Concours Centrale Supélec

Georg Pólya

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Notations, définitions et rappels Si , soit l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L'application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si , est stable par et on note l'endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par : et , . Si , soient : , et On convient d'autre part que . Pour dans , soit l'espace vectoriel des fonctions de dans de la forme : , où la série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L'espace est appelé espace des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : . Objectif du problème, dépendance des parties La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I. n IN? ICn X[ ] n P IC X[ ] T P( ) P X 1+( ) T IC X[ ] n IN? ICn X[ ] T Tn ICn X[ ] T Hi(

• ic z


• espace des polynômes complexes de degré inférieur


• série entière


• polynôme


• rayon de convergence supérieur

Sujets

• Série entière
• Polynôme

Informations

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Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière PSI MATHƒMATIQUES I

Notations, définitions et rappels

Si n∈IN , soit IC[X] l’espace des polynômes complexes de degré inférieur ou n égal à n . Pour P dans IC[X] , soit T(P) le polynôme P(X+ 1 . ) L’application T ainsi définie est clairement un endomorphisme de IC[ . X] De plus, si n∈ , IN IC[X] est stable par T et on note T l’endomorphisme de IC[X] induit par T . n nn Soit (H) la suite des polynômes de Hilbert, définie par : i i∈IN i– 1 1 ∗ H= 1 et ∀i∈IN , H= - (X–k) . i! ∏ 0i k= 0 * Si R∈IR , soient : + D={z∈IC,z<R} , D={z∈IC,z≤R} et C={z∈IC,z=R} R RR * On convient d’autre part que D=IC . Pour R dans IR∪ {∞} , soit E l’espace ∞+R vectoriel des fonctions de D dans IC de la forme : R +∞+∞ n n zaa z , où la série entière a z ∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal à R . L’espace E est appeléespace ∞ des fonctions entières. On pourra utiliser la formule de Stirling : n n   sin→+∞,n! ∼ 2πn - .   e

Objectif du problème, dépendance des parties

La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômesd P e IC[ te X l ] s que P(I . N L ) a ⊂ p ZZ artie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d’établir quelques proprié- tés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la der- nière question de I.

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MATHÉMATIQUES I FiliËre PSI

Filière PSI

Partie I - Polynômes de Hilbert Soitda n ns . IN I.A - Inversion d’une matrice n I.A.1) Écrirela matrice M de T dans la base (1,X, …,X) de IC[X] . n nn –1 I.A.2) Vérifierque M est inversible ; expliciter M . n n I.B - Propriétés de la suite (H) i i∈IN I.B.1) Montrerque (H) est une base de IC[X] . i n 0≤i≤n ∗ I.B.2) Si j∈ZZ et i∈IN , donner une expression simple de H(j) montrant i que H(j) est dans ZZ . On distinguera les trois cas : j<0, 0≤j≤i– 1 et j≥i . i I.C - Polynômes de IC[X] tels que P(IN) ⊂ZZ Soit P dans IC[X] . On décompose P sur (H) en : n i 0≤i≤n n P=a H . ∑ i i i= 0 I.C.1) Vérifierl’égalité suivante :    a P(0) 0    t   =M .   M n M    P(n)a   n  t où M est la transposée de la matrice M . n n I.C.2) Établir: i i–j j ∀i∈ {0, …,n} , . a=(–1)CP(j) i ∑ i j= 0 i i–j j Si i≥n+ 1 , que vaut (–1)CP(j) ? ∑ i j= 0

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MATHÉMATIQUES IFilière PSI I.C.3) Montrerque les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) ∀i∈ {0, …,n} , , P(i) ∈ZZ b) ∀i∈ {0, …,n} , , a∈ZZ i c) P(ZZ) ⊂ZZ . En particulier les polynômes P de IC[X] tels que P(IN) ⊂ZZ sont les combinai- sons linéaires à coefficients dans ZZ des polynômes de Hilbert. I.D - Description des suites de la forme (P(j)) où P un polynôm este. j∈IN Soit (u) une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes j j∈IN sont équivalentes : a) ilexiste P∈IC[X] tel que : ∀j∈IN , u=P(j) , n j b) i i–j j ∀i∈IN , . i≥n+ 1⇒ (–1)Cu= 0 ∑ i j j= 0

