ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Deux phénomènes d'hystérésis Soient une grandeur cause notée C et une grandeur effet notée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d'étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d'hystérésis. Formulaire : Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodique f(x), de période 2pi, peut être développée en série de Fourier : f(x) = 12a0 + ∞ ∑ n=1 an cos(nx) + ∞ ∑ n=1 bn sin(nx) avec a0 = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x)dx, an = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) cos(nx)dx, bn = 1 pi ∫ +pi ?pi f(x) sin(nx)dx I. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultra-sensible de force.

• surface loin de la surface


• pointe


• déflexion du bras


• courbes expérimentales d'approche-retrait pour ?


• retrait


• force


• pulsation ? de la force excitatrice


• équation différentielle régissant le mouvement de la pointe

Sujets

• École polytechnique
• Pointe

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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D’ADMISSION 2009

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures)

FILIÈRE PC

L’utilisation des calculatricesest autoriséepour cette épreuve.

? ? ?

Deux phénomènes d’hystérésis

Soient une grandeurcausenotée C et une grandeureffetnotée E. Il y a hystérésis lorsque la courbe E = f(C) obtenue à la croissance de C ne se superpose pas avec la courbe E = f(C) obtenue à la décroissance de C. Ce problème propose d’étudier deux exemples de systèmes physiques présentant un phénomène d’hystérésis.

Formulaire :Sous des hypothèses de régularité appropriées, une fonction périodiquef(x), de période2π, peut être développée en série de Fourier : ∞ ∞ X X 1 f(x) =a 0 +a n cos(nx) +b n sin(nx)avec 2 n=1n=1 Z Z Z +π+π+π 1 1 1 a 0 =f(x)dx, a n =f(x) cos(nx)dx, b n =f(x) sin(nx)dx π −π π −π π −π

I. Courbes approcheretrait en microscopie à force atomique Le Microscope à Force Atomique est un palpeur local et ultrasensible de force. Son principe est le suivant : une pointe fine, métallique ou isolante, se trouve à l’extrémité d’un bras de levier souple qui fait office de ressort. L’autre extrémité de ce bras est fixe. L’extrémité du bras portant la pointe est approchée de la surface, à étudier et interagit avec cette dernière. La force qui s’exerce entre la pointe et la surface provoque, en chaque point, une déflexion du bras, que l’on détermine à partir de la réflexion d’un faisceau laser.

Dans le fonctionnement dit en mode résonant, la pointe est excitée par une force périodique de fréquence proche de la fréquence de résonance du système braspointe. L’interaction pointe surface perturbe le système, ce qui entraîne une variation de l’amplitude de vibration. L’ordre de grandeur de l’amplitude vibratoire peut varier dans de grandes proportions, de quelques dixièmes à quelques dizaines de nanomètres. La mesure de cette amplitude vibratoire lorsque la pointe balaye la surface donne accès à la topographie de la surface étudiée. À l’aide de céramiques piézoélectriques, le déplacement de la sonde audessus de la surface s’effectue avec une précision de l’ordre du nanomètre dans les trois directions de l’espace.

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Figure 1. Schéma d’une sonde ; à gauche au repos, à droite en flexion

À titre d’information, les dimensions caractéristiques d’un levier sont : longueur de 100 à 200µm, largeur de 20 à 30µm et épaisseur de 1 à 5µm. La pointe est conique, d’une hauteur de 5 à 20µl’angle d’ouverture du cône est de 20 degrés et le rayon de courbure de l’extrémitém ; 2 de l’ordre de 20 nm ; l’aire en regard de la surface à étudier est ainsi d’une centaine de nm .

On suppose que le mouvement de la pointe s’effectue selon la direction verticale. Sa position est repérée par son altitudez(z >0); on noteà partir de la surface dla distance séparant la pointe de la surface lorsque la sonde est à l’équilibreen l’absence de forces externes.

