Cours PC Brizeux CH O2 Interférences lumineuses

Jno

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Niveau: Supérieur
Cours PC Brizeux CH O2 : Interférences lumineuses 13 - 13 - C H A P I T R E 2 INTERFERENCES LUMINEUSES 1. LE PHENOMENE D'INTERFERENCES 1.1. Formule fondamentale des interférences à 2 ondes Dans de nombreux dispositifs, une source primitive S donnera deux sources dérivées S1 et S2 corrélées, émettant en phase deux ondes lumineuses, supposées pour l'instant parfaitement monochromatiques. Ces ondes vont parvenir en un point M quelconque de l'espace déphasées l'une par rapport à l'autre du fait d'un terme de propagation différent. Prenons systématiquement la phase nulle pour l'amplitude d'une des sources. Elle s'écrit : a1(M) = a01 ej(?t) L'amplitude de l'autre source est alors : a2(M) = a02 ej(?t -?(?)) Les modules des amplitudes peuvent être éventuellement différents ( pensons à deux images d'une même source dans 2 miroirs dont les pouvoirs réflecteurs seraient différents). L'amplitude résultante en M est : a = a1 + a2 = [a10 + a20 e- j?(M)] ej?t L'intensité en M se calcule selon la formule : I = ! 1 2 aa* = ! 1 2 [a10 + a20 e- j?(M)] ej?t [a10 + a20 e j?(M)] e -j?t I = I1 + I2 + 2 ! I 1 I 2 cos?(M) On peut alors placer un écran en en endroit quelconque de l'espace ( mais susceptible d'être atteint par des rayons issus

• ecran


• interférences lumineuses


• plan quelconque


• axe s1s2


• plan autour de l'axe s1s2


• points d'intensité maximale


• principe général du phénomène d'interférences

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Extrait

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 13    

       

C H A P I T R E 2     INTERFERENCES LUMINEUSES 

1.  LE PHENOMENE D’INTERFERENCES

1.1.  Formule fondamentale des interférences à 2 ondes   Dans de nombreux dispositifs, une source primitive S donnera deux sources dérivées S 1  et S 2   corrélées, émettant en phase deux ondes lumineuses, supposées pour l’instant parfaitement monochromatiques. Ces ondes vont parvenir en un point M quelconque de l'espace déphasées l'une par rapport à l'autre du fait d'un terme de propagation différent. Prenons systématiquement la phase nulle pour l’amplitude d’une des sources. Elle s’écrit :    a 1 (M) = a 01 e j( ω t)   L’amplitude de l’autre source est alors : a 2 (M) = a 02 e j( ω t -φ ( Μ ) )     Les modules des amplitudes peuvent être éventuellement différents ( pensons à deux images d’une même source dans 2 miroirs dont les pouvoirs réflecteurs seraient différents).   L’amplitude résultante en M est : a = a 1 +   a 2 = [a 10 + a 20 e - j φ (M) ] e j ω t    L’intensité en M se calcule selon la formule :     I 1 * 1 [a 10 + a 20 e - j φ (M) ] e j ω t [a 10 + a 20 e j φ (M) ] e -j ω t    = aa   =   2 2   I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos φ (M)      On peut alors placer un écran en en endroit quelconque de l’espace ( mais susceptible d’être atteint par des rayons issus des 2 sources! ) et y observer la répartition d’intensité, non uniforme à   priori du fait du phénomène d’interférences : on dit que les interférences sont non localisées , et qu’on visualise sur l’écran une figure d’interférences .   Ainsi il pourra exister des points d'intensité maximale et des points d'intensité minimale. Si le terme d'interférences de l'intensité peut prendre ses valeurs extrêmes, on a évidemment :   I M = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 I m = I 1 + I 2 - 2 I 1 I 2     On définit alors le contraste C ( ou la visibilité ) du phénomène par la formule :     C = I M " I m      I M + I m