Partie II - Quelques propriétés des séries entières * Dans toute cette partie, on fixe : R dans IR∪ {+∞} , f dans E , ω dans D et +R R r dans ]ω ,R[ . Pour z dans D on écrit donc : R +∞+∞ n n f(z)=a z , où la série entière a z ∑ ∑ n n n= 0n= 0 a un rayon de convergence supérieur ou égal à R . (k) * Pour k∈IN on note f la fonction définie pour z∈D par : R +∞ (k)n–k f(z)=n(n–1)…(n–k+ 1)a z ∑ n n=k (on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale). II.A - Représentation intégrale de f(ω) à partir des valeurs de f sur C r II.A.1) Si p∈IN , prouver : π it–ipt p f(re)e dt= 2πa r . ∫ –π p II.A.2) Montrer: it π re it dt f(ω)= - f(re) - . ∫ –π 2π it re–ω

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MATHÉMATIQUES IFilière PSI Indication :on pourra partir de : +∞ it p re ω   - = - . it ∑  it  re–ω re p= 0 II.B - Principe du maximum II.B.1) Justifierla définition de M(r)= Max{f(z) ,z∈C} . f r r II.B.2) Montrer: f(ω) ≤ - M(r) . f r–ω II.B.3) Montrer: f(ω) ≤M(r) . f ∗ Indication : si p∈IN , on pourra appliquer, avec justification, le résultat de p II.B.2 à f puis faire tendre p vers +∞ . II.C - Division de f(z)–f(ω) par z–ω pour f dans E R II.C.1) Si j∈IN , montrer la convergence de la série de terme général n– 1 –j aω pour n≥j+ 1 . On pose : n +∞ n– 1 –j b=aω . j ∑ n n=j+ 1 1   II.C.2) Montrerque, lorsque j→+∞ , b=O - . j  j  +∞ r j II.C.3) Montrerque le rayon de convergence de la série entière bz est ∑ j supérieur ou égal à R . Pour z∈D , on pose : j= 0 R +∞ j g(z)=b z . ∑ j j= 0 Vérifier : ∀z∈D , (z–ω)g(z)=f(z)–f(ω) . R II.D - Minoration de M(r) à l’aide des zéros de f f ∗ On suppose que p∈IN , ques’ f annule enpo p ints distincts z,… d , e z 1p D\{0} . r II.D.1) Montrerqu’il existe F dans E telle que : R p p 2 ∀z∈D , . F(z() ×z–z)=f(z() ×r–z z) ∏ ∏ R jj j= 1j= 1 II.D.2) Si j∈ {1, …,p} et z∈C\{z} que vaut r j 2 r–z z j ? - z–z j

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MATHÉMATIQUES IFilière PSI II.D.3) Enappliquant II.B.3 à F au point ω= 0 , montrer : p p M(r) ×z≥f(0)r . ∏ f j j= 1 (k– 1) ∗ II.D.4) Onsuppose f(0)=…=f(0)= 0 où k∈IN . Prouver : p (k) f(0) p+k M(r) ×z≥ - r . ∏ f j k! j= 1 II.E - Étude asymptotique d’une fonction entière nulle sur IN On suppose que R= +∞ , c∈]0,e[ , f est nulle sur IN et que lorsque r→ , ∞ r M(r)=O(c) . f Montrer que f= 0 . Indication : onsupposera par l’absurde f , ≠ o 0 n appliquera II.D.4 avec (i) k= Min{i∈IN,f(0) ≠0} , r=p , z= 1, …,z=p , et on fera tendre p vers +∞ . 1p

Partie III - Théorème de Pólya Soitd f ans . E ∞ n k k III.A - Majoration de (–1)Cf(k) ∑ n k= 0 ∗ Soient n dans IN et r un réel tel que r>n . III.A.1) Décomposeren éléments simples la fraction rationnelle : n! F= - . n X(X– 1)…(X–n) III.A.2) Àl’aide de II.A.2, prouver : n it π n!f(re)dt n–k k -- =(–1)Cf(k) . ∫ –π it it 2π ∑ n (re– 1)…(re–n) k= 0 III.A.3) Montrer: n n!M(r) n–k k f (–1)C f(k) ≤ - . ∑ n (r– 1)…(r–n) k= 0

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MATHÉMATIQUES I III.B - Preuve du théorème On suppose ici a) f(IN) ⊂ZZ , r   2 b) Lorsque r→+∞ , M(r)=o  -  . f  r  On va démontrer que f est polynomiale (théorème de Pólya).

Filière PSI

z N.B. L’exemple de f(z)= 2 montre que la condition asymptotique (b) n’est pas loin d’être optimale. III.B.1) Enappliquant III.A.3 à r= 2n+ 1 , prouver qu’il existe N dans IN tel que n n–k k ∀n≥N , . (–1)Cf(k)= 0 ∑ n k= 0 III.B.2) Àl’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.

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••• FIN •••

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