Cours PC Brizeux Brizeux Ch E2 Les équations de Maxwell

Jean-Noël Briffaut

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Cours PC Brizeux Brizeux Ch. E2 Les équations de Maxwell 16 - 16 - C H A P I T R E E 2 LES ÉQUATIONS DE MAXWELL Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit: 1. LES EQUATIONS DE MAXWELL 1.1. Expression 1.1.1. Formes locale et intégrale - interprétation physique - Equation du flux magnétique M1 : div ? B = 0 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant : ? S ? ? B. ? dS = 0 précise sa signification : Le flux de ? B à travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque de ? B qui montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et s'impose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable. - Equation de Maxwell-Faraday M2: ? rot ? E = - ? ? B ? t Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est: ? rotE.dS S ? = ? C ? ? E . ? dl = - ? ? d dt B.

• ?0


• distributions surfaciques de charges


• linéarité des équations


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• champ


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• superposition des distributions d1

Sujets

• Équations de Maxwell

Informations

• Publié par: profil-thowyeng-2012
• Nombre de lectures: 83
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell 16   C H A P I T R EE 2   L E SÉA X W E L LDE MQ UA T IO NS   Ces quatre équations, ajoutées à la loi d'interaction, forment les postulats de base à partir desquels tout l'électromagnétisme classique peut être construit:   1.LES EQUATIONS DE MAXWELL   1.1.Expression  1.1.1.Formes locale et intégrale -interprétation physique  - Equation du flux magnétique M: div= 0 1  Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale, obtenue en écrivant :  . =0

  précise sa signification :Le flux deà travers toute surface fermée est nul. C'est une propriété intrinsèque dequi montre que le champ magnétique ne peut diverger à partir de points de l'espace, ou encore qu'il n'existe pas de charges magnétiques. Cette équation est indépendante du temps et simpose donc à tout cham magnétique, en régime permanent comme en régime variable.   - Equation de Maxwell-Faraday M:= - 2





 Cette équation est indépendante des sources. Sa forme intégrale est:

= .= -=-  Cette équation décrit tous les phénomènes d'induction et montre qu'un champ magnétique variable peut créer un champ électrique à circulation non nulle.  - 16 -

Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell 17   ρ - Equation de Maxwell-Gauss M: div= 3 ε 0   Cette équation relie le champ électrique à ses sources. Sa forme intégrale est :  

 







div dτ =d. =τ = 

  Ce résultat qui exprime que le flux du champ électrique à travers toute surface fermée est égal à la somme des charges intérieures surεest connu sous le nom de théorème de Gauss. Il montre que le 0 champ électrique peut lui diverger à partir de points où se trouvent des charges électriques. Le  théorème de Gauss », issu dune équation indépendante du temps est donc vrai en régime permanent comme en régime variable. 

-1 La constanteε 0 , appeléepermittivité du videsexprime en F.met vaut :ε 0 =

- Equation de Maxwell-Ampère M 4 : =µ ( +ε 0  )  0

-1 F.m

 Cette équation relie le champ magnétique à ses sources et au champ électrique. Sa forme intégrale est :  . =. =µ 0  .  +  µ 0 ε 0 .

 En régime stationnaire, nous retrouvons le théorème dAmpère qui montre que le champtourne autour des courants. Le terme supplémentaire enindique quun champ électrique variable est source de champ magnétique.  -1-7 -1 La constanteµ 0 , appeléeperméabilité du videet vaut :sexprime en H.m µ 0 = 4πH.m. 10  Nous verrons par la suite que les constantes µ 0 etε 0 ne sont pas indépendantes .

Rq.1équations couplent bien Cesne peuvent être, dans le cas général, calculéset qui indépendamment l'un de l'autre. 4 0 ( )  soit,e Rq.2 En prenant divM , on obtientdiv +ε0 nintervertissant les dérivationsdiv = ∂ρ par rapport au temps et à l'espace, et en utilisant M: div+ =0. Léquation de conservation de 3 ∂t la charge est bien satisfaite ! - 17 -

Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell 18   1.1.2.Linéarité des équations  La linéarité des équations de Maxwell est fondamentale : elle permet daffirmer que si une distribution de charges et de courants D 1 le champ ( crée 1 , 1 ) et une distribution D 2 champ le ( 2 , 2 ), la superposition des distributions D 1 et D 2 crée le champ (( 1 + 2 , 1 + 2 ).    2.CONTINUITES ET DISCONTINUITES DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE   Le modèle limite des distributions surfaciques de charges et de courants entraîne des discontinuités des champset àla traversée de telles distributions. Les équations de Maxwell permettent de déterminer ces discontinuités :  n 12 

