Eléments de correction du Devoir Maison no

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Eléments de correction du Devoir Maison no 13 Problème 1 Étude d'un capteur de rotation 1. La période T des signaux E1 et E2 dépend de la distance séparant deux bords d'attaque d, de la vitesse de rotation de la roue du véhicule et du rayon de la roue. Le déphasage entre les deux signaux est de pi3 , on a alors d p = 1 6 2. L'AO fonctionne en régime de saturation (pas de rétroaction sur l'entrée inverseuse. La tension de sortie de l'AO est donc égale à ±Vsat. cf cours pour le fonctionnement du comparateur à hysteresis. EL = ? R1 R1+R2 Vcc et EH = R1 R1+R2 Vcc. Le phénomène décrit est l'hysteresis. 3. EL = ?EH = 1, 25 V 4. 5. L'écart ∆E = EH ?EL est appelé l'hysteresis ? Ce montage présente une meilleur sensibilité au bruit qu'un comparateur simple et qui permet d'éviter les « rebonds ». 6. S(t) est un signal créneau de période T . Connaissant le rayon de la roue et p, on peut donc retrouver la vitesse de rotation de la roue. Ce tachymètre est plus compacte qu'une solution optique et permet de déporter l'électronique du montage. 1

• volume boule chargée en volume


• vitesse de rotation de la roue du véhicule et du rayon de la roue


• vitesse de rotation de la roue


• boule


• volume


• distribution de charge


• potentiel


• champ électrostatique

Sujets

• Volume
• Potentiel
• Champ électrique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

o Elments de correction du Devoir Maison n13

Problme 1Ètude d’un capteur de rotation 1. LapÉriodeTdes signauxE 1 etE 2 dÉpend de la distance sÉparant deux bords d’attaqued, de la vitesse de rotation de la roue du vÉhicule et du rayon de la roue. Le dÉphasage entre les deux π d1 signaux est de, on a alors= 3p6 2. L’AOfonctionne en rÉgime de saturation (pas de rÉtroaction sur l’entrÉe inverseuse. La tension de sortie de l’AO est donc Égale À±V sat . cf cours pour le fonctionnement du comparateur À R 1 R 1 hysteresis.E L =−V cc etE H =V cc . Le phÉnomÈne dÉcrit est l’hysteresis. R 1 +R 2 R 1 +R 2 3.E L =−E H = 1,25V

4. 5. L’ÉcartΔE=E H −E L est appelÉ l’hysteresis? Ce montage prÉsente une meilleur sensibilitÉ au bruit qu’un comparateur simple et qui permet d’Éviter les « rebonds ». 6.S(t)est un signal crÉneau de pÉriodeT. Connaissant le rayon de la roue etp, on peut donc retrouver la vitesse de rotation de la roue. Ce tachymÈtre est plus compacte qu’une solution optique et permet de dÉporter l’Électronique du montage.

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Problme 2Conducteurs - Condensateurs - Capacit A Conducteurs- PropriÉtÉs A.1Un conducteur est un corps contenant des charges libres susceptibles de se dÉplacer contrairement aux isolants. conducteurs Électriques : mÉtal, corps humain, eau du robinet. A.2Un conducteur est en Équilibre Électrostatique lorsqu’il ne se produit aucun mouvement d’en- semble des charges libres. Les charges se rÉpartissent À la surface d’un conducteur (ρ i = 0), le champ −→ −→ Électrostatique est nul en tout point intÉrieur du conducteur (E i = 0) et le potentiel est constant dans tout le volume du conducteur. Si l’on apporte des charges excÉdentaires, elles vont se rÉpartir en surface.

B Conducteurs- CapacitÉs 2 B.1Conducteur plan: chargeQportÉ par le disque :Q, pour calculer le potentiel le 1 1 =σ 1 πR 1 R R 1 Q σ 1 2 πrdr R 1 σ 1 1 plus simple est de le faire enO 1 :V 1 (O 1 =) =. On a doncC 1 2= =πR 1  0 4π 0 0 r2 0 V 1 B.2Conducteur cylindrique:Q 2 = 2πR 2 lσ 2 . On calcule le potentiel au centre de symÉtrie du cy- l R σ 2 2 2πR 2 dz O 2 ).V 2 (O 2 ) = √ . A partir de la primitive donnÉe p lindre ( l 2 ar l’ÉnoncÉ on obtientV 2 = 4π 0 2 − R+z " q # 2 2 2 2 l l R+ + 2 σ 2 R 22 4 σ 2 R 2 l q lnet silR 2 , en faisant un dÉveloppement limitÉ on trouve queV 2 = ln. 2  R 2 0 2 l l 0 2 R+− 2 4 2 2πl 0 On en dÉduitC 2 = l ln R 2 2 σ, on trouve ensuite directement le potentiel enO: B.3Conducteur sphÉrique:Q 3 = 4πR 33 3 2 4πR σ 3 3 σ 3 R 3 V 3 (O 3 ) =soitV 3 =d’oÙC 3 = 4π 0 R 3 4π 0 R 3  0

C Condensateurs- PropriÉtÉs C.1Un condensateur Électrique est un systÈme de deux conducteurs en regard sÉparÉ par un isolant. C.2ThÉorÈme de Gauss : Le flux du champ Électrostatique À travers une surface fermÉe(Σ)est Égal v →− →− Q int À la somme des charges intÉrieures divisÉ par 0 .E .dS e =. Σ  0

D Condensateurs- CapacitÉs D.1Deux conducteurs en regard portent une charge opposÉe :Q A =−Q Bi . On peut le dÉmontrer en appliquant le thÉorÈme de Gauss sur une surface fermÉe interne au conducteur (B) et entourant (A). Q D.2Q=Q A etC=. V A −V B D.3DÉtermination des capacitÉs des condensateurs suivants : 2  0 S  0 πR D.3.1Condensateur plan:C 1 =AN:C 1 = =40pF e e −9 etQ=C(V A −V B ) = 6,0.10C. D.3.2Condensateur cylindrique D.3.2a.Tous les plans contenant le pointMsituÉ entre les deux armatures et l’axe des des deux cylindres sont des plans de symÉtrie. Le champ Électrostatique est donc dirigÉ radialement. On applique le thÉorÈme de Gausse sur un cylindre de hauteurhet de −→ Q 1 Q −→ rayonr. On a alorsE(r)2πrh=, soitE=u r .  0 2πrh 0

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R −→ −→ D.3.2b.Le potentiel Électrostatique est dÉfini parE .dl=−dVsoit : R R 2 Q 1 dr Q 1 R 2 ΔV=V(R 1 )−V(R 2 ) == ln. R 1 2π 0 hr2π 0 h R 1 2π 0 h R 2 e e D.3.2c.On en dÉduitC 2 = R et siR 2 =R 1 +eaveceR 1 ,ln =) =ln(1 +, on 2 R 1 R 1 R 1 ln R 1 2π 0 hR 1  0 S a alorsC 2 =≈ e e D.3.3Condensateur sphÉrique D.3.3a.Tous les plans contenant le centreOdes deux sphÈres et le pointMsituÉ entre les deux armatures sont des plans de symÉtries. Le champ Électrostatique est donc dirigÉ radialement. La distribution de charges est invariante par rotation d’angleθetϕdes −→ coordonnÉes sphÉrique, la norme deEne dÉpend alors que der. En appliquant le 2 Q 1 thÉorÈme de Gauss sur une sphÈre de de rayonR 1 < r < R 2 , on obtient :E(r)4πr=  0 −→ Q 1 −→ soitE= 2 u r 4πr  0 R R −→ −→ R R 2 2 Q 1 dr Q 1 1 1 Q 1 (R 2 −R 1 ) D.3.3b.ΔV=V(R1)−V(R2) =E .dl= 2 d’oÙΔV= (−) =. R 1 R 1 4π 0 r 4π 0 R 1 R 2 4π 0 R 1 R 2 Q 1 4π 0 R 1 R 2 D.3.3c.On en dÉduitC 3 = =. Dans le cas oÙR 2 =R 1 +eaveceR 1 l’expression ΔV R 2 −R 1 4π 0 R 1 R 2  0 S de la capacitÉ du condensateur sphÉrique devientC 3 = =. e e

E Applicationdu condensateur sphÉrique : systÈme Terre-ionosphÈre 2 4π 0 R  0 S E.1z 0 = 60kmR, soitC= =, on retrouve l’expression d’un condensateur plan avec z 0 e 2−2 S= 4πRete=z 0 . Application numÉrique :C= 7,55.10F. 2 V 9 E.2L’Énergie Électrostatique du systÈmeW el =C= 4,32.10Jet le champ Électrostatique À la 2 V −1 surface de la Terre est Égal ÀE(R) == 6V.m z 0 3 −Q −11−2 E.3−Q=C∗V= 27,2.10Cetσ= 2 =−5,31.10C.m 4πR 2 V 1 5−1 C 1 V 1 4π 0 R −7−2 E.4E 1 1= =.10V.metσ 1 = 2 avecC 1 = =4,53Fsoitσ 1 = 8,85.10C.m. z 1 4 πR z 1 Lors d’un orage le transfert de charges (Éclair) est considÉrablement augmentÉ.

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Exercice 1Boule charge en volume Boule chargÉe en volume −→ −→ 1. LessymÉtries et invariances de la distribution de charge permettent de montrer queE=E(r)u r . v −→ −→ Q int On utilise le thÉorÈme de Gauss sur une sphÈre de rayonr:E .dS=. On obtient alors si  0 3 ρR ρr r > R,E(r) = 2 et sir < R,E(r) =(cf cours). 3π 0 r 3 0 −→ −→ 3 ρR 2.r > R:E .dl=−dVsoitV(r) =(V(∞) = 0) 3π 0 r ρ 2 2 r < R:V= (3R−r)(continuitÉ du potentiel quandr=R). 6 0 3. Graphe: On vÉrifie que le champE(r)est continu, et que le potentiel est de classeC 1 (dÉrivÉe continue enr=R) 2 4. Pourconstituer cette sphÈre chargÉe, l’opÉrateur doit amener la chargedq=ρ4πr drde l’infini 2 2 ρr 2 ρr dr (V= 0) À une rÉgion de potentielV(r) =:dE p =dqV(r) =ρ4πr dr. L’intÉgration 3 0 3 0 R 2 R 4πρ 4 conduit À l’Énergie potentielle Électrostatique de constitution de la sphÈre :E p =r dr= 0 3 0 2 5 4πρ R 15 0 5. Lecalcul du champ crÉÉ par la sphÈre (pleine) peut tre obtenu par la superposition du champ crÉe −−−−→−→→−−−−−−−−− par la sphÈre de rayon de rayonR 2 (cavitÉ) et de la sphÈre percÉe :E sphere =E cavite +E sherepercee −−−−−−−−→−−−−→−−−→ doncE spherepercee =E sphere −E cavite . En un pointMintÉrieur À la cavitÉ le champ crÉÉ par la −−−−→−−→−−−→−−→ ρ ρ sphÈre de rayonRest Égal ÀE sphere =O 1 MetE cavite =O 2 M(mme calcul). On obtient 3 0 3 0 −−−−−−−−→−−→−−−−→−→ −−−−−−−−→ ρ ρρ alorsE spherepercee =O 1 M−O 2 MsoitE spherepercee =O 1 O 2 . Le champ Électrostatique 3 0 3 0 3 0 est donc uniforme À l’intÉrieur de la cavitÉ.

Exercice 6Potentiel de Yukawa Potentiel de Yukawa −→ −→ −−→ 1. Larelation entre le champEet le potentielVs’ÉcritE=−gradV. Le potentiel ne dÉpendant −→−→ r rr dV −→ q −1− −1− −→ q r − −→ a aa que der, on aE=−u r =−( 2 e+e)u r soitE= 2 )(1 +e u r dr4π 0 r ra 4π 0 r a 2. On applique le thÉorÈme de Gauss pour une sphÈreSde centreOet de rayonr. La charge v →− →− v −→ −→ 2 intÉrieure ÀSest alors Égale ÀQ= 0 E .dS. etE .dS=E(r)4πr. En utilisant l’expression r r− deE(r)Établie À la question prÉcÉdente, on obtientQ(r) =q(1 +)e a a 3. Lorsquera Qtend versece qui signifie qu’il existe une charge ponctuelle enO. Lorsque que ra Qtend vers0c’est À dire que loin du centre la distribution est globalement neutre. Cette forme de potentiel de Yukawa modÉlise un atome d’hydrogÈne, la chargeecorrespond À celle du proton et la charge diffuse−ecorrespond À un nuage Électronique.

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