CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES

Description

Niveau: Supérieur

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CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PREMIER PROBLÈME désigne l'ensemble des nombres réels. On notera M2() l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M2(),+,.) est un espace vectoriel sur et ? désigne la mul- tiplication des matrices. ? désigne l'ensemble des complexes. On notera z le module d'un complexe z. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d'une fonction. Soit la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, =f )(zf iz z 2 ? ? . 1. Déterminer le domaine de définition D de f 2. a. Déterminer les racines carrées complexes de i68 ? .

• e??? ????


• ???? ?


• ?? cos2


• sin


• mul- tiplication des matrices


• matrice de ?b dans la base canonique de m2

Sujets

• Qaf (sura)
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• Langue: Français

Extrait

CONCOURS COMMUN 2006 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 11 mai 2006 de 14h00 à 18h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres corres- pondante. L'emploi d'une calculatrice est interdit

PREMIER PROBLÈME §désigne l’ensemble des nombres réels. On noteraM 2 (§) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. On rappelle que (M 2 (§),+,.) est un espace vectoriel sur§et×désigne la mul- tiplication des matrices. ˜désigne l’ensemble des complexes. On notera z le module d’un complexez. Les différentes parties de ce problème ont un lien entre elles mais peuvent être traitées séparément. Étude d’une fonction. z² Soit f la fonction qui à un complexe z c’est possible,associe, lorsque f(z) =. z−2i 1.Déterminer le domaine de définitionDdef 2. a.Déterminer les racines carrées complexes de 8 6i .  b.En déduire tous les antécédents de 1i parf. 3.Soithun complexe. Discuter suivant les valeurs dehle nombre d’antécédents dehparf. 4.Déterminer l’imagef(D) deD parf. La fonctionfest-elle une application surjectivede D dans˜ ? 5.fest elle une application injective deDdans˜? CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Page1/4

Soit l’applicationdéfinie surDà valeur dans ˜ et telle que : z² 3 ∀z∈D,g(z) = z−2i² +z z−2i 6.Soit z un complexe appartenant à D  de partie réelle x et de partie imaginaire y . Trouver la partie réelle et la partie imaginaire de g ( z ) .Montrer en particulier que la partie réelle de g ( z ) est: 3 2 x −2 xy ²−4 xy . G G Soit le planPrepère orthonormé directrapporté à unR( O,e,e ). SoitΓl’ensemble des pointsM 1 2 du plan d’affixe z tels que g ( z un imaginaire pur.) est 7.Montrer queΓest inclus dans la réunion d’une droite∆ et d’une conique C . PréciserΓ. 8.Déterminer la nature de C . Préciser le centre et les axes de C . Déterminer l’excentricité de C ainsi que les coordonnées de ses foyers dans le repère R . Étude d’un polynôme. Soit a entier naturel. Soit un P  lafonction polynôme définie sur§ par: a 3 ∀t∈ § ,P(t)=t−t(a²+2a)+2 . a Le but de cette partie est de trouver a tel quePpossède trois racines dans¯. a On suppose que a existe. Soientt,t,tles 3 racines dePavect≤t≤t. 1 2 3a1 2 3 9.Que valentt+t+tetttt? 1 2 31 2 3 10.CalculerP a (0) et en déduire que t <0. 1 11.Déduire du 9.queet du 10.t≤0≤t≤t≤ −tpuis les valeurs det,t,t. 1 23 11 2 3 12.Montrer queP ′ (t) =0. En déduire la valeur de a . a2 13.Réciproquement, montrer que la valeur de a ainsi trouvée convient bien. Étude de deux ensembles de matrices. ⎛ x−y y ⎞ Soit (x,yélément quelconque de) un§² . On noteMla matrice ⎜ ⎟ . x,y 2x+y ⎝ ⎠ SoitΣle sous-ensemble deM 2 ( § ) telqueΣ={M, (x,y)∈ § ²}. x,y 14.etQuelle relation doivent vérifierypour que la matriceMne soit pas inversible ? x,y M M Calculer le produitM× −xy . En déduire l’inverse de x,y lorsqu’il existe. x,y, 15. Σest-il un sous-espace vectoriel de (M 2 ( § ),+,.) ? On justifiera sa réponse. ⎛ 0 0 ⎞ M x∈ § ²}. SoitA= ⎜ ⎟ ∈M 2 ( § ) etJ={A+ x,y ,, (y) −2 0 ⎝ ⎠ 16.Montrer queJest un sous-espace vectoriel de (M 2 (§),+,.). 17.Quelle est la dimension deJ? Déterminer une base deJ. 18.Montrer quela loi×est interne dansJ. Étude d’une application deM 2 (§). SoitBune matrice quelconque deM 2 ( § ). Soitϕ B l’application deM 2 ( § ) dansM 2 ( § ) qui à la ma- triceXassocie la matriceϕ B (X) =B×X. 19.Montrer queϕ B est un endomorphisme de l’espace vectoriel (M 2 (§),+,.). ⎛ 1 1 ⎞ 20.On suppose dans cette question queB=M 2,1 = ⎜⎟ . 2 3 ⎝ ⎠ CONCOURS COMMUN SUP 2006 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières)2/4 Page

