CPGE Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Rappels de Mécanique de PCSI
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CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Rappels de Mécanique de PCSI : C01 Rappels de Mecanique v2.doc- Page 1 sur 10 Créé le 07/09/2011 M S al ett e- Ly cé e B riz eu x- Q ui m pe r RAPPELS DE MECANIQUE Introduction : du réel vers le modèle Un modèle est une abstraction de la réalité qui ressemble suffisamment à l'objet modélisé pour qu'il soit possible de répondre à certaines questions concernant cet objet en consultant le modèle. Un phénomène réel est souvent très complexe. La modélisation va permettre de mettre en équation ce phénomène réel afin de le traiter. Pour un même phénomène, le modèle utilisé peut être plus ou moins complexe, et c'est au concepteur de savoir choisir judicieusement son modèle. La mise en place du modèle nécessite de formuler des hypothèses qui seront ou non validées en fonction des résultats obtenus. 1- CINEMATIQUE La cinématique est l'étude des objets en mouvements les uns par rapport aux autres, indépendamment des causes qui provoquent ces mouvements. 1-1 CINEMATIQUE DU POINT Repère : un repère de l'espace est l'ensemble constitué d'un point origine et de trois vecteurs de base normés et perpendiculaires deux à deux (BOND) : R(O, r x , r y , r z ) , ou ),,,( kjiOR Position d'un point : la position d'un point M dans l'espace auquel est associé le repère R(O, r x , r y , r z ) est
CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Rappels de Mécanique de PCSI : C01 Rappels de Mecanique v2.doc- Page 1 sur 10 Créé le 07/09/2011 M S al ett e- Ly cé e B riz eu x- Q ui m pe r RAPPELS DE MECANIQUE Introduction : du réel vers le modèle Un modèle est une abstraction de la réalité qui ressemble suffisamment à l'objet modélisé pour qu'il soit possible de répondre à certaines questions concernant cet objet en consultant le modèle. Un phénomène réel est souvent très complexe. La modélisation va permettre de mettre en équation ce phénomène réel afin de le traiter. Pour un même phénomène, le modèle utilisé peut être plus ou moins complexe, et c'est au concepteur de savoir choisir judicieusement son modèle. La mise en place du modèle nécessite de formuler des hypothèses qui seront ou non validées en fonction des résultats obtenus. 1- CINEMATIQUE La cinématique est l'étude des objets en mouvements les uns par rapport aux autres, indépendamment des causes qui provoquent ces mouvements. 1-1 CINEMATIQUE DU POINT Repère : un repère de l'espace est l'ensemble constitué d'un point origine et de trois vecteurs de base normés et perpendiculaires deux à deux (BOND) : R(O, r x , r y , r z ) , ou ),,,( kjiOR Position d'un point : la position d'un point M dans l'espace auquel est associé le repère R(O, r x , r y , r z ) est
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/ RAPPELS DE MECANIQUE
Introduction : du réel vers le modèle Un modèle est une abstraction de la réalité qui ressemble suffisamment à l'objet modélisé pour qu'il soit possible de répondre à certaines questions concernant cet objet en consultant le modèle. Un phénomène réel est souvent très complexe. La modélisation va permettre de mettre en équation ce phénomène réel afin de le traiter. Pour un même phénomène, le modèle utilisé peut être plus ou moins complexe, et c'est au concepteur de savoir choisir judicieusement son modèle. La mise en place du modèle nécessite de formuler des hypothèses qui seront ou non validées en fonction des résultats obtenus.