I.1 Mouvement de la sonde loin de la surface

Loin de la surface, la sonde est modélisée par un oscillateur mécanique constitué d’une masse ponctuellemsoumise : – à une force de rappel élastique−k(z−d)aveck >0, – à un amortissement représenté par une force de frottement visqueux−λz˙,avecλ >0, – à une force d’excitation selon Oz, sinusoïdale,f z =f 0 cosωt.

I.1.1Écrire l’équation du mouvement régissant le mouvement de cet oscillateur.

k 2 Dans la suite, on poseω=, 0 m

mω 0 Q=, λ

I.I.2Déterminer les dimensions deQ, a m etu.

Qf 0 ω a m =etu=. 2 mω 0 ω 0

I.1.3En régime sinusoïdal permanent, la solution est de la formez(t) =d+acos(ωt+ϕ), avecaréel positif. Déterminer l’amplitudea(ω); l’exprimer en fonction dea m , Qetu. Comment évolue le graphe dea(ω)en fonction deQ?

−11−1 I.1.4Calculer la fréquence propreν 0 =ω 0 /2πpourm= 5×10kg etk= 20N∙m .

Les valeurs typiques deQsont de quelques centaines. On prendraQ= 400. Toute l’étude qui suit s’effectuant au voisinage de la résonance, on utilisera dans ce cas l’approximation : a m a(ω)'. 2 2 2 1 +Q(1−u)

I.2 Réponse près de la surface

Lorsque la sonde est rapprochée de la surface, elle est soumise à une force additionnelle verticale. Essentiellement due aux interactions de Van der Waals, elle est attractive et donnée

2

K parF(z) =−oùKest une constante positive qui dépend de la taille de la pointe et des 2 z matériaux en présence. En effectuant l’hypothèse d’oscillations de faible amplitude, on adopte pourF(z)la forme approchée suivante : 2 3 F(z) =A+B(z−d) +C(z−d) +D(z−d)(1)

I.2.1Expliciter les quatre coefficients du développement à l’aide deF(z)et de ses dérivées.

On étudie tout d’abord l’effet des deux premiers termes de l’expression (1) et l’on effectue le changement de variableZ=z−d.

I.2.2Écrire l’équation différentielle régissant le mouvement de la pointe.

I.2.3Quel est l’effet du termeAsur les oscillations forcées de la sonde ? Calculer l’am plitude de cet effet en fonction deK, ketd. L’évaluer numériquement pourd= 15nm −28 2 etK= 5×10N∙m.

I.2.4Sur quelle caractéristique de l’oscillateur influe le termeB cet effet avec les données précédentes.

? Évaluer numériquement

2 I.2.5Pour des amplitudes d’oscillation plus importantes, les termes non linéairesC(z−d)et 3 D(z−d)de l’expression (1) ne sont plus négligeables. Mais, étant donné les valeurs élevées deQ, au voisinage de la résonance, l’oscillation forcée reste pratiquement sinusoïdale à la pulsationω de la force excitatrice, soitZ(t) =acos(ωt+ϕ). Montrer que ces termes non linéaires entrainent l’apparition d’harmoniques à des fréquences différentes deω; préciser ces fréquences.

I.3 Réponse non linéaire (fortes amplitudes)

On effectue maintenant une expérience d’approcheretrait : la pointe en vibration est rappro chée, puis éloignée de la surface. Les déplacements sont supposés être verticaux. On observe ainsi l’influence croissante, puis décroissante, des forces de surface d’un échantillon et l’on utilise ces données pour discerner les diverses contributions des forces en présence, selon leur dépendance avec la distance. Dans ces expériences, l’amplitude d’oscillation est importante et la pointe s’approche très près de la surface. La forme approchée (1) n’est plus utilisable et il est nécessaire de prendre en K compte l’expression "exacte" de la force d’interaction pointesurface, soitF(z) =−. 2 z

I.3.1Écrire l’équation du mouvement de la pointe avec cette expression.

