Devoir Surveille n PSI

Description

Niveau: Supérieur
Devoir Surveille n?3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 14 Novembre 2009) (dure : 4 heures) Les calculatrices sont interdites Questions de cours : 1. Donner la definition d'une valeur propre d'un endomorphisme. 2. Donner la definition du sous espace propre associe une valeur propre ? d'un endomorphisme. 3. Donner la relation entre l'ordre de multiplicite et la dimension du sous espace propre associe a une valeur propre ? d'un endomorphisme. 4. Montrer qu'une matrice A ? Mn(K) admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable sur K. 5. Donner la definition du polynome minimal d'un endomorphisme. 6. Citer 3 caracterisations montrant qu'un endomorphisme (ou matrice) est diagonalisable sur K. 7. Citer le theoreme de Cayley-Hamilton. 8. Donner les 3 normes usuelles de Kn. 9. Donner la definition d'une suite de Cauchy. 10. Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Dans quel cas a-t-on la reciproque ? 11. Donner la definition de deux normes equivalentes. 12. Donner la caracterisation sequentielle d'un ferme. Probleme CCP PC 2002 Notations Soit n et p des entiers superieurs ou egaux a 1. K designant le corps des reels ou celui des complexes, on note Mn,p(K) le K-espace vectoriel des matrices a coefficients dans K ayant n lignes et p colonnes.

• elements de la matrice d?1x


• norme matricielle sur mn


• deduire


• matrice positive de mn


• b? designent des matrices de mn

Sujets

• Déduction

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 novembre 2009
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

◦ DevoirSurveill´en3 PSI MATHEMATIQUES (Samedi 14 Novembre 2009) (dure : 4 heures) Les calculatrices sont interdites

Questions de cours : 1.Donnerlade´finitiond’unevaleurpropred’unendomorphisme. 2.Donnerlade´finitiondusousespacepropreassoci´eunevaleurpropreλd’un endomorphisme. 3.Donnerlarelationentrel’ordredemultiplicit´eetladimensiondusousespacepropreassocie´a`unevaleur propreλd’un endomorphisme. 4. Montrer qu’une matriceA∈ M n (K) admettantnvaleurs propres distinctes est diagonalisable surK. 5.Donnerlad´efinitiondupolynoˆmeminimald’unendomorphisme. 6.Citer3caract´erisationsmontrantqu’unendomorphisme(oumatrice)estdiagonalisablesurK. 7.Citerleth´eor`emedeCayley-Hamilton. n 8. Donner les 3 normes usuelles deK. 9.Donnerlade´finitiond’unesuitedeCauchy. 10.MontrerquetoutesuiteconvergenteestdeCauchy.Dansquelcasa-t-onlar´eciproque? 11.Donnerlade´finitiondedeuxnormese´quivalentes. 12.Donnerlacaracte´risationse´quentielled’unferm´e. Proble`me CCP PC 2002 Notations Soitnetp.x`a1geuaos´ueiru´presursientsedeKnantesigd´ex,snocoeslempceouidlu´rsesleeoceldspr noteM n,p (K) leKaacterviceecst`oriel-deesspmtndsnascaeocffieiKayantnlignes etpcolonnes. Lorsque p=n,M n,n (Ktnot)esemtnpmelsuise´lpM n (Ke`rb,edenimustte)egla’derutcurtsasI n ntantlaerrpe´es matriceidentite´. 0 n,p eledse´dneigmalaictrulenM n,p (K) et 0 n la matrice nulle deM n (K). GL n (Kdseleveinibrstrmaesicise´d)ns’eelgnesedblemM n (K) etT n (Krre´sertciseacbledesma)l’ensem d’ordren`serueire´pusseraiulngiatransntsd´emea´elK. n eme` Tout vecteurx= (x i ) 1≤i≤n deKtiene`fi´n´au´eelemtneditsXdeM n,1 (Klquel’´el´ementdale)eti ligne deXsoitx i .Dteoustanindironsemmenfft´erti,ealusonetonsuX= (x i ) 1≤i≤n un´edemtnlee´M n,1 (K) n aussi bien que le vecteur deKi´e.estassociuliuq p `eme PourA= (a i,j ) 1≤i≤n dansM n,p (K) etX= (x i ) 1≤i≤p dansK, on note (AX) i le coefficient de lailigne 1≤j≤p deAX. Pour toute matriceAdeM n (K(), on note SpA) l’ensemble des valeurs propres complexes deAet on appelle rayon spectral deAlee´relρ(Anfie´d):ipar ρ(Amax) =|λ|. λ∈Sp(A)