    Ces relations font apparaître la possibilité d'unediscontinuité de la composante normale deet la continuité de la composante tangentielle de.  Elles font également apparaître la possiblediscontinuité des composantes tangentielles de etla continuité de la composante normale de.  Il est important de bien comprendre que les discontinuités des champs disparaissent pour des distributions volumiques de charges et de courants : cest le modèle surfacique qui les provoque.   3.CHAMPS ET POTENTIELS   3.1.Existence de potentiels associés aux champs  M impliquequ'il existe un vecteur, appelé potentiel-vecteur= ,puisque tout, tel que 1 champ de vecteurs à divergence nulle dérive d'un rotationnel. En reprenant M, on a alors : 2  = -= - 

D'où (+ )= - 18 -

Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell 19   Or, tout champ de vecteurs à rotationnel nul dérivant d'un gradient, il existe donc un scalaire V, appelé potentiel, tel que la parenthèse puisse s'écrire :  + =- V  le signe - étant ici purement conventionnel. Au couple (, ),on vient donc d'associer un couple (,V) de potentiels reliés aux champs par : 

= -V -; =  Notons dès à présent que le lien entreet estle même en régie variable et en régime permanent, puisquil est directement issu de div= 0, ce qui nest pas le cas de. Nous exploiterons plus loin cette remarque.  Remarque,V) possibles.: Pour un couple (, )donné, on a en fait une infinité de couples ( Supposons en effet qu'on en ait trouvé un noté (,V )et soitφ(M,t) une fonction scalaire 0 0 quelconque. Si l'on écrit= +φ, on a encore, il suffit= .Pour obtenir le même 0 de définir un nouveau potentiel V tel que :  - V- =- V 0 -

 ∂φ ce qui donne V = V+ .On peut construire ainsi une infinité de couples de potentiels donnant 0 ∂t les mêmes champs.  Cette indétermination des potentiels ne pose pas de réels problèmes puisquelle ne remet pas en cause lunicité des champset pourune distribution de charges et courants donnée. Notons quil existe un moyen de lever au moins partiellement cette indétermination en imposant une relation supplémentaire entre, ce qui constitue un  choix de jauge ».    4.LAPPROXIMATION DES REGIMES  QUASI-STATIONNAIRES (ARQS)



 Les équations de Maxwell et les champs qui en découlent pourront être étudiés dans 3 grands types de circonstances:  -Le cas le plus général correspondant aux régimes variables,où les 4 équations sécrivent dans leur forme complète :  div =0 =- div= =µ 0 ( +ε 0 )

- 19 -

Cours PC BrizeuxBrizeux Ch. E2Les équations de Maxwell 20   -Le cas particulier des régimes permanents, où toute dépendance vis à vis du temps disparaît. Les 4 équations prennent alors la formesimplifiée mais exacte:  div =0 =div ==µ 0   -Le cas intermédiaire des régimes quasi-stationnaires, encore appeléApproxiamtion des RégimesQuasiStationnaires (ARQS) où les 4 équations prennent une formeapprochée, et que nous allons définir à présent :  Des 4 équations de Maxwell, seule la dernière fait intervenir une somme de deux termes: +ε 0 . Il est alors légitime denvisager une situation ou lun ou lautre de ces deux termes serait négligeable devant lautre. Encore faut-il quils existent tous deux, cest-à-dire en fait que le courant soit non nul (ce qui exclut le cas du vide par exemple). En revanche, dans un conducteur parcouru par un courant, nous pouvons dégager un ordre de grandeur de ces deux termes. Dans un conducteur ohmique en effet, nous pourrons écrire=γ .En régime variable, le terme ε 0 , pour un champvariant sinusoïdalement et écrit en notation complexe, sécrit :ε 0 jω. La comparaison des deux termes nous conduit donc à évaluer le rapport :. Pour un bon conducteur comme le cuivre, ce rapport ne devient de lordre de 1 que pour des 17 fréquences gigantesques (de lordre de 10Hz) où la loi dOhm ne peut même plus être écrite ! En tout état de cause, dans un conducteur, et pour des fréquences usuelles »,le termeε 0  pourratoujours être négligé devant le courant de conduction.  LARQS consiste donc tout simplement à garder les 3 premières équations de Maxwell dans le cas général età ne garder dans la quatrième que lecourant :  Les équations de Maxwell de lARQS sont :  ρ = -div = ε 0 =µ 0  div= 0  Le cadre de lARQS est celui des régimes  lentement » variables : Les équations relatives àet qui permettent de le calculer, indépendamment de, sont les mêmes quen régime permanent :  Un champ magnétique se calcule de la même façon en régime permanent et dans lARQS.  En revanche, le champ électrique de lARQS diffère du champ électrique permanent. En particulier, dans lARQS, il est faux décrire =- V.  En outre, dans l'ARQS, on aura encore div= 0 (on le voit facilement en prenant divM), c'est à 4 dire que l'intensité du courant, dans un circuit filiforme par exemple, pourra cette fois dépendre du temps (régime non permanent) mais aura encore même valeur à chaque instant en tout point du circuit.  - 20 -