I.3.2Àdfixé, l’expérience montre que le mouvement de l’oscillateur demeure pratiquement harmonique, soitZ(t)'acos(ωt+ϕ). Avecz=d+Z(t), la forceF(z)est périodique en θ= (ωt+ϕ)et décomposable en série de Fourier. On admettra que le terme fondamental enω joue un rôle prédominant. Expliciter ce terme à l’aide deK, deta. On donne : Z +π 1 cosθ b Pour0≤b <1, dθ=−. 2 2 3/2 2π −π (1 +bcosθ) (1 −b)

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k mω 0 Qf 0 ω 2 =, Q= I.3.3En utilisant comme enI.1.1les notationsω 0 , a m =etu=, 2 m λ mω ω 0 0 montrer que l’amplitudeaet la distancedsont reliées, pourufixé, par : ® ´ h i 2 2K1 2 2 2 2 2 a Q1−u−+u=a . m 2 2 3/2 k (d−a) a d2K ˜ I.3.4On introduit les variables adimensionnées :a˜ =avec˜a≤1, d=etβ=. 3 a m a m ka m ˜ Montrer queds’exprime en fonction dea˜selon :   2/3 βQ 2 2 ˜   d= ˜a+(2) 2 2 2 Q(1−u)±1/a˜−u

Dans toute la suite, on remplacera

2 2 1/a˜−upar

I.3.5Calculer numériquementβQ −28 2−1 K= 5×10N∙m, k= 20N∙m,

2 1/˜a−1.

avec les valeurs données précédemment Q= 400et en prenanta m = 13,5nm.

2/3 Dans toute la suite, on prendra(βQ) = 0,04.

soit

Figure 2. Courbes expérimentales d’approcheretrait pourω=ω 0 . Elles sont pratiquement confondues La figure 2 montre une courbe d’approcheretrait, la pointe étant excitée à sa pulsation de résonance libreω=ω 0 ,soitu= 1. L’expression (2) se met alors sous la forme : 0,04 2 2 ˜ d=a˜ +(3) 2 1/3 (1/˜a−1) ˜ I.3.6Montrer quedest une fonction croissante de˜a. Préciser les valeurs limites dea˜pour ˜ ˜ d→0etd→ ∞.

˜ ˜ I.3.7Calculer la valeur dedpoura˜ = 0,95ainsi que l’écart(d−˜a).

˜ ˜ I.3.8Le calcul numérique montre que(d−˜a)reste inférieur à 0,04 pour 0,2< d <0,99. ˜ Déduire de ces résultats que l’on peut modéliser simplement le graphe dea˜(d)à l’aide de deux portions de droites et en donner le tracé. Comment se comparetil au résultat expérimental de la figure 2 ?

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Figure 3. Courbes expérimentales d’approcheretrait pourω < ω 0 . Approche :d; Retrait :décroissant régulièrement dcroissant régulièrement

Comme le montre la figure 3, dans certaines conditions expérimentales, les courbes approche retrait présentent de l’hystérésis. Des sauts brusques de l’amplitude se produisent à des distances ddifférentes lors de l’approche et lors du retrait. L’excitation s’effectue alors à une fréquence très légèrement inférieure à celle de résonance libre,ω < ω 0 soitu <1.

2 I.3.9On choisitupour avoirQ(1−u) = 0,9; calculer la valeur deu.

˜ ˜ I.3.10Le graphe de˜a(d), comme celui ded(a˜), comporte deux branches, les branches⊕et associées respectivement aux signes+et−du dénominateur du crochet de (2). Pour quelle ˜ valeur dea˜ces deux branches se rejoignentelles ? Quelle est la valeur dedcorrespondante ?

˜ I.3.11Montrer que la branche⊕correspond à une fonctiond(a˜)monotone croissante. La ˜ situation est analogue à celle analysée en questionI.3.8; le graphe dea˜(d)peut être modélisé simplement par un segment de droite que l’on précisera.

˜ I.3.12Pour la branche, calculer la valeur dea˜correspondant aux grandes distancesd. ˜ ˜ Calculer la valeurd 1 dedcorrespondant àa˜ = 0,75. En déduire l’allure du graphe de cette ˜ ˜ branche pourd > d 1 .