  - 13 - 

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 14     D'après sa définition, le contraste est un nombre sans dimensions toujours compris entre 0 et 1 . 2 I 1 I 2 Avec les valeurs ci-dessus, on obtient : C = I 1 + I   2   Il apparaît alors que si l'une des intensités propres est très grande devant l'autre ( par exemple I 2 >> I 1 ), C ≈ 2 I I 2 1 est alors très faible   : on a un mauvais contraste, le phénomène est peut visible... Au contraire, si I 1 = I 2 , C =1, le phénomène a un contraste maximal...   On peut donc retenir qu' un phénomène d'interférences à deux ondes est d'autant plus   contrasté que les intensités propres (donc les amplitudes) des deux ondes sont proches.   Rq.1  La définition du contraste est très générale et s'appliquera dans des formules d'interférences plus complexes que celle définie jusqu'à présent. Rq.2  De même, le principe général du phénomène d'interférences s'étend à un nombre d'ondes plus élevé. Nous en verrons des exemples importants dans la suite du cours.     1.2.   Différence de marche - ordre d’interférences   Revenons à présent sur le calcul du déphasage φ (M) : considérons le cas simple où les rayons peuvent se propager en ligne droite des sources au point M d’observation :   M

S 1

r 1

r 2

 

S 2   Les deux amplitudes des ondes reçues en M s'écrivent en fait :   a 1 (M) = a 0 e j( ω t - kr1)  et a 2 (M) = a 0 e j( ω t - kr2)     n " 2 " n      en supposant les deux ondes de même amplitude et avec k = = en appelant λ 0  la c # 0 longueur d'onde de la lumière émise dans le vide. En prenant l'onde issue de S 1 comme origine des phases, l'onde issue de S 2 présente donc un retard de phase φ   = k (r 2 - r 1 ) = 2 # " 0 n(r 2 - r 1 ) = 2 # " (r 2 $ r 1 ) .       Le terme n(r 2  - r 1 ) représente la différence des chemins optiques S 2 M et S 1 M. On l'appelle différence de marche δ   entre les rayons S 1 M et S 2 M . Ce résultat est en fait tout à fait général : la   différence de phas   e entre les deux ondes s'écrit : - 14 -

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 15     = 2 " ([ S 2 M φ    $ ] 0 # [ S 1 M ]) = 2 $ " 0 #     Rq.1  L'indice du milieu dans lequel se propagent les rayons est inclus dans la différence de marche et la longueur d'onde qui intervient dans la formule ci-dessus est la longueur d'onde de l'onde dans le vide , caractér   istique de sa fréquence   . On peut très bien imaginer par ailleurs que les deux rayons, ou une partie de ceux-ci, ne se propagent pas dans le même milieu, ce dont on tiendra compte dans le calcul des chemins optiques.   Rq.2  Le déphasage calculé ici ne provient que de la différence de marche des rayons issus de S 1   et S 2 jusqu'au point M. Cependant, dans certaines configurations, il faudra lui ajouter un déphasage supplémentaire dû à un phénomène physique subi par l'un des deux rayons, comme la réflexion sur un milieu plus réfringent ou le passage par un foyer... Il suffit alors de reprendre dans ce cas la formule générale des interférences à deux ondes qui devient ici :   I = 2I 0 ( 1 + cos φ   ) = 2I 0 ( 1 + cos ( 2 $ "# ) )   0   I 0 représente l'intensité uniforme qu'on obtient sur l'écran en occultant l'une des deux sources.     I( ! )   4I 0