1- CINEMATIQUE
1-1 CINEMATIQUE DU POINT Repèreest l’ensemble constitué d’un point origine et de trois vecteurs de: un repère de l’espace base normés et perpendiculaires deux à deux (BOND) :R(O,x,y,z), ouR(O,i,j,k) Position d’un point dans l’espace auquel est associé le repère: la position d’un pointR(O,x,y,z) est définie par les composantes du vecteurOM: OM1x x#y y#z z Les scalairesx,y, le repère danssont les coordonnées cartésiennes du pointR(O,x,y,z). Tempsse déroule uniformément, en tout lieu, sans que rien ne puisse en modifier le cours.: le temps Les notions de date et d’instant permettent de définir des repères temporels dans l’écoulement du temps. La différence entre deux instants permet de définir la notion de durée. NB : en mécanique relativiste, le temps n’a plus un déroulement identique suivant les repères. Référentiel: ensemble constitué d’un repère d’espace et d’un repère de temps Trajectoire: l’ensemble des positions du point rapport au repère parR(O,x,y,z), au cours du temps, est appelé trajectoire de dans . Cette trajectoireest liée au repèreconsidéré. Vitesse d’un point: la vitesse d’un point ne peut s’entendre que par rapport à un repère. Lavitesse moyennecomme le rapport de la variation de(la seule que l’on sait mesurer !) se calcule position sur l’intervalle de temps : OMt tOMtOM Vmoyenne(M/R)1(# DD)t%( )1DDt avec O fixe par rapport à R R En faisant tendreDt vers 0, on peut définir lavitesse instantanée comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Attention, cette notion de vitesse reste purement théorique (mais indispensable pour modéliser les comportements cinématique
) Un point étant défini dans le repère par le vecteur positionOM, le vecteur vitesse de par rapport à est :V(M/R)1tdMOdR. Remarque : la vitesse étant un vecteur, elle peut s’exprimer suivant les vecteurs de n’importe quel repère. Il convient donc de distinguerrepère de dérivationetrepère d’expression. : C01 Rappels de Mecanique v2.doc- 1 sur 10 Page Créé le 07/09/2011
/ En coordonnées cartésiennes :OM1x x#y y#z zdansR(O,x,y,z) V(M/R)1x x#y y#z z
Si il existe un repèreR1(O1,x1,y1,z1):O1M1x1x1#y1y1#z1z1et VM R1xx#xdxd1R#yy#ytddy1R#zz#zdztd1R ( / ) 1 1 1t 1 1 1 11 1 Propriété: le vecteur vitesse esttangent à la trajectoire A (A, ) AP1V(M/R) Accélération la dérivée seconde du vecteur position par: l’accélération de est rapport àOM par rapport au temps, relativement à : 9 122, soit encore :RMR (M/R)dOMdtR9(M/ )1dV(dt/ )R.
En coordonnées cartésiennes :OM1x x#y y#z zdansR(O,x,y,z) V(M/R)1x x#y y#z z. 9(M/R)1xx#yy#zz Remarque : l’accélération étant un vecteur, elle peut s’exprimer par rapport aux vecteurs de n’importe quel repère. Il convient donc de distinguerrepère de dérivationetrepère d’expression.
Dérivation vectorielle: On considère deux repèresR(O,x,y,z) etR' (O' ,x' ,y' ,z' ). On appelleW(R' /R) le vecteur vitesse de rotation de'par rapport à . Soit u comme dansun vecteur définissable dans'. Il existe entre les dérivées du vecteur u etpar rapport au temps et relativement à'la relation suivante : dtudR1dtudR'# W(R'/R)Ùu
Application aux vitesses: On considère un point dont la position est connue dans deux repèresR(O,x,y,z) et R' (O' ,x' ,y' ,z' ). On peut exprimerOM OO'O'. En dérivant cette expression et en utilisant la relation de dérivation vectorielle, on obtient : V(M/R)1V(O'/R)#V(M/R')# W(R'/R)ÙO'M1V(M/R')#(V(O'/R)# #W(R'/R)ÙO'M) Si le point est fixe par rapport à', alors la relation devient : V(O'/R)# W(R'/R)ÙO'M1V(M,R'/R)
On peut donc écrire :V(M/R)1V(M/R')#V(M,R R '/ )
avec :
· V(M/R):vitesse absoluede dans · V(M/R'):vitesse relativede dans' · V(M,R'/R):vitesse d’entraînement fixe dansde (supposé') dans le mouvement de' /. : C01 Rappels de Mecanique v2.doc- 2 sur 10 Page Créé le 07/09/2011
/ Application aux accélérations: En reprenant la relationV(M/R)1V(O'/R)#V(M/R')# W(R'/R)ÙO'M, et en dérivant vectoriellement dans , on obtient la relation suivante : 9(M/R)1 9(M/R')# 9(O'/R)#dWd(Rt'/R)RÙO'M# W(R'/R)Ù W(R'/R)ÙO'M#2W(R'/R)ÙV(M/R') le point Si est fixe par rapport à', alors la relation devient : 9(M/R)1 9(O'/R)#dW(dRt'/R)ÙO'M# W(R'/R)Ù W(R'/R)ÙO'M1 9(M,R'/R) R On désigne habituellement : · 9(M/R): accélération absolue de dans · 9(M/R') relative de dans: accélération' · 9(M,R' /R)1 9(O' /R)# dW(Rtd' /R) (: accélération R ÙO'M# W(R' /R)Ù W(R' /R)ÙO'M d’entraînement de supposé attaché à', dans le mouvement de' /. · 2W(R'/R)ÙV(M/R') de Coriolis.: accélération Soit encore :9(M/R)1 9(M/R')# 9(M,R'/R)#2W(R'/R)ÙV(M/R')
1-2 CINEMATIQUE DU SOLIDE
Définition d’un solide: si on considère deux pointsA appartenant et à un même solideS, leur distance est invariable dans le temps. Une telle définition nous place dans le cas des solides indéformables. Cela se traduit parAB1cste Repère associé à un solide: un repère étant défini par un point et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités de ces vecteurs sont à des distances fixes de l’origine. On peut donc associer à tout solide un repère.
Position d’un solide par rapport à un repère: pour définir la position d’un solideSpar rapport à un repèreR(O,x,y,z), il faut fixer la position de trois points, soit neuf paramètres. Mais ces trois points restant à des distances invariables les uns des autres, il existe donc trois relations liant ces neuf paramètres. La position d’un solide dépend donc de 6 paramètres. Un repèreR' (O' ,x' ,y' ,z' ) associé au solide étantS, la position deS par rapport àR(O,x,y,z)peut s’obtenir par : · la position du pointO' dans , (coordonnées soit trois paramètres cartésiennes du pointO'dans , · angles permettant de définir le passage de la base associée à trois R(O,x,y,z) à celle associée àR' (O' ,x' ,y' ,z' ). On utilise communément les trois angles d’Euler. (secénoispr Θ ), de (O, autournutation Κ autour de (O,u),rotation propreautour de (O,') )
V(MÎS/R)
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/ ! ddtABR1tABddR# W(R/R')ÙAB1VBÎR'/R%VAÎR'/R# W(R/R')ÙAB10 " # ' $ABddtR'10 % VBÎR'/R1VAÎR'/R#BAÙ W(R'/R)
! " & % ! ' V(O'ÎS/R) W(S/R) ( S R(O,x,y,zVS RS )( / )1W((AÎ/SR/)R) V A A (S/R) · W(S/R) · V(AÎS/R)"" A VBÎS/R1VAÎS/R#BAÙ W(S/R) Remarques : · Les éléments de réduction s’écrivent de préférence en ligne de la façon la plus simple possible, sans rechercher une expression dans une base particulière. V(S/R)1AVW((SAÎ/SR/)R)1AVwxx..xx##Vwyy..yy##Vzw.zz.zR(O,x,y,z)1AwwwyzxVVVzxyR(O,x,y,z) · Il n’est pas nécessaire que le point ou s’exprime la réduction du torseur soit un point physique du solideS.
Accélération en un point d’un solide par rapport à un repère: on la note9(MÎS/R) Les accélérations des points d’un solide constituent un champ de vecteurs. Mais ce champ n’est pas équiprojectif. La relation entre les accélérations en deux points d’un solide est la suivante : ( / ) 9(BÎS/R)1 9(AÎS/R)#dWdStRRÙAB# W(S/R)Ù W(S/R)ÙAB C’est relation, issue de la dérivation de la relation entre les vitesses, fait apparaître un double produit vectoriel qui rend le champ non équiprojectif. Par conséquent, les accélérations ne sont pas représentables par un torseur. En pratique, pour exprimer l’accélération en un point, on cherchera d’abord l’expression de la vitesse en ce point que l’on dérivera par la suite.
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A
/ Composition de mouvements: en considérant un solideS mouvement par rapport à deux en repères et', eux même mobile l’un par rapport, la relation de composition de mouvements se traduit au niveau torsorielle par : (S/R)1(S/R')#(R'/R).
· les rotations : Pour
·Pour les vitesses en un pointA:
W(S/R)1 W(S/R')# W(R'/R)
V(AÎS/R)1V(AÎS/R')#V(AÎR'/R).
Il existe pour les accélérations une relation de composition de mouvements que l’on évitera d’utiliser : 9(AÎS/R)1 9(AÎS/R')# 9(O'/R)#dWd(tR'/R)RÙO'A# W(R'/R)Ù W(R'/R)ÙO'A#2W(R'/R)ÙV(A,S/R')
1-3 Mouvements particuliers : Mouvement de Translation Un solide est en translation lorsque 2 bipoints non colinéaires liés à ce solide gardent des directions constantes au cours du mouvement. Suivant la nature de la trajectoire des points du solide, on distingue : La translation rectiligne (uniforme ou variée) La translation circulaire (uniforme ou variée) La translation quelconque Propriètésles points du solide ont même vecteur vitesse (même direction,: à un instant donné, tous même sens, même intensité)
Mouvement de rotation Un solide est en rotation autour d’un axe s’il existe 2 points immobiles par rapport au repère de référence. L’axe de rotation est alors la droite passant par ces deux points. Propriètés: les trajectoires des points sont des cercles centrés sur l’axe. Les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au rayon (et à l’axe de rotation) et leur intensité est proportionnelle au rayon
Mouvement plan
VAÎ1/ 0
VBÎ1/ 0
B
Un solide est en mouvement plan si il existe un plan lié à ce solide qui reste en permanence en contact avec un plan lié au repère de référence. On peut dans ce cas résoudre graphiquement les problèmes de cinématique en utilisant le CIR oujorpitce’liuqétévi
CIR: à un instant donné, il existe un point dont la vitesse est nulle, situé à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesse. Tout se passe comme si le solide était en mouvement de rotation autour de ce CIR à l’instant considéré Equiprojectivité: en faisant le produit scalaire parABde la relation VAÎS/R1VBÎS/R#ABÙ W(S/R), on obtient
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A
C.I.R
VAÎ1/ 0
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B
VBÎ1/ 0
/ VAÎS/R.AB1VBÎS/R.AB, ce qui se traduit graphiquement par : la projection sur le bipoint AB de VAÎS/Rà la projection sur AB deest égal VBÎS/R
2- STATIQUE La statique est l’étude des objets en équilibre (sans mouvement) par rapport à un référentiel galiléen. Définition: Une action mécanique est définie par les effets qu’elle a : c’est une cause physique susceptible : - de modifier le mouvement d’un corps - de maintenir un corps en équilibre - de déformer un corps Exemple : action du vent sur la voile du bateau : on ne voit pas cette action, mais on perçoit les conséquences : le bateau avance Caractéristiques des actions mécaniques :les effets de l’action vont dépendre de la direction, du sens et de l’intensité de cette action Exemple : action du vent sur la voile du bateau : Levecteur est un outil mathématique caractérisé également par une direction, un sens et une intensité. Il servira donc à représenter les actions mécaniques. On représente le vecteur par un bipoint orienté (graphiquement) ou on le définit par ses composantes (décomposition dans une base)
# "" $ ) lesforces: elles « provoquent » (ou « interdisent ») un mouvement selon un axe. lesmoments: ils « provoquent » (ou « interdisent ») un mouvement autour d’un axe. Exemple : action de la main sur une barre horizontale maintenue par son extrémité Le vecteur force représentera la force. L’unité pour les forces est le Newton (N) Le vecteur MomentMA(F) de la force appliquée en B sera égal au produit vectoriel :
MA(F)1ABÙF Unités : le N.m. Le produit vectoriel étant lourd à manipuler, on peut calculer l’intensité du MA(F) écrivant que c’est en le parle produit du module de la force bras de levierMA(F)1d.F B Les actions mécaniques transmises dans les liaisons faisant intervenir les forces et les moments, on regroupe ces deux grandeurs vectorielles au sein d’un nouvel outil mathématique : le Torseur. Le torseur peut être décrit par les deux vecteurs, ou bien par leurs composantes dans une base. L’expression du torseur dépendra du point où est exprimé le moment 1AFA()1AFFFxzyMMMAzAxAyR(O,x,y,z)Si on M F ce torseur en B alors : exprime 1 ΣTΥ1AFMA(F)BFMB(F) avecMB(F)1MA(F)#BAÙF Différents types de forces : les forces à distance :: Appliqué au centre de gravité, direction verticale,le poids. Caractéristiques sens vers le bas intensité P = m.g avec m : masse du corps en kg, g accélération de la pesanteur (9,81 m/s2) : C01 Rappels de Mecanique v2.doc- 6 sur 10 Page Créé le 07/09/2011
/ Les forces de contact :être ponctuelle, ou bien linéique ou encore zone de contact peut la surfacique. Dans ce cas, on définit une densité linéique ou surfacique de force Cas du contact surfacique ;Quelle que soit la forme de la surface(S)de contact entre les deux solides, il s’exerce en tout pointM cette surface une action mécanique caractérisée par une densité de de force (non uniforme):f(M,Si|Sj), grandeur homogène à une pression. Le torseur d’action mécanique de contact s’écrit alors : 1∫| Î 1 (Si|Sj)PMR(SiP(|SiSj)Sj)SMMÎfS(MP,SiMSj) fd(MS,SiSj) dSR(O,x,y,z) |1∫Ù|
Cas du contact réel : Si on néglige le frottement, la direction de l’action de contact est perpendiculaire au plan tangent aux surfaces de contact, le sens est dirigé vers la matière du solide isolé. Si on ne néglige plus le frottement, on distingue :l’adhérencequand les deux pièces sont immobiles l’une par rapport à l’autre et lefrottementglissement. Dans ce cas, la force fait un anglequand il y a une vitesse de Φ par rapport à la normale au plan tangent commun. Cet angleΦ ne dépend que du couple de matériaux et de l’état de surface (rugosité, lubrification) . Contact réel entre d’un solide Si sur un solide Sj: En tout pointMde la surface(S)de contact entre deux solides, on définit le plan tangent commun (ϑ) et un vecteur unitaire normal norientant ce plan. On note par ailleurs t , un vecteur unitaire tangent à ce plan. Dans le cas du contact réel, la densité de force se décompose alors suivant ces deux vecteurs: f(M,Si|Sj)1n(M,Si|Sj)#t(M,Si|Sj)1n(M,Si|Sj) n#t(M,Si|Sj) t. On appelle : - n(M,Si|Sj)la composante normale de la densité de force -tM|composante tangentielle de la densité de force.la ( ,SiSj) La composante tangentielle est à l’origine du phénomène de frottement/adhérence. Sa direction s’oppose à la vitesse de glissement de Sjpar rapport à Si. On noteΦ l’angle de frottement entrela densité et le vecteur normal et tan lecoefficient de frottement. De façon plus globale, T = N . f Actions mutuelles de contact entre un solide Si et un solide Sj: Torseur : {Ν (Si|Sj)} = - {Ν (Sj|Si)} Résultante: R(Si|Sj)1 %R(Sj|Si) Moment:MP(Si|Sj)1 %MP(Sj|Si)
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE repère galiléenRsi le torseur des actions Un système (S) est en équilibre par rapport à un 0 extérieures appliquées à (S) est nul: {Ν (S|S)}1BMR(SB(S||)S)S1 Σ0Υ Cette relation est valable quel que soit le point B
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