I.3.13Poura˜>0,75, le graphe de la brancheest donné en figure 4. Ras sembler sur un même dessin les graphes des deux branches. À l’aide de ce dessin, comment interprétezvous le résultat ex périmental de la figure 3 et l’hystérésis qui s’y manifeste ?

Figure 4. Branche; graphe poura˜>0,75

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II. Réflexion à la surface d’un dioptre plan

Deux milieux diélectriques transparents, d’indicesn 1 etn 2 , sont séparés par le dioptre plan xOy, le milieu d’indicen 1 correspondant àz <0(figure 5).

Une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsationω, de champ électrique ~ ~ 0 ωt−k i ∙r~)~e y , arrive sous l’angle d’incidenceθ 1 ,(0< θ 1 < π/2)sur le dioptre, E i =E i cos( xOzétant le plan d’incidence. Elle donne lieu à une onde réfléchie, se propageant dans le ~ ~ 0 milieu d’indicen, de champ électriqueEcos(ωt−k 1 E r = r r ∙r~)~e y et à une onde trans ~ ~ 0 iqueE= cos(ω mise dans le milieu d’indicen 2 , de champ électr t E t t−k t ∙r~)~e y , avec les 0 0 angles respectivement de réflexionθet de réfractionθ(0< 1 2 θ 1 < π/2et0< θ 2 < π/2).

Figure 5.

Les coefficients de réflexionret de transmissiontpour les amplitudes sont donnés par :

0 0 E r 2 cosθ 1 sinθ 2 sin(θ 2 −θ 1 )E t r= = ;t= =. 0 0 Esin(θ 2 +θ 1 )Esin(θ 2 +θ 1 ) i i L’intensité énergétique moyenne d’une onde électromagnétique monochromatique de champ 0 ~ ~ électriqueE=Ecos(ωt−k t ∙~r)~e y , se propageant dans un milieu non absorbant d’indicen, est 1 0 2 donnée parI=ε 0 cn(E). 2

II.1 Réflexion – transmission en incidence rasante

Dans toute la partie II, l’indicen 2 reste très proche de l’indicen 1 . De plus l’incidence π π est quasi rasante et on poseθ 1 =−ϕ 1 avec0< ϕ 1 π/2. On pose de mêmeθ 2 =−ϕ 2 2 2 avec0< ϕ 2 π/2lorsqu’il y a transmission.

II.1.1Montrer que dans ces conditionsr avect= 1 +r.

=

0 E r 0 E i

'

ϕ 1 −ϕ 2 ϕ 1 +ϕ 2

ett

=

0 E t 0 E i

'

2ϕ 1 ϕ 1 +ϕ 2

I t II.1.2en fonction deExprimer de même le rapport ϕ 1 etϕ 2 , en tenant compte den 2 'n 1 . I i

II.2 Réflexion–transmission en régime non linéaire

On considère dorénavant que le milieu 2 est optiquement non linéaire : l’indicen 2 y dépend de l’intensité. On posen 2 (I t ) =n 2 (0) +ηI t =n 1 −Δ +ηI t , ce qui définit les constantes positives Δetη. On supposeΔ, ηI t n 1 , de sorte quen 2 reste toujours peu différent den 1 .

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II.2.1On suppose d’abord l’intensitéI t faible,n 2 'n 2 (0) =n 1 −Δ. Déterminer en fonction den 1 etΔl’angle d’incidence limiteϕ c tel qu’il existe une onde transmise pourϕ 1 ≥ϕ c .

II.2.2On suppose maintenant0< ϕ 1 < ϕ c mais avec l’intensitéI t suffisamment forte pour avoirn 2 > n 1 . Pour une incidenceϕ 1 donnée, quelle est la valeur minimale deηI i /Δpour qu’il y ait transmission d’une onde dans le milieu d’indicen 2 ? Expliciter cette valeur en fonction de ϕ 1 etϕ c . ϕ 1 1ϕ 1 1ϕ 1 1 Calculer cette valeur minimale pour=,=et=. ϕ c 4ϕ c 2 2 ϕ c 2

II.2.3Exprimern 2 en fonction den 1 ,Δ, ϕ 1 , ϕ 2 , ηetI i .

