Chapitre 2- Econométrie Appliquée SériesTemporelles

Christophe Hurlin

Description

Niveau: Supérieur, Master
Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d'Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN

• implications sur l'analyse économique des séries


• stratégie empirique


• impact des chocs conjoncturels


• processus


• rupture de moyenne


• série étudiée


• appliquée


• rupture du modèle

Sujets

• Processus
• Stationary

Informations

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Extrait

Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin

U.F.R.EconomieAppliquée

Maîtrise dEconomie Appliquée

Cours de Tronc Commun

Econométrie Appliquée SériesTemporelles

Christophe HURLIN

1

Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin

Chapitre 2

Tests de Non Stationnarité

et Processus Aléatoires Non

Stationnaires

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Dans le premier chapitre, nous avons vu quune des première étape de la démarche de modélisa- tion dune série temporelle consiste à vérier la stationnarité du processus générateur de données. Généralement, on se limite à vérier lastationnarité faibleoustationnarité du second ordre. Nous allons à présent étudier de façon de plus précise ce quest un processus non stationnaire. Il existe en effet deux sorte de non stationnarité : la non stationnarité déterministe et la non stationnarité stochastique. Nous verrons que suivant lorigine de la non stationnarité, il convient dadopter une méthode de stationnarisation particulière. La seconde partie de ce chapitre sera ensuite consacrée à la présentation des principaux tests de non stationnarité. Il sagit alors de dénir une stratégie empirique permettant de vérier si les processus sont stationnaires ou au contraire si il est nécessaire de les stationnariser et quelle est alors la méthode appropriée.

1 Processus non stationnaires Dans le premier chapitre, nous avons introduit la notion de stationnarité dusecond ordreoustation- narité faible.Daprès cette dénition,un processus est stationnaire au second ordre si lensemble de ses moments dordre un et dordre deux sont indépendants du temps. Par opposition,un proces- sus non stationnaire est un processus qui ne satisfait pas lune ou lautre de ces deux conditions. Ainsi, lorigine de la non stationnarité peut provenir dune dépendance du moment dordre un (le- spérance) par rapport au temps et/ou dune dépendance de la variance ou des autocovariances par rapport au temps.

Le fait quun processus soit stationnaire ou non conditionne le choix de la modélisation que lon doit adopter. En règle générale, si lon sen tient notamment à la méthodologie de Box et Jenkins, si la série étudiée est issue dun processus stationnaire, on cherche alors le meilleur modèle parmi la classe des processus stationnaire pour la représenter, puis on estime ce modèle. En revanche si la série est issue dun processus non stationnaire, on doit avant toutes choses, chercher à la stationnariser, cest à dire trouver une transformation stationnaire de ce processus. Puis, on modélise et lon estime les paramètres associés à la composante stationnaire.

La difficulté réside dans le fait quil existe diffsources de non stationnarité et quà chaqueérentes origine de la non stationnarité est associée une méthode propre de stationnarisation allons. Nous donc commencer dans cette section par présenter deux classes de processus non stationnaires, selon la terminologie de Nelson et Plosser (1982) : les processusT S(Time Stationary) et les processusDS(Differency Stationary). Dans la section suivante, nous présenterons les méthodes de stationnarisation pour chacune de ces classes de processus. Mais au delà des enjeux de modélisation économétriques, nous verrons dans cette partie, que lorigine de la non stationnarité a de très fortes

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implications sur lanalyse économique des séries que lon étudie. Nous verrons en particulier que pour les processusDSil existe une propriété de persistance des chocs qui nexiste pas dans les processusT S.exemple que si les séries macroéconomiques satisfontUne telle hypothèse implique par une représentation de typeDS,limpact des chocs conjoncturels peut avoir un effet permanent sur le niveau de la série étudiée.

Avant de présenter de façon formelle les différentes sources de non stationnarité, nous allons considérer quelques exemples simples de processus non stationnaires. Rappelons au passage la dénition de la stationnarité du second ordre (cf.chapitre 1) : Denition 1Un processus(x t , t∈Z)est dit stationnaire au second ordre, ou station- naire au sens faible, ou stationnaire dordre deux si les trois conditions suivantes sont satisfaites : ∀t∈Z, E  x 2  <∞ t ∀t∈Z, E(x t ) =m,indépendant det ∀(t, h)∈Z 2 , cov(x t , x t+h ) =E[(x t+h −m) (x t −m)] =γ(h),indépendant det

  

Figure 1.1: Processus Non Stationnaire : Modèle avec Rupture

15

10

5

0

-5

50 100 150 200 250 X

Sur lagure (1.1), est représentée une simulation dun processus(x t , t∈Z)présentant une rupture de moyenne à partir de la datet 0 = 125,avec(ε t , t∈Z)i.i.d.(0,2): x t = 3 +ε t t < t 0 x t  += 10ε t t≥t 0 Ce processus est par dénition non stationnaire (condition sur le moment dordre un) et lon vérie bien sur laque la réalisation de la moyenne empirique (estimateur convergent degure (1.1)

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lespérance) dépendra alors de léchantillon considéré (avantt 0 ,ou aprèst 0 ).Dans ce cas, la non stationnarité provient de la rupture du modèle, ou plus généralement de la non linéarité.

Un autre exemple de processus non stationnaire est celui du processus suivant : x t = 1 + 0.05t+ε t avecε t i.i.d.N(0,1).Dans ce cas, le processusx t correspond à la somme dune fonction linéaire du temps,f(t) = 1 + 0.05tet dun bruit blanc.

Figure 1.2: Processus Non Stationnaire : Trend Déterministe

20

15 10

5

0

-5

50 100 150 200 250 Y

On voit clairement sur le graphique (1.2) que ce processus ne satisfait pas la seconde condition de la dénition de la stationnarité du second ordre. En effetE(x t  + 0) = 1.05tcroit avec le temps, à chaque date la variable aléatoirex t ,∀t∈Za une espérance plus grande que celle de x t−1 , x t−2 , ..., x t−j ...Dans ce cas, lorigine de la non stationnarité provient tout naturellement de linclusion de la tendance (ou plus généralement de la fonction du tempsf(.))dans la dénition du processus(x t , t∈Z).On dit que la non stationnarité est alors detype déterministe.

Mais il existe dautres sources de non stationnarité. Considérons le processus suivant, que lon qualie généralement demarche aléatoire pure(Random Walk Process) oumarche aléatoire sans dérive: x t =x t−1 +ε t (1.1) avecε t i.i.d.N  0,σ 2 ε  .A priori dans ce cas, la non stationnarité nest pas de type déterministe, puisque le processusx t ne comporte pas de fonction déterministe du temps ( Pourtantgure 1.3). ce type de processus est aussi non stationnaire. Cherchons donc à déterminer lorigine de cette non

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stationnarité. Le processus(x t , t∈Z)peut se réécrire sous la forme : x t =ε t +ε t−1 +ε t−2 +...+ε t−j +... ∞ = [ ε t−j (1.2) j=0 Dès lors, connaissant les propriétés du bruit blancε t ,on montre que : ∞ E(x t ) =E   j ∞ [ ε t−j   = [ E(ε t−j ) = 0(1.3) =0j=0 Donc le processusx t ,∀t∈Za une espérance nulle et donc satisfait la seconde condition de la dé Maisnition de la stationnarité. il ne satisfait pas la première condition puisque : ∞ ∞ ∞ V(x t ) =V [   0 ε t−j   = [ V(ε t−j ) = [ σ ε 2 ≡ ∞(1.4) j=j=0j=0 La variance dex t  plus, si lon avait déest non convergente. Denie une condition initiale x 0 ,alors la variance dex t ,dénie parV(x t ) = S t j − 0 1 = σ ε 2 =tσ ε 2 serait fonction det.La troisième condition de la stationnarité faible est alors violée. Le processus(x t , t∈Z)est donc un processus non stationnaire. Pourtant, lexamen dune réalisation quelconque de ce processus (gure 1.3) ne permet pas a priori de dire que cette variable est non stationnaire. On sent dores et déjà, la nécessité de proposer des tests de lhypothèse de stationnarité.

Figure 1.3: Processus Non Stationnaire : Marche Aléatoire Sans Dérive 15 10 5 0 -5 -10 -15 50 100 150 200 250 Z

Dans ce dernier cas, la non stationnarité du processus(x t , t∈Z)tient au fait que les chocsε t saccumulent au cours du temps, ce qui accroît la variance dex t au fer et à mesure que le temps passe.de la non stationnarité provient ici de laccumulation de chocs stochastiquesLorigine ε t :

Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin7 la non stationnarité peut donc être de type stochastique fait que la stationnarité puisse être. Le de type déterministe ou stochastique nous amène à présent à dénir la classe des processusT S ( StationaryT rend), qui correspondent à une non stationnarité de type déterministe et la classe des processusDS(Dif f erency Stationary), qui correspondent à une non stationnarité de type stochastique.Cette distinction selon lorigine de la non stationnarité est essentielle tant sur le plan statistique que sur le plan de lanalyse économique. 1.1 Les processus TS Commençons par dénir ce quest un processusT Spour StationaryT rend, selon la terminologie proposée par Nelson et Plosser (1982) Denition 2(x t , t∈Z)est un processusT Ssil peut sécrire sous la forme x t =f(t) +z t (1.5) oùf(t)est une fonction du temps etz t est un processus stochastique stationnaire. Dans ce cas, le processusx t sécrit comme la somme dune fonction déterministe du temps et dune composante stochastique stationnaire, éventuellement de typeARM A.Dès lors, il est évident que le processus ne satisfait plus la dé e Ennition de la stationnarité du second ordre.ffet, on montre immédiatement queE(x t ) =f(t) +zoùz=E(z t ),dépend du temps, ce qui viole la seconde condition de la dénition dun processus stationnaire. Lexemple le plus simple dun processusT Scelui dune tendance linéaire perturbée par unest bruit blanc. On posef(t) =a 0 +a 1 tetz t =ε t : x t =a 0 +a 1 t+ε t (1.6) avec(a 0 , a 1 )∈R 2 ,ε t i.i.d.  0,σ 2 ε  .Dans ce cas, on vérie que le processusx t est non stationnaire puisque lespérance,E(x t ) =a 0 +a 1 t,dépend det.En revanche, le processusy t déni par lécart entrex t et la composante déterministef(t) =a 0 +a 1 t,est quand à lui stationnaire :y t = x t −a 0 +a 1 t=ε t est un bruit blanc, par dénition stationnaire. Une des propriétés importantes de ce type de processus réside danslinuence des innovations stochastiquesε t .En effet, nous allons montrer que lorsque un processusT Sest affecté par un choc stochastique, leffdisparaître au fer et à mesure que le temps passe : cest laet de ce choc tend à propriété de non persistance des chocs. De façon plus formelle, cette propriété est la suivante :

Chapitre 2. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin8 Propriété 1. Linuence dun chocε t à une dateTsur un processusx t déni par x t =f(t) +z t avecz t stationnaire etE(z t ) = 0, tendance du modèle étant Laest transitoire. déterministe, après le chocε T ,la séquence desx t converge ainsi vers sa valeur de long terme dénie parf(t).Il ny a pas de persistance des chocs. Cela signie que lorsque lon a un processusT S, en cas de choc positif ou négatif à une date donnée, toutes choses égales par ailleurs, linde ce choc a tendance à sestomper au coursuence du temps. La variable considérée rejoint alors sa dynamique de long terme déterminée parf(t). Dans le cas oùf(t)est une fonction affine du temps, la variable rejoint la tendance linéaire de long terme.Cette propriété traduit lexistence dune tendance non stochastique, et qui donc ne présente pas de rupture dès lors que la fonctionf(t)est continue cela signi. Economiquement,e que la trajectoire de long terme de la série est insensible aux aléas conjoncturels. An dillustrer cette propriété considérons lexemple suivant où lon a introduit une structure autorégressive dans la perturbationz t : x t =a 0 +a 1 t+z t (1.7) z t =θz t−1 +ε t (1.8) où(a 0 , a 1 )∈R 2 ,|θ|<1etε t i.i.d.  0,σ 2 ε  .Le processusz t est unAR(1)stationnaire, puisque la racine associée à son polynôme autorégressif, égale à1/θ, est supérieure à lunité en module. Admettons queE(z t ) = 0.Etudions à présent linuence du chocε t à une dateTquelconque sur la séquence des(x t , t≥T).Pour ce faire, appliquons la décomposition de Wold au processus stationnairez t ,il vient : ∞ z t = [ θ j ε t−j j=0 On peut alors réécrire le processusx t sous la forme suivante : ∞ x t =a 0 +a 1 t+ [ θ j ε t−j j=0 Supposons quà la dateT,on a ait une réalisation du chocε T positive (ε T >0) et quensuite les chocsε t pourt≥T A la datesoient nuls.T,on a donc : ∞ x T =a 0 +a 1 T+ [ θ j ε T−j j=0 A la dateT+ 1,les chocsε T+1 étant nul, on obtient : ∞ x T+1 =a 0 +a 1 (T+ 1) + [ θ j ε T+1−j j=1