" 2 " !     p .   Rq.  Il y a périodicité de l’intensité vis à vis de la phase φ : ceci n’implique nullement une périodicité identique sur l’écran. Il faudrait pour cela que cette phase soit elle-même une fonction linéaire d’une variable de position. Cette linéarité sera vérifiée dans certains cas, mais dans d’autres non.( voir paragraphe 1.3 ) Les points de même intensité forment sur la figure d’interférences des courbes appelées franges d’interférences . Aux points d’intensité la plus faible (ici nulle) correspondent les franges sombres , aux points d’intensité la plus forte, les franges brillantes . Le phénomène est en outre ici caractérisé par un contraste parfait égal à 1.   Les points d'intensité maximale (franges brillantes) sont tels que δ = m λ 0 et les points d'intensité 1 minimale (franges sombres) tels que δ = (m + 2) λ 0 , où m est un entier relatif. On appellera d'ailleurs " ent = . ordre d'interférence le quoti p # 0 Aux franges brillantes correspond un ordre d’interférences entier : δ = m λ 0 Aux franges sombres correspond un ordre d’interférences demi-entier : δ = (m + 2 1 ) λ 0  

- 15 - 

 

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 16     1.3.   Franges d’interférences données par deux sources ponctuelles corrélées   Sans nous soucier pour l’instant de leur réalisation pratique, considérons deux sources ponctuelles corrélées S 1  et S 2 , dont les amplitudes ont même module : elles créent dans tout l’espace un phénomène d’interférences ( interférences délocalisées) caractérisé, en un point M quelconque, par l’intensité :   I = 2I 0 ( 1 + cos φ   )   Pour visualiser ce phénomène, on peut disposer un écran plan sur lequel on observera une figure d’interférences. Nous allons préciser dans ce paragraphe l’allure particulière de cette figure selon deux placements remarquables de l’écran :   - Écran 1 placé orthogonalement à l’axe des sources   - Écran 2 placé parallèlement à l’axe des sources   $ O 2 ECRAN 2 *

S 1

S 2

ECRAN 1

O 1

      Pour l’écran 1, l’axe S 1 S 2 est un axe de révolution : l’aspect de l’écran est nécessairement invariant par rotation autour de cet axe : les points d’égale intensité sont donc situés sur des cercles centrés sur O 1 . On observe donc des anneaux d’interférences ( ou franges circulaires d’interférences )   La réponse est moins évidente pour l’écran 2. Il nous faut revenir à l’expression générale de φ (M) :   φ (M) = 2 # " (S 2 M -S 1 M)   Les points d’égale intensité sont ceux pour lesquels (S 2 M -S 1 M) = cste, ce qui définit dans l’espace des hyperboloïdes de révolution dont S 1 et S 2 sont les foyers : on les obtient en traçant des hyperboles de foyers S 1 et S 2 dans un plan quel   conque les contenant et en faisant tourner ce plan autour de l’axe S 1 S 2 :  

- 16 -

      x                             PrsouCeuizBrC                                                                                   -7  1   - 17   esusneulimec sréneetfr: In O2     CH                                 $

S 2

zone centrale agrandie

S 1

  La figure précédente montre bien que l’intersection de ces hyperboloïdes avec un plan tel que l’écran 1 donne des cercles concentriques. L’intersection avec un plan tel que l’écran 2 donnera des hyperboles selon le schéma :   *

   

 

zone centrale

   

r

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 18     Si l’on ne considère qu’une région peu étendue de l’espace autour du centre de l’écran, ce qui sera réalisé en pratique quand la distance de l’écran aux sources sera grande devant les dimensions « utiles  de l’écran, ces hyperboles sont proches de droites parallèles.   On retiendra l’orthogonalité de ces droites vis à vis de l’axe des sources .   Afin de mieux préciser encore l’allure des figures d’interférences, nous pouvons effectuer un calcul analytique de la différence de marche δ   dans les deux cas, en supposant le milieu d’indice n = 1 :   Ε cran 1 : M   a                                                                      α       S 1 S 2  O D     δ = S 2 M- S 1 M = OM 2 + a 4 2 + aOM cos " -OM 2 + a 4 2 " aOM cos #      Si l’on ajoute l’hypothèse D >>r, a, réalisée en pratique, un DL à l’ordre 1 donne :                                                                       δ   ≈ a cos α   ≈ 2a (1   - 2 r D 2 2 ) ≈ a (1 - 2 r D 2 2 )   δ   ≈   δ ( 0 ) ( 1 - 2 r D 2 2 )      Écran 2 : S 1   a S 2