II.2.4Toujours pourn 2 > n 1 , déduire de la loi de Descartes pour la réfraction la relation liantϕ 1 etϕ 2 et montrer qu’à l’ordre le plus bas enϕ 1 etϕ 2 , cette relation prend la forme : h   i 2 ηI i 1 4r ϕ 1 = 1−. 2 2 Δ (1 +r) (1 +r)ϕ c   ηI i II.2.5Tracer l’allure de la courber=fpour0≤r≤1et dans chacun des cas Δ ϕ 1 1ϕ 1 1ϕ 1 1 suivants :=,=et=. ϕ c 4ϕ c 2 2 ϕ c 2

ηI i II.2.6et deQuelles sont les valeurs de n 2 lorsquer= 0? Que se passetil alors physi Δ quement ?

II.3 Onde évanescente en régime non linéaire

On suppose maintenant que l’inégalitén 1 > n 2 est satisfaite, et on se place dans la situation où0< ϕ 1 ≤ϕ c (angle d’incidence supérieur à l’angle limite). C’est la situation de réflexion totale en optique géométrique. La conservation des champs électrique et magnétique au passage du dioptre implique cependant qu’il existe une onde électromagnétique dans le milieu d’indicen 2 . ~ 0−βz =E ecos(ωt−κx+φ)e~avec : Le champ électrique est donné par :E t t y  0  2 2 2 ω E4ncosθ 1 2 2 2 t 1 β=nsinθ 1 −net=. 1 2 0 2 2 c E n−n i 1 2 II.3.1On considère l’interface verre/CS 2 . L’indice du verre estn 1 = 1,63; celui du CS 2 est −3 n 2 =n 1 −Δ, avecΔ = 1,0×10. Calculer la valeur numérique de la profondeur de pénétration ◦ −1 βde l’onde électromagnétique transmise pour un angle d’incidenceθ 1 = 88,6et pour une longueur d’onde de 694 nm (laser à rubis).

II.3.2On tient compte à présent des effets optiques non linéaires dans CS 2 . On se place π toujours en incidence quasirasante :θ 1 =−ϕ 1 et0< ϕ 1 π/2, mais avecI t suffisamment 2 faible pour avoirn 2 < n 1 donc réflexion totale. On pose toujoursn 2 (I t ) =n 1 −Δ +ηI t , oùI t 0 correspond au champ près du dioptre, soitE. t

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Montrer queI t vérifie l’équation du second degré :

2 Δ 2n 2 1 ϕ 1 I t −I t +I i = 0. η η

  2 1 Δϕ c c c II.3.3Que se passetil physiquement lorsqueI i > I, oùI=? i i 16η ϕ 1

ϕ 1 1ηI i c de 0 àI II.3.4On fixe la valeur=. Tracer le grapher=f( )lorsqueI i croît i . ϕ c 4 Δ En reprenant les résultats des questionsII.2.5etII.2.6, tracer sur le même dessin la courbe ηI i c r=f( )deI lorsqueI i décroît i à 0. Δ ϕ 1 1ϕ 1 1 Comment ces courbes sontelles modifiées pour=et=? ϕ c 2 2 ϕ c 2

ϕ 1 1 −14−1 2c II.3.5Le coefficientηpour CS 2 vaut3×10W∙Calculercm . Ipour=. Comment i ϕ c 4 peuton obtenir une telle intensité ?

2 II.3.6La figure 6 représente la variation du coefficient de réflexion en intensitéR=|r| de l’interface verreCS 2 en fonction de l’intensité incidente, exprimée en unités arbitraires. Les points noirs sont obtenus en augmentant l’intensité incidente, les cercles ouverts en la diminuant. Commenter cette courbe. Quelle application de ce phénomène peuton envisager ?

Figure 6. Coefficient de réflexion fonction de l’intensité

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