Approximation numerique des equations de Vlasov Maxwell

Eric Sonnendrücker

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Approximation numerique des equations de Vlasov-Maxwell Eric Sonnendrucker IRMA Universite de Strasbourg Notes du cours de M2 18 mars 2010

• equations de vlasov-maxwell


• methode semi-lagrangienne classique


• plasma


• reaction de fusion


• rappels d'analyse complexe


• noyau


• cote des solides, des liquides et des gaz


• gravure par plasma en micro-electronique

Sujets

• Plasma

Informations

• Publié par: profil-afte-2012
• Publié le: 01 mars 2010
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Extrait

Approximation

num´eriquedes´equations

EricSonnendr¨ucker IRMA Universite´deStrasbourg

Notes du cours de M2

18 mars 2010

de

Vlasov-Maxwell

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Tabledesmati`eres

1 Introduction 5 1.1 Les plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2Lafusionthermonucl´eairecontrol´ee.....................5 1.3 Le projet ITER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4Lese´quationsdeVlasov-Maxwell......................7 1.5 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2Mod´elisationdesplasmas9 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2Unehie´rarchiedemode`lespourlesplasmas................9 2.2.1Lemode`lea`N 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -corps . 2.2.2Lesmode`lescine´tiques........................10 2.2.3Lesmode`lesfluides..........................12 3Etudethe´oriquedel’e´quationdeVlasov17 3.1L’e´quationdeVlasovline´aire........................17 3.2Proprie´t´esdeconservationdusyste`medeVlasov-Poisson.........21 3.3Propri´ete´sdeconservationdusyst`emedeVlasov-Maxwell........24 4M´ethodeseul´eriennes27 4.1Latechniquedusplittingd’ope´rateurs...................27 4.2Lesm´ethodessemi-Lagrangiennes......................29 4.2.1 Interpolation par splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2Lam´ethodesemi-Lagrangienneclassique..............30 4.2.3Lam´ethodesemi-Lagrangiennesanssplitting...........33 4.2.4Importancedelaconservativit´e...................33 4.3Lame´thodedesvolumesfinis........................34 4.4Lame´thodesemi-Lagrangienneconservative................37 4.4.1Equivalencedesme´thodeconservativeetclassiquepourdesad- vections ` efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 a co 4.4.2Comparaisondessche´masd’interpolation.............40 4.4.3Lame´thodesemi-Lagrangienneenavant..............40 4.4.4El´ementsd’analysedelame´thodesemi-Lagrangienneavecsplitting43 5Vlasov-Poissonli´earise´47 n 5.1Rappelsd’analysecomplexeettransforme´edeLaplace..........47 5.1.1 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.2Int´egrationsuruncontour......................48 5.1.3Transform´eedeLaplace.......................49 5.2Etudedel’´equationdeVlasov-Poissonline´aris´ee.............50 5.2.1 L’amortissement Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2.2L’instabilit´edoublefaisceau.....................60

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TABLE

DES

` MATIERES

Chapitre 1

Introduction

1.1 Les plasmas Lorsqu’ungazestporte´a`unetempe´raturetre`se´levee(10 4 Kspuolus)des´electron ´ quittentl’orbitedunoyaudel’atomeauquelilssontrattach´esdanslegaz.Onobtient alorsunme´langeglobalementneutredesparticulescharg´ees,ionset´electrons,quiest appele´plasma.Lesplasmassontconside´r´esa`coˆt´edessolides,desliquidesetdesgaz, commelequatrie`mee´tatdelamatie`re. Onpeut´egalementobtenircequ’onappelleunplasmanonneutre,ouunfaisceau departiculeschargees,enimposantunetr`esfortediffe´rencedepotentieldesortea` ´ extrairesoitdes´electrons,soitdesionsd’unm´etalbienchoisi.Unteldispositifse trouveenge´n´eraldansl’injecteurd’unacce´le´rateurdeparticules. Lesutilisationsdesplasmasdanslaviecourantesontdevenuesfr´equentes.Onpeut citerparexemplelestub`´l´cransplasma.Ilya´egalementuncertain es a neon ou es e nombred’applicationsindustrielles:amplificateursdanslessatellitesdet´ele´communica- tion,gravureparplasmaenmicro-e´lectronique,productionderayonsX.Ilfaut´egalement mentionnerquemˆemes’ilestquasimentabsenta`l’´etatnaturelsurlaTerre,hormis lesauroresbor´ealesauxpˆoles,leplasmaconstitue99%delamassedel’univers.No- tammentles´etoilessontforme´esdeplasmasetl’e´nergiequ’ellesde´gagentprovientdu processusdefusiondenoyauxl´egerscommelesprotons.

1.2Lafusionthermonucl´eairecontrol´ee L’´evolutiondesbesoinse´nerge´tiquesetl’e´puisementdescombustiblesfossilesrendent indispensabledede´velopperdenouvellessourcesd’e´nergie.Selonlaformulebienconnue E=mc 2 o,-utensinafsrortnaonqumatitdisifaiorptuepnlederiudgieren’´al´enree paraıˆtredelamasse.Ilexistedeuxgrandstypesdere´actionsnucl´eairesayantceteffet. Lar´eactiondefissionquiconsistea`g´en´ererdeuxnoyauxplusl´egers`apartirdunoyau d’unatomelourdetlar´eactiondefusionquiconsiste`acr´eera`partirdedeuxatomes le´gersunnoyaupluslourd.Lafissionestutilis´eedanslescentralesnucl´eairesactuelles. Lafusioncontroˆl´eeenestencoreaustadedelarecherche. Lar´eactiondefusionlaplusaccessibleconsistea`fairefusionnerdesnoyauxde Deut´iumetdeTritium,quisontdesisotopesdel’hydrog`ene,pourobtenirunatome er d’He´liumetunneutrontre`se´nerge´tiquequiservira`aproduirelachaleurn´ecessaire`a fabriquerdel’´electricite´(voirFig.1.1). Lestemp´eraturesrequisespourlafusionthermonucl´eairede´passentlacentainede ` millionsdedegr´es.Acestempe´raturesles´electronssed´etachentcomple`tementdeleur atomeetonobtientungazd’´electronsetd’ionsappele´plasma.Pourpouvoirproduire del’e´nergie,ilestbienentendune´cessairequelefacteurd’amplificationQqui est 5

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Figurednoitcae´raL–1.1umriteeunDiousef-Tritium lerapportdelapuissanceproduite`alapuissanceexte´rieurefourniesoitsup´erieur a`un.Unbilane´nerge´tiquepermetd’e´tablirlecrite`redeLawsonquirelielefacteur d’amplificationQau produitnT t E o`une,maaslpude´tisnedaltsTra´emptesateuter t E el’´entdfinemeconpmdselet.amserenedgiscanlaep Lafusionesta`labasedel’´energiedese´toilesdanslesquellesunconfinementa` unedensite´suffisanteestassureparleurmasse.Lestravauxderecherchesurlafusion ´ controˆle´esurTerreenvisagentdeuxapproches:lafusionparconfinementinertielqui consistea`atteindreunedensite´tr`ese´lev´eependantuntempsrelativementcourten tirant sur une capsule de Deuterium et Tritium avec des faisceaux laser ; la fusion par confinementmagne´tiquequiconsistea`confinerleplasmagrˆace`aunchampmagne´tique a`unedensite´moinse´lev´eemaispendantuntempspluslong.Cettedernie`reapproche estpoursuiviedansleprojetITERdontlaconstructionvientdedemarrera`Cadarache ´ danslesud-estdelaFrance.Leplasmaestconfin´edansunechambredeformetoroı¨dale appele´etokamakquipourITERestrepr´esente´esurlaFigure1.2.

Figure1.2 – Vue d’artiste du Tokamak ITER Notons que deux approches sont poursuivies pour le confinement inertiel, d’une part leconfinementutilisantdeslasersdetre`sgrandepuissancepourlequeldesinstallations experimentales (NIF aux Etats-Unis et LMJ en France) sont en cours de construction ´ pourlavalidationexp´erimentaleduconceptetd’autreparleconfinement`al’aidede faisceauxd’ionslourds.Onpourraser´efe´rerausitedeL’InstitutLasersetPlasmasa` Bordeaux pour plus d’informations sur la fusion inertielle par aserp:tthilw.ww//.p u-bordeaux1.fret au sitehttp://hll/iatotualritm.hl.fig.lbt/vorotupour la