20.aϕ B  est elle surjective ? Bijective ? 20.b. Déterminer la matrice deϕ B dans la base canonique deM 2 (§). On rappelle que la base canonique deM 2 (§) est constituée des matrices ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ (E 1,1 ,E 1,2 ,E 2,1 ,E 2,2 ) oùE 1,1 = ⎜ ⎟ ,E 1,2 = ⎜ ⎟ ,E 2,1 = ⎜ ⎟ etE 2,2 = ⎜ ⎟ . 0 00 01 00 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ 2−2 ⎞ 21. On prend dans cette questionB=M 0,–2 = ⎜ ⎟ .ϕ B est elle surjective ? Bijective ? 2−2 ⎝ ⎠

DEUXIÈME PROBLÈME. Soitnun entier naturel. Sinest non nul,on notefla fonction définie sur§qui associe à un réel n sinx x lorsque c’est possiblef(x)= −. On notefla fonction définie sur § qui associe à n0 2−cosx n sinx un réelxlorsque c’est possiblef(x)=. 0 2−cosx Généralités surf. n Soitnun entier naturel fixé. 1.Déterminer le domaine de définitionDdef. n 2.fest-elle paire ?fest-elle impaire ? On justifiera sa réponse. n n 3.fest-elle 2π-périodique ? n 4.Montrer qu’il suffit d’étudierfsur [0,π] pour tracer sa courbe surDtout entier. On justifiera n sa réponse. ion . Étude de la fonctf 0 5.Étudier la dérivabilité defsurD. Déterminer l’expression de sa dérivée. 0 6.Étudier le signe de la dérivée defsur [0,π]. 0 7.Déterminer le tableau de variations sur [0,π] et tracer l’allure de la courbe defsur§dans le 0 plan rapporté à un repère orthonormé. -3  Onrappelle que :3 apour valeur 1,732 comme valeur approchée par défaut à 10près. 8. Déterminer les valeurs maximales et minimales atteintes parf(xparcourt) quand § . En dé- 0 duire la valeur maximale atteinte par f(x) lorsque parcourt§. 0 Utilisation d’une primitive def. 0 π sint 3 9.Déterminer une primitive defsur§. En déduiredt. ∫ 0 0 2−cost sinx Soit l’équation différentielle(E) :y' (x)+y(x)=2 sinx. 2−cosx 10.Résoudre sur§l’équation sans second membre(H) associée à (E). 11.Chercher une solution particulière de (E) sous la formex6acos(x)+bavec (a,b)∈§². Résoudre (E) sur§. 12.Trouver la fonction h définie sur§, solution de (E) et qui vérifie :h(0)=1.

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Étude d’une courbe polaire. Le plan est rapporté à un repère orthonormé directℜ(O,i,j). Soit Γ la courbe définie par G sin θ G ρ = θθ + θ l’équation polaire :. Pour tout réelon noterau θ le vecteuru θ = cosisinjet 2−cos θ sin M( θ ) le point dOM(θ)=u u plan tel que θ . 2−cosθ 13.deSoit un élémentD. Montrer qu’il existe une symétriestelle ques(M) =( )M(−) . π 14.Déterminer une équation cartésienne de la tangente àΓau pointM( ). 2 15.Tracer l’allure de la courbeΓ. sinx Étude de la fonction: x 6 . x(2−cosx) 16. Déterminer le domaine de définition de. 17. admet une limite finieMontrer quelen 0. On prolongepar continuitéen posant :g(0) =l. 18. Déterminer le développement limité en 0 d’ordre 3 deainsi prolongée. 19. est dérivable en 0 et déterminerMontrer queg' (0) . On admet queest dérivable sur ]0,π] et quepour toutde ]0,π],g' (x) est strictement négatif. 20.Montrer quegest une bijection entre [0,π] et un ensembleIà définir. On notera h sa réciproque. Étude d’une suite qui annulef. n Soit n un entier naturel non nul. 21. Montrer que si a est un réel strictement positif qui annulef, alors a appartient à l’intervalle n [0,n3 ]. 22.Montrer qu’il existe ununique réelx n appartenant à [0,π] tel quef n (x n ) = 0. 23.Montrer que la suite (x n ) est convergente et déterminer sa limite. FIN DE L'ÉPREUVE

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