D

x

M(x, y) y   a δ = (x+ 2) 2 + y 2 + D 2   - (x-  a 2 ) 2 + y 2 + D 2      Avec la même hypothèse D >> x, y, a :

- 18 -

 

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 19       δ   ≈ D ( 1 + 2 a D x 2   +  x 2  +  2 y D 2   2 + a 2   )  - D ( 1 - 2 a D x 2   +  x 2 + 2  y D 2  2 + a 2   )   ax ≈ δ  D   Il est très intéressant de comparer ces deux résultats et les conséquences qui en découlent :   - Dans le cas de l’écran 2, δ   ne dépend que de x : on retrouve des franges rectilignes, orthogonales à l’axe des sources. La dépendance en x est en outre linéaire : on passe d’un extremum d’intensité au λ D suivant en faisant varier δ de λ , donc x de  a . λ D La dista = pelée interfrange, est indépendante de x : les nce i  a  , ap franges sont donc équidistantes.   A.N. pour D = 1 m, a = 0,5 mm et λ = 500 nm on a i = 1 mm   Enfin,   δ est une fonction croissante de x, avec δ (0) 0 . le centre de la figure d’interférences, en = l’absence de toute autre différence de marche supplémentaire, correspond à une frange brillante, pour laquelle l’ordre d’interférences est p(0) = 0. A partir de cette frange centrale, de part et d’autre, les franges brillantes successives sont en quelque sorte numérotées par les ordres 1, 2, 3 ou - 1, - 2, - 3...   - Dans le cas de l’écran 1 , δ  est une fonction décroissante de r 2 , l’ordre d’interférences maximum est obtenu au centre , en r = 0 . Sa valeur est à priori quelconque ( c’est à dire dépendante de la distance a des sources ) .  L’intensité est donc quelconque au centre , le premier anneau brillant étant obtenu pour la première valeur entière de δ , soit en fait E( δ (0)) , où E(x) désigne la partie entière de x... La dépendance de δ en r 2 vis à vis du rayon des anneaux montre enfin que ceux-ci ne sont pas équidistants, mais de plus en plus resserrés . En effet, si r k  désigne le rayon de l’anneau d’ordre d’interférences k, le rayon de l’anneau suivant correspondra à k - 1,et on aura : δ κ   ≈   δ (0)  ( 1 -  2 r k D 2 2 ) = k λ       δ κ   − 1   ≈   δ (0)  ( 1 -  r 2 k - D  1 2 2 ) = (k - 1) λ     D’où r k - 1 2  -   r k2  =  2 δ λ (0 D ) 2  = cste => r k -1  - r k  =  r k c -1 s   t + e  r k  qui décroît quand les rayons des anneaux augmentent...   On peut résumer ces résultats, importants à mémoriser car on les retrouvera dans plusieurs dispositifs, sur les deux figures ci-dessous : 3 2 1 frange centrale p = 0 -1 -2 -3  centre indeterminé franges rectilignes équidistantes  anneaux resserrés sur les bords   - 19 -  

?

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 20     2.   REALISATION PRATIQUE DE FIGURES  D’INTERFERENCES        

 

2.1.  Trous d’Young

S 1 S S'  a S 2

D

ECRAN O'

