Cours de premiere annee de licence

Cédric Milliet

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• cours - matière potentielle : du meme nom


• cours - matière potentielle : premiere annee de licence

Fondement des mathematiques Cedric Milliet Version preliminaire Cours de premiere annee de licence Universite Galatasaray Annee 2011-2012 Ces notes de cours doivent beaucoup au cours du meme nom de Marie-Christime Peroueme.

• grammaire des mathematiques


• memes elements


• variable


• vieilles conventions typographiques


• relatifs pairs


• depend de plusiseurs variables

Sujets

• Variable

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Fondementdesmath´ematiques

Ce´dricMilliet

Versionpre´liminaire

Coursdepremi`ereanne´edelicence Universite´Galatasaray Anne´e2011-2012

CesnotesdecoursdoiventbeaucoupaucoursdumeˆmenomdeMarie-ChristimePe´roue`me.

Chapitre 1

Introduction : un peu de logique

Avantd’apprendrelapo´esie,ilfautconnaˆıtrelagrammaireetl’orthographedelalangue.Delamˆeme mani`eutvoirlalogiquecommeunegrammairedesmathe´matiques.Lesphrasesensontles´enonce´s,et ere, on p peuventeˆtreconnecte´esentreelles,ouquantifi´eespourformerd’autresphrases.

1.1Enonce´s,e´quivalencelogique De´finition1( e´nonc´e ) Un ´enonc´e estunephrasedontonpeutdiresielleestvraieoufaussesansambiguı¨te´(dansuncontexte donne´). Exemple ”10 < 100”, ”1 = 2”, ”10 est un entier pair”, ”100 < 10”sonttousdese´nonc´es.” x 2 = x ” aussi. Mais . ”1 + 2 + 3 + ∙ ∙ ∙ + n ”n’estpasune´nonce´. D´efinition2( implication ) A et B sontdeux´enonce´s.Onditque A implique B si B estvraid`esque A est vrai. On note A = ⇒ B . Exemple. ( x = 1) = ⇒ ( x 2 = 1). De´finition3( e´quivalencelogique ) Deuxenonce´s A et B sont e´quivalents si A implique B et B implique A . On note alors A ⇐⇒ B et on ´ dit que ” A este´quivalent`a B ”, on encore que ” A est vrai si et seulement si B l’est”. Exemple. Si a et b sontdeuxnombresre´els,onalese´quivalencessuivantes: ( a 2 = b 2 ) ⇐⇒ ( a 2 − b 2 = 0) ⇐⇒ ( a − b )( a + b ) = 0 ⇐⇒ ( a = b ou a = − b ) Nota bene. Les symboles = ⇒ et ⇐⇒ relient deux e´nonce´s ,etseulementdeuxe´nonc´es.Nepas´ecrire n’importe quoi. La suite de symboles ”2 2 = ⇒ 4” ne veut rien dire. Nota bene. A , B et C sontdesenonc´es.L’´enonc´e A implique toujours A . Si A implique B et B implique C , ´ alors A implique C . En particulier, si A et B sonte´quivalents,etsi B et C sonte´quivalents,alors A et C sont equivalents. ´

1.2Ope´rationssurlese´nonce´s Dans la suite, A et B sontdese´nonce´s. D´efinition4( n´egation ) La n´egation de A est un enonce qui est vraie si et seulement si A est faux. On le note non ( A ) . ´ ´ Nota bene. On nonnon ( non ( A ))esttoujours´equivalenet`a A . D´efinition5( conjonction ) La conjonction de A et B estl’e´nonce´ AetB est vrai si et seulement si A est vrai et B est vrai. On la note AetB .

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