Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• exposé

MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Dans tout le problème, désigne le -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l'élément nul est noté , et le sous-espace vecto- riel de formé des matrices symétriques. Si et sont deux éléments de , le produit de par est noté , la matrice transposée de est notée . D'autre part, on note l'application de dans qui à fait correspondre la matrice . On rappelle aussi que est linéaire et bijective. Partie I - Pour tout élément de , s'écrivant , on définit la trace de par : I.A - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur . À toute matrice de , on associe sa trace : on définit ainsi l'applica- tion trace notée de dans . I.A.1) Montrer que l'application trace est linéaire de dans . Comparer pour , les réels et , puis et . I.A.2) On pose Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . Pour toute la suite du problème, on pose : , , , . On note également l'élément unité de . M2 IR 2 2? 0 S2 M2 A B M2 A B AB A At ? IR4 M2 a b c d, , ,( ) IR 4 ? ? a b c d, , ,( ) a b c d? ?? ? ? ? = ? A

• m? m2 ?


• point dans l'espace


• ?k ?k


• ?a m2


• m2 det


• espace vectoriel des matrices carrées


• raci- nes de l'équation

Sujets

• Exposé

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière TSI

Dans tout le problème,

désigne le

-espace vectoriel des matrices carrées

à coefficients réels dont l’élément nul est noté , et

le sous-espace vecto-

riel de

formé des matrices symétriques.

Si

et

sont deux éléments de

, le produit de

par

est noté

, la

matrice transposée de

est notée

.

D’autre part, on note

l’application de

dans

qui à

fait

correspondre la matrice

.

On rappelle aussi que

est linéaire et bijective.

Partie I -

Pour tout élément

de

, s’écrivant

, on définit la trace de

par :

I.A -

Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur

.

À toute matrice

de

, on associe sa trace

: on définit ainsi l’applica-

tion trace notée

de

dans

.

I.A.1)

Montrer que l’application trace est linéaire de

dans

.

Comparer pour

, les réels

et

, puis

et

.

I.A.2)

On pose

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur

.

Pour toute la suite du problème, on pose :

,

,

,

.

On note également

l’élément unité de

.

M

2

IR

2

2

×

0

S

2

M

2

A

B

M

2

A

B

A

B

A

A

t

Ψ

IR

4

M

2

a

b

c

d

,

,

,

(

)

IR

4

∈

ψ

a

b

c

d

,

,

,

(

)

a

b

c

d













=

Ψ

A

M

2

A

a

b

c

d













=

A

tr

A

(

)

a

d

+

=

M

2

M

M

2

tr

M

(

)

tr

M

2

IR

M

2

IR

A

B

(

,

)

M

2

M

2

×

∈

tr

AB

(

)

tr

BA

(

)

tr

A

(

)

tr

A

t

(

)

A

B

,

(

)

M

2

M

2

×

∈

∀

A

B

〈

|

〉

tr

A

t

B

(

)

=

,

M

2

E

1

1

0

0

0













=

E

2

0

0

0

1













=

E

3

1

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------

0

1

1

0









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

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E

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1

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------

0

1

1

–

0



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

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

=

I

E

1

E

2

+

=

M

2