2.1.1.  Description    Trous d'Young à distance finie   -     C'est le dispositif le plus simple : S 1 et S 2   sont deux trous percés dans un plan P et on observe le système d'interférences dans un plan parallèle à P. Ces trous se comportent comme des sources secondaires qui réémettent deux faisceaux lumineux : ce phénomène, appelé diffraction sera expliqué dans le chapitre suivant.   On observe le phénomène dans un plan parallèle à l’axe des sources. On a directement S 1 S 2 = a et S'O' = D .   Les chemins optiques SS 1 et SS 2 sont égaux. En appliquant le calcul de δ précédemment évoqué on a directement : ax δ   ≈ n D      - Trous d'Young en lumière parallèle     Dans le précédent dispositif, on place l'écran à distance finie et les rayons qui interfèrent sont donc non parallèles. On peut aussi imaginer l'interférence à l'infini de deux rayons parallèles. Comment alors recalculer la différence de marche entre les rayons ? En théorie, en supposant les rayons incidents orthogonaux au plan des trous, le schéma de principe se ramène à :

S1 !

S2 " H

- 20 -

!

 

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 21     Pour visualiser la différence de marche, nous utilisons le théorème de Malus : les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces d'ondes qui sont donc ici des plans. Vis à vis de l’infini, les points S 1 et H sont donc en phase et la différence de marche se réduit à δ = nS 2 H ≈ na α puisqu'on est dans les conditions de Gauss. En pratique, il peut sembler difficile de placer un écran à l'infini ! En fait, on peut ramener le problème à distance finie, dans le plan focal image d'une lentille convergente L, et le schéma devient :   L 1 L 2 ECRAN S 1 S M x F 1 " " F' 2 f' S 2 !     La différence de marche est la même que précédemment : en effet, la lentille L 2  transforme le faisceau parallèle (donc associé à une onde plane) en un faisceau convergent en M (donc associé à une onde sphérique). Les chemins optiques de S 1 à M (surface d'onde particulière de rayon nul) et de H à M sont égaux, et ce, en tenant compte des chemins internes à L 2 , d'après l'étude du stigmatisme. Les chemins optiques SS 1 et SS 2 enfin restent égaux. On a donc encore, dans un milieu d'indice n : nax δ = na α  =  f'      On a utilisé pour ce calcul un rayon fictif parallèle aux deux rayons qui interférent et qui passerait par le centre de L 2 : ce rayon ne serait pas dévié, ce qui donne la relation entre l'angle α et l'abscisse x où viennent converger les rayons après passage dans L 2 . En comparant ce dispositif à celui des trous d'Young à distance finie, on remarque que, dans l'expression de δ , il faut substituer la distance focale f' entre la lentille et l'écran à la distance D du plan des trous à l'écran...   2.1.2.   Utilisation de fentes   Reprenons le dispositif des trous d’Young à distance finie et remplaçons la source ponctuelle et les trous par trois fentes fines   parfaitement parallèles :    a S S 1 M x S 2 D   - 21 -

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 22     Cet ensemble peut être décomposé en un très grand nombre de triplets du type (S, S 1 , S 2 ) incohérents entre eux : on doit donc ajouter les intensités dues a chaque triplet, c’est à dire superposer les figures d’interférences de chacun sur l’écran. Cependant le calcul précédent de la différence de marche nous montre que celle-ci reste la même pour tous les triplets puisqu’elle ne dépende que de x, a , D qui sont identiques. tous les systèmes de franges des différentes figures se superposent alors parfaitement, c est à dire sans décalage : nous obtenons donc une figure identique à celle donnée par ’ des sources ponctuelles, de contraste parfait C = 1, mais beaucoup plus lumineuse... Nous pouvons noter également le parallélisme des fentes et des franges obtenues .   Il est en revanche essentiel que les trois fentes soient parfaitement parallèles, sinon on aurait un glissement des différents systèmes de franges perpendiculairement au franges, ce qui conduirait à un brouillage ( perte de contraste) de la figure résultante.     Dans le dispositif en lumière parallèle, le même raisonnement conduit à remplacer les trous par des fentes. Cependant, les lentilles donnent toujours de la fente S une image géométrique sur l’écran, de sorte que si on incline cette fente par rapport aux fentes d’Young, on observe le système de franges s’incliner également et non se brouiller comme dans le cas précédent : le parallélisme fente source - fentes d’Young n est plus ici essentiel.... ’     2.2.   Interféromètre de Michelson

               

Voir TP-Cours

3.  COHERENCE PARTIELLE : VISIBILITE

3.1.  Longueur et largeur de cohérence

3.1.1.  Défauts de cohérence associés à une source réelle

Dans l’expérience précédemment décrite des fentes d’Young, la fente source était supposée infiniment mince, et purement monochromatique. Une source réelle aura une largeur l faible, mais non nulle, et contiendra toute les longueurs d’onde situées dans un intervalle Δλ   faible autour d’une longueur d’onde moyenne λ 0 . Nous allons tout d’abord étudier à quelles conditions ces défauts peuvent être négligés, puis chercherons à corriger le calcul de l’intensité dans le cas contraire...   3.1.2.   Longueur de cohérence temporelle

En un point M de l’écran d’observation, on doit ajouter les intensités correspondant à toutes les longueurs d’onde dans l’intervalle Δλ .  Pour les deux longueurs d'onde extrêmes de l'intervalle le 1 Δλ déphasage   en M sera Δφ = 2 πδ ( Μ ) Δ ( λ 0 ) ≈ 2 πδ ( Μ ) λ 2 0 . Or, la formule des interférences à 2 ondes montre qu’en termes de déphasage φ , la périodicité du phénomène est 2 π .  

22 - -

Cours PC Brizeux                                                                                                      CH O2 : Interférences lumineuses 23     Si la variation de déphasage Δφ en M, pour les deux longueurs d’onde extrêmes, est petite devant 2 π , le phénomène sera très peu perturbé par la non-monochromaticité de la source. La condition recherchée s’écrit donc : => δ ( Μ ) λ 2 0 λ 0 Δφ << 2 π  << Δλ  => p(M) << Δλ     Dans l’expérience des fentes d’Young, p(M) représente aussi le « numéro  de la frange considérée, la frange centrale étant affectée de l’ordre 0.Si on prend l’exemple de la raie rouge du cadmium, pour laquelle est de l’ordre de 600 000, on voit donc que le phénomène commencerait à se brouiller à partir de la 600 000 ème frange ce qui va bien au-delà du nombre de franges observables... N’en tirons pas la conclusion hâtive que le défaut de cohérence temporelle est toujours négligeable et inobservable. Dans des interféromètres plus élaborés, comme l’interféromètre de Michelson, on peut atteindre de grandes différence de marche pour lesquelles les problèmes de cohérence temporelle deviennent effectifs... Nous pouvons également écrire sous une autre forme la condition énoncée ci-dessus. En effet , nous avons vu que la largeur de raie est liée à la durée des trains d’onde par une relation du type :   τΔν = 1   c Δλ λ 2 Or Δν = Δ ( λ 0 ) ≈ c λ 2 0  =>   Δλ 0   ≈ c τ     λ 2 0 La grandeur Δλ représente donc également la longueur (spatiale) d’un train d’onde dans le vide : on l’appelle longueur de cohérence temporelle L t .   La perte de cohérence temporelle est donc négligeable quand la différence de marche au point considéré est petite devant la longueur de cohérence temporelle:   λ 2 0 si δ (M) << L t = c τ  =   Δ λ , on peut négliger le défaut de cohérence temporelle

   

3.1.3.  Largeur de cohérence spatiale

Cherchons à présent à évaluer le défaut de cohérence spatiale dû à l’étendue des sources. Toujours dans le souci d’une simplification des calculs, nous nous plaçons dans le cas de deux sources corrélées ponctuelles, mais obtenues à partir d’une source étendue : ce sera le cas avec des trous d’Young éclairés par une source non parfaitement ponctuelle. Nous supposons enfin que la source S possède une étendue transversale Δ S : S 1 S 1 S' u 1 ∙ u ! S " S u 2 ∙

S 2 d

a

- 23 -  

! S #

d

S 2