Espérance conditionnelle

Samy Tindel

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 59

• espace de probabilité


• m1 - espérance conditionnelle


• variable aléatoire


• définition formelle


• nancy-université

Sujets

• Espace probabilisé
• Variable aléatoire
• Nancy-Université

Informations

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• Langue: Français

Extrait

S.(IEamyT1-EsCN)McnceéparitnonoidaneNllneveni-Ucy5/1étisr

Samy Tindel

Master 1 - Nancy

Nancy-Université

Espérance conditionnelle

9

(.TyNCEI-1M)épsEamSllNenaycU-inevsrranceconditionne

Exemples

2

Définition

9/5é2it

Lois conditionnelles régulières

1

Interprétation en termes de projection

5

3

4

Plan

Propriétés de l’espérance conditionnelle

ncNaleelerivUny-95/3étis

Lois conditionnelles régulières

5

Interprétation en termes de projection

4

3

Propriétés de l’espérance conditionnelle

Plan

(IECmyT.-EspN)M1ecocrénaoinndnti

1

Définition

2

Exemples

Sa

.TI(CE)N1ME-psréSamy

Définition

On se donne un espace de probabilités(ΩF 0 P)et Uneσ-algèbre FF ⊂ 0 . X∈ F 0 telle queE[|X|]<∞. Espérance conditionnelle de X sachantF: NotéeE[X|F] Définie par:E[X|F] Lest la v.a Y de 1 (Ω)telle que (i)Y∈ F. (ii)Pour tout A∈ F, on a

E[X1 A ] =E[Y1 A ], ou encore R A X dP= R A Y dP.

95

Définition formelle

ét/4sierivUny-ncNalelennoitidnocecna

yT.(Sam)M1-IECN

Interprétation:de manière plus intuitive Freprésente une quantité d’information Yest la meilleure prédiction de X lorsque l’on possède l’information contenue dansF.

Existence:à voir après les exemples.

Remarques

Notation:On utilisera la notationY∈ Fpour dire qu’une variable aléatoireYestF-mesurable.

9/5é5itrsve

Unicité:Si elle existe, l’espérance conditionnelle est unique.

ditieconrancEspéU-innaycllNenoen

noiditnoéparcnceCN)M1-EsamyT.(IES

A  ≡(Y−Y 0 >)

0=E[(Y−Y 0 )1 A  ]≥E[1 A  ] =P(A  )

/5é6itrs

Cas particulier:Soit >0, et posons

AlorsA  ∈ F, et donc

But:Soit Y’ vérifiant (i) + (ii), de mme queY. ,→MontronsY=Y 0 p.s

Propriété générale:Pour toutA∈ F, on aE[Y1 A ] =E[Y 0 1 A ].

Démonstration unicité

⇒P(A  ) =0

9naNellenevinU-yc

isre/7ét-ycnvinU

on aP(A − