A MATH II PC

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2006 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• ?1 ≤


• inégalité


• unique matrice


• matrices symétriques


• ir dans ir


• espace des matrices réelles


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Inégalité

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

A 2006MATH. IIPC

ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES

Filire PC

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - PC.

L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

L’objectif de ce problme est de montrer la proprit suivante: soient deux familles de rels(a k , k= 1,∙ ∙ ∙, n)et(b k , k= 1,∙ ∙ ∙, n)satisfaisant

0< a 1 ≤a k ≤a n et0< b 1 ≤b k ≤b n pour toutk∈ {1,∙ ∙ ∙, n},

les ingalits suivantes sont vrifies: n n P P 2 2 a b k k 2 (a b k=1k=1 n b n +a 1 1 ) .(1) 1≤   2 ≤ n P 4a 1 b 1 a n b n a k b k k=1 On dsignera dans tout le problme par: –M n, p l’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0 n, p , la matrice nulle. –M n , l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0 n , la matrice nulle. t –Mla transpose d’une matriceM. –S n , le sous-ensemble deM n , constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. –I n la matrice identit d’ordren. –(X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeM n, p et tout couple de matrices colonnes(X,Y)oÙX∈ M n,1 etY∈ M p,1 :, l’identit suivante est satisfaite

t (AX|Y) = (X|AY).

Definition 1Une matriceAest dite positive lorsque pour toutXdeM n,1 , (AX|X)≥0. Une matriceAest dite dÉfinie positive lorsque pour toutX6= 0 deM n,1 ,(AX|X)>0.

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I. PrÉliminaires

Dans cette partie,Aest un lment deS n .

1) MontrerqueAest positive si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes positives.

2) MontrerqueAest dfinie positive si et seulement siAest positive et inversible.

3) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.

2 4) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: √ Ker(A−λI n ) =Ker(C−λI n ).

5) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positive telle queC=Aet que dans toute base de vecteurs propres deA,Cest diagonale.

1/2 On notera dsormaisC=A.

6) OnsupposeAdfinie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice, −1/2−1/2−1/2−1 noteA, symtrique dfinie positive telle queA A=A.

1/2−1−1/2 7) Prouverque(A) =A.

8) SoitBune matrice symtrique positive qui commute avecA. Est-ce que 1/2 1/2 AetBcommutent ?

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II. InÉgalitÉdeKantorovitch

Dans cette partie,Aest une matrice fixe deS n , dfinie positive. On range les valeurs propres deA, rptes suivant leur multiplicit, dans l’ordre croissant :0< λ 1 ≤. . .≤λ n . On notemetMdeux rels strictement positifs tels quem≤λ 1 etλ n ≤M.

9) Pourtout lmentX∈ M n,1 :, montrer l’ingalit suivante 2−1 (X|X)≤(AX|X)(A X|X).

(2)

10) Quellessont les matrices pour lesquelles cette ingalit est une galit pour toutXdeM n,1 ?

SoitFla fonction polynomiale qui À toutsdeIRassocie 2 F(s) =s−(m+M).s+mM.

11) Quellessont, en fonction de celles deA, les valeurs propres de la ma- triceF(A)?

12) Montrerque toutes les valeurs propres deF(A)sont de mme signe. Prciser ce signe.

13) SoitNla matrice dfinie par   −1 N=−A−(m+M) I n +.mM A Montrer queNest symtrique positive.

Pour tout lmentX∈ M n,1 , on considre l’application polynomialef deIRdansIR:dfini par 2−1 f(s) = (AX|X).s−(m+M)(X|X).s+ (A X|X)mM.

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14) Calculerf(0)etf(1)et montrer quef(0)f(1)≤0.

15) tablirque pour toutX∈ M n,1 , l’ingalit suivante est satisfaite: 2 (m+M) −1 2 (AX|X)(A X|X)≤(X|X).(3) 4mM

2 16) SoitD={(m, M)∈IR/0< m≤λ 1 ≤λ n ≤M}. tablir l’identit suivante : 2 2 (m+M) (λ 1 +λ n ) inf =. mM λ 1 λ n D

17) Onsuppose queAn’est pas une homothtie. On considreX 1 (respecti- vementX n ) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre λ 1 (respectivementλ n ). On poseX=X 1 +X n . Calculer −1 (AX|X)(A X|X) . 2 (X|X)

18) Quepeut-on en dduire sur l’ingalit (3)?

III. InÉgalitÉdePlya-Szeg

On suppose dornavant queA 1 etA 2 sont deux matrices symtriques, dfinies positives qui commutent. On notem i (respectivementM i ), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deA i , pouri= 1,2.On −1 poseD=A 1 A . 2

19) Dterminerun relαtel que pour tout lmentXdeM n,1 , l’ingalit suivante soit satisfaite:

−1 2 (DX|X)(D X|X)≤α(X|X).

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1/2 1/2 20) Exprimer(D(A 1 A 2 )X|(A 1 A 2 )X)en fonction deA 1 X, pour tout X∈ M n,1 .

21) Montrerque pour toutX∈ M n,1 :, l’ingalit suivante est satisfaite

2 (A 1 X|A 1 X)(A 2 X|A 2 X)≤α(A 1 X|A 2 X).

22) tablirla relation (1).

FIN DU PROBLME

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