Cours de Math IV Algebre

Description

Niveau: Supérieur

• cours - matière potentielle : math iv

Cours de Math IV Algebre (R. Bahloul, 2e semestre 2009/2010) 1

• diagonalisation des matrices symetriques


• x? ?


• matrices unitaires


• endomorphismes orthogonaux en dimension


• algebre lineaire


• memes lois


• relation d'equivalence


• groupe orthogonal


• couple d'espaces vectoriels

Sujets

• Grifone
• Algèbre linéaire
• Relation d'équivalence
• Groupe orthogonal

Informations

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Extrait

Cours

(R.

de

Bahloul,

Math

2

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IV

semestre

1

Al`ebre g

2009/2010)

2

Leslivresutilise´slorsdelapr´eparationdececoursfurentlessuivants. Refe ´ rences ´ [1]JosephGrifone,Alg`ebreline´aire,2 e ioit.nsitide´eds´`edupa´e,con [2]X.Gourdon,LesMathsentˆete-Alg`ebre(ellipses). [3]Ren´eDeheuvels,formesquadratiquesetgroupesclassiques,puf. Tabledesmati ` eres Re´fe´rences2 1. Espace vectoriel quotient 4 1.1. Notions preliminaires - Rappels 4 ´ 1.2.D´efinitiond’unespacevectorielquotient5 1.3. Codimension 6 1.4. Application quotient 7 2.Dualit´e8 2.1. Introduction 8 2.2.D´efinitiondudualetpremiersre´sultats9 2.3. Base duale 10 2.4.Baseante´duale11 2.5. Annulateurs 11 2.6.Transpose´e12 2.7. Bidual 14 3.Formebilin´eairesuruncoupled’espacesvectoriels15 3.1.Premi`eresd´efinitions15 3.2. Matrices associ´ 15 ees 3.3.Applicationslin´eairesassocie´es-Rangdeb16 3.4.Caracte´risationdurangentermed’´ecrituredansdesbases18 3.5.Nonde´ge´n´ere´scence-relationsd’orthogonalite´19 3.6.Generalite´ssurlesformesbilin´eairessurunespacevectoriel-Noyau ´ ´ d’uneformebilin´eaire-Adjointd’uneapplicationlin´eaire20 4.Formesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.1.Relationentreformesbilin´eairessym´etriquesetformesquadratiques23 4.2. Bases orthogonales 25 4.3. Point de vue pratique : orthogonalisation de Gauss 26 4.4.Formesquadratiques´equivalentes31 4.5. Formes quadratiques surC32 4.6. Formes quadratiques sur unR33 4.7.Formesbilin´eairesantisyme´triquessurR35 5.Diagonalisationdesmatricessyme´triquesre´ellesetformequadratique sur un espace euclidien 38 5.1.Diagonalisationdesmatricesr´eellessym´etriques38 5.2. Forme quadratique sur un espace euclidien 41 6. Groupe orthogonal 43 6.1. Groupe orthogonal d’un espace euclidien 43 6.2. Groupe orthogonal 45 6.3.Endomorphismesorthogonauxendimension2:Isom´etriesd’unplan vectoriel 46 6.4.R´eductiondesendomorphismesorthogonaux47

7.Formessesquilin´eairesethermitiennes 7.1. Introduction 7.2.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquilin´eairessurE×F 7.3.Ge´ne´ralite´ssurlesformessesquiline´airessurE 7.4.Forme(sesquiline´aire)hermitienneetformequadratiquehermitienne 7.5. Diagonalisation des matrices hermitiennes et forme hermitienne dans un espace hermitien 7.6. Matrices unitaires

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49 49 49 51 51 56 56

4 1.Espace vectoriel quotient Lanotiond’espacevectorielquotientesta`rapproch´eedecequiestconnuconcer- nantZnZbosu(tejsuos-llaimoerlodusounedxuacestsedrtva.L’id´eedansles groupe(ouide´al)dansuncas,sous-espacevectorieldansl’autre). 1.1.tiNos.s-Rappelminiiaernops´rle D´efinition1.1.1.elerioatsqonunu’aRleppuieq’´ndencleva∼sur un ensembleA est une relation binaire surA:safsitasitaantruxspoiprrote´isse´aviusetn –R´eflexivit´e:∀x∈A x∼x –Sym´etrie:∀x y∈A, six∼yalorsy∼x –Transitivite´:∀x y z∈A, six∼yety∼zalorsx∼z. De´finition1.1.2.Soit∼avelcnsedn´’qeiumbleurunenseelerioatunA. – Pourx∈A, on note¯x={y∈A|x∼y}.nO’lpaecniuqeelavssla’´edllpeacel deA. (Il s’agit donc d’un sous-ensemble deA.) –Ond´efinitl’espacequotientA∼deApar∼comme l’ensemble{¯x|x∈A}. Il s’agit donc d’un sous-ensemble deP(A). – SoitX∈A∼mentel´eU.´nxdeXes)tae(tdanntseascllanue´leppese´rper X. Proposition 1.1.3.SoitAun ensemble. (1)Soit∼uresncleuner´’qeiuavletaoidnA. AlorsAesntediojsidnoinue´ral classesd’´equivalences(autrementdit,lesclassesd’´equivalenceformentune partition deA). (2)SoitA= S i∈I X i une partition quelconque deAe´nfiD.snalsiostionrela binaire suivante. Pourx y∈A,x∼y⇐∃⇒i∈I{x y} ⊂X i . Alors∼ estunerelationd’e´quivalence. Lapreuveestlaisse´eenexercice. Onpeuttraduirecettepropositioncommesuit:sedonnerunerelationd’e´quivalence ou se donner une partition sont deux cho ´ ivalentes ses equ . Supposons maintenant que surAil y ait une loi interne qu’on note∗et une structure externe sur (par exemple) un corpskqu’on noteλx. On dit que les lois sont compatibles avec la relation∼isrporpselsse´te´iesntvaui sont satisfaites. – Pourx x ′  y y ′ ∈A, six∼x ′ ety∼y ′ alorsx∗y∼x ′ ∗y ′ . – Pourx x ′ ∈Aet pourλ∈k, six∼x ′ alorsλx∼λx ′ . L’espace quotientA∼deApar la relation∼tserolasusstpecleibˆed’emtriun desmeˆmesloisqueAetc).tivit´e,e´te´irpicossa(s´eitivattamuom,clesmavecsproˆeme En effet, soientXetYsdnte´euxmeleedE∼. On a envie de poser :X∗Y=x∗yo`u xdeuenqcoelestutnuqneat´rsernpeX(i.e.x∈X) etyse´rpernuatneuqtnocleeuqn deYellened´ependpas’nsevtladiqeeuis.d´Laniefiontitsanntsedxiohcude´rperse xety. Autrement dit, si on avait fait un autre choixx ′ etnereprresr´oupXet un autre choixy ′ estnreurrepr´epoY, on devrait pouvoir poserX∗Y=x ′ ∗y ′ ; et c’est le cas si la relation∼est compatible avec la loi∗. Demeˆme,onveutposerλX=λxlilaiottectetinfie´del´stneioesimiteg externe est compatible avec la relation∼. Un exemple connu d’une telle situation :

5 Exemple 1.1.4.SoitA=Z. Soitn∈Znitfie´dnO.∼delafa¸consuvinaet: a∼b⇐⇒a−b∈nZ.Cteetlareontiutseerenital’dno.e)icrcexe(ecnelaviuqe´ L’ensemble quotient obtenuA∼´etnotesZnZ. L’ensembleA ations internes ´est muni de deux o+et×tionssonesop´eratC. per compatibles avec∼icrexe(´dnO.)ectreaemonquelorsZnZest un anneau comme l’estZ. 1.2.infienoitnu’dapseD´ne.tcevectorielquotiSoit (E+k) un espace vec- toriel etFun sous-espace vectoriel deEvaOnefid´rlniuoeqdteitne.EparF. De´finition1.2.1. (1)nabiontiuresirinfie´dnOalerenutE(nddequid´epeF) : pourx y∈E, x∼y⇐⇒x−y∈F. Exercice:c’estunerelationd’´equivalence. (2)On appelle espace quotient deEparFl’ensemble quotientE∼et on le noteEF. (3)Pourx∈E, on notexla classe dexdans ce quotient. On dit aussi classe ¯ dexmoduloF. Proposition 1.2.2.Pourx∈E, on a ¯x=x+F:={x+y|y∈F} D´emonstration. ⊂: Soitx ′ ∈x¯ alorsx−x ′ ∈Fd’o`ux ′ ∈x+F. ⊃: Soitx ′ ∈x+F. Alors il existey∈Ftel quex ′ =x+ynt,equeons´Parc. ¯ x ′ −x=y∈F. Ainsix∼x ′ , i.e.x ′ =x¯ ou encorex ′ ∈¯x  Ainsi, l’ensembleEFn’est rien d’autre que l’ensemble desx+Favecx∈E, i.e.c’estl’ensembledetousles“translate´sdeF. ” ¯ Remarque 1.2.3.Pourx∈E, on a :x∈F⇐⇒¯x= 0 D´emonstration.En exercice. Pour le momentEFn’est rien d’autre qu’un ensemble. Proposition 1.2.4.Les operations+etntsoibatmpcoevlcelastaoiraleequind’´nce.vale ´ D´ onstration.Soientx x ′  y y ′ ∈Etels quex∼x ′ ety∼y ′ . Soitλ∈k. On doit em montrer quex+y∼x ′ +y ′ etλx∼λx ′ . Parhypothe`se,x−x ′ ∈Fety−y ′ ∈F, i.e. il existex ′′  y ′′ ∈Ftels quex−x ′ =x ′′ ety−y ′ =y ′′ .Parcon(´sqeeutnx+y)−(x ′ +y ′ ) = (x−x ′ ) + (y−y ′ ) =x ′′ +y ′′ ∈F ce qui montre bien quex+y∼x ′ +y ′ Concernant le produit, on a :λx−λx ′ =λ(x−x ′ ) =λx ′′ ∈F. Ainsiλx∼λx ′  Grˆace`acetteproposition,onpeutde´finirdeuxope´rations:+etsurEF. De´finition1.2.5.SoientX Y∈EFetλ∈k. Soientx∈X(i.e.xtnatnruenesr´ep deX) ety∈Y(i.ey´rpenesesernutnttadeY). On pose alorsX+Y=x+yet λX=λx.