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n Conforme´ment`al’usage,onnoteN ∞ iesuronaldemrnfie´Cpar : n ∀X= (x i ) 1≤i≤n ∈C, N ∞ (Xmax) =|x i |. 1≤i≤n On qualifie de norme matricielle toute normeϕurniesd´efiM n (Ktnafirpalv)ire´e:riopt´´e 2 ∀(A, B)∈(M n(K) ), ϕ(AB)≤ϕ(A)∙ϕ(B). M n (Kpaepllqenfieio,rnimensi)o´netantdedseci(detetrmaunu’uiesA k ) k∈N deM n (K) converge vers une matriceAdeM n (K) si et seulement si la convergence a lieu dansM n (K) muni d’une norme quelconque. Partie I Une matriceAdeM n (K) est dite trigonalisable si et seulement si il existeP∈GL n (K) etT∈ T n (K) −1 tels queT=P AP. I.1Pourntricedeetoutemaoppuuqese´xfisno,M n (Cd`sionnctoeeblsaecirtamenuereiroganil)sett MdeM n+1 (C). a)Montrer queMadmet au moins une valeur propre. b)Soitλune valeur propre deM. Montrer qu’il existeQ∈GL n+1 (C),L∈ M 1,n (C) etN∈ M n (C) tels que :   λ L −1 Q MQ=. 0 n,1 N c)End´exriesqtu’eidlueiH∈GL n (C) etS∈ T n (C) tels que :   −1 λ L Q MQ=. −1 0 n,1 HSH   1 0 1,n −1 d)On poseRMontrer que= .Rest inversible et exprimerR. 0 n,1 H −1−1 e)CalculerQRR Q Meterequdeiune´dMest trigonalisable. I.2aqeledirnpiostueude´Durtout´rcee´edtnqeeuopnto1,emutriatdeceire´oruege´ua`laentiersup M n (C) est trigonalisable.   1 1 0   I.3Soit la matriceG= 1−1 1 . 2−5 3 a)La matriceGest-elle diagonalisable? 3 b)On noteB= (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique deC. Montrer queGadmet un unique vecteur propreutnalodi`erpremposaecomdetnlsnasabaeBfiireuqeseegt´e`aleta1erv´B 1 = 3 (u, e 2 , e 3 ) est une base deC. −1 c)On noteQla matrice de passage deBa`B 1 . CalculerQ GQsnipsni’edartnetd´enuied,ere −1 lam´ethoded´ecriteauxquestionsI.1etI.2,P∈GL 3 (C) etT∈ T 3 (C) telles queP GP=T. I.4SoitA∈ M n (C). SiTsteemungnaiialuirtartecesemieurp´erresuela`lbbaAntteenesr´repe,uq lese´le´mentsdiagonauxdeT? I.5SoitS= (s i,j ) etT= (t i,j lairessup´erieurmxtairectsirnaugeu)dedseM n (C). a)Montrer queSTtnanogosxuntieiasdsclefficoe´eriesupdonteureteirrtcialrinaugmanetues s 1,1 t 1,1 ,s 2,2 t 2,2 , .. .,s n,n t n,n . ∗k b)Pourk∈Neauxdnogaidstneme´le´estlonsselqu,T?

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  k k I.6Montrer que pour toute matriceAdeM n (C),ρ A= [ρ(A)] . I.7Montrer que l’applicationψ:M n (C)→R, A= (a i,j )7→max|a i,j |est une norme surM n (C), 1≤i,j≤n maisn’estpaseng´en´eralunenormematriciellesurM n (C). I.8En admettant l’existence de normes matricielles surM n (C)(lasuitedume`lborprertnomea effectivement cette existence), montrer que pour toute normeNniefiuresd´M n (C), il existe une constanteCr´eel:ueevetllqeelopisit 2 ∀(A, B)∈(M n (C)), N(AB)≤CN(A)N(B). I.9Soit (A k ) k∈N une suite de matrices deM n (C),A∈ M n (C) etP∈GL n (C). Montrer que la suite   −1−1 (A k ) k∈N converge versAsi et seulement si la suiteP APconverge versP AP. k∈N   λ µ ∗k I.10 a)SoitTemen´el´undt=eM 2 (C). Pour toutk∈N, calculerTleuqeriude´dnetea 0λ   k suiteT ∗ converge si et seulement si (|λ|<1) ou (λ= 1 etµ= 0). k∈N b)SoitA∈ M 2 (Cid)silanogaon.Dleabconeruneoinndntissiae´ecsuffisreetsurlanteavseruels k propres deApour que la suite (A) k∈N soit convergente. k c)SoitA∈ M 2 (C) non diagonalisable. Montrer que la suite (A) k∈N est convergente si et k seulement siρ(A)<meciserlisace´rp,D.1csnaA. k→+∞ d)SoitA∈ M 2 (Ctnasruseireetsuffin´ecessanoid.i)tonDonnrenuceρ(A) pour que la suite k (A) k∈N converge vers la matrice nulle. Partie II n SoitA= (a i,j ) une matrice deM n (C) etNune norme quelconque surC. On pose : n X M A = max|a i,j |. 1≤i≤n j=1 n II.1 a)Montrer que pour toutX∈C:N ∞ (AX)≤M A N ∞ (X). b)sixeli’unocenuetrqrentMolleeenats´retC A telle que : n ∀X∈C, N(AX)≤C A N(X).   N(AX) n c)Montrer que l’ensemble|X∈C\ {0}ueere´irsepuobnrneeueds`ospdansR. N(X) On notera dans la suite : N(AX) ˜ N(A) =sup. n N(X) X∈C\{0} g d)Montrer que :N ∞ (A)≤M A . e)On reprend dans cette question la matriceGintroduite enI.3tere.´DruurvnciemeetnX 0 de 3 g Ctel queN ∞ (X 0 ) = 1 etN ∞ (GX 0 erdeualavelriude´dnE.01=)N ∞ (G). n P n II.2Soiti 0 un entier compris entre 1 etntel que|a i 0 ,j |=M A En.nrscorantid´ecteuleveYdeC j=1 de composantesy j ´ed:arspiefin a i 0 ,j y j = sia i 0 ,j 6=0 ety j = 1 sia i 0 ,j = 0 |a i 0 ,j | g g montrer queM A ≤N ∞ (Ade´deriu)enetN ∞ (A) =M A .

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