deWpour la normeN 2 Pour toutn∈N, on noteW n l’espace vectoriel engendr par la famille finie (φ λ ) 0ÉkÉn . k 17)Montrer que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN 2 si et seulement si lim n d(φ µ ,W n )=0 pour tout entierµÊ0. 18)Montrer que pour toutµÊ0, n Y 1|λ−µ| k d(φ µ ,W n )= p . 2µ+1 λ k +µ+1 k=0 ³ ´ |λ k −µ| 19)Montrer que pour toutµÊ0, la suitetend vers 1 si et k∈N λ k +µ+1 seulement si la suite (λ k ) k∈N tend vers+∞. (On pourra pour cela tudier les variations de la fonction µ−x x∈[0,µ]7→ ∙) x+µ+1 20)En dduire que l’espaceWest dense dansC([0, 1])pour la normeN 2 si et X 1 seulement si la srieest divergente. λ k k

F. Uncritre de densit deWpour la normeN ∞ 21)Montrer que siWest dense dansC([0, 1]) pour la normeN ∞ , alors la srie X 1 est divergente. λ k k P n lment q 22)Soitψ=a k φ λ k deun uelconqueW n . Montrer que siλ k Ê1 k=0 pour toutk∈{0, 1, . . . ,n}, alors pour toutµÊ1, on a : n ¡ X ¢ N ∞ (φ µ −ψ)ÉN 2 µφ µ−1 −a k λ k φ λ k −1 . k=0 23)On suppose que la suite (λ k ) k∈N vrifie les deux conditions suivantes : ( (i) :λ 0 =0 (ii) :λ k Ê1 pour toutkÊ1. X 1 Montrer que sous ces conditions, si la srieest divergente, alorsW λ k k est dense dansCpour la norme([0, 1])N ∞ . 24)Montrer que la conclusion prcdente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible : 0 (iiinf) :λ k >0. kÊ1 F IN DU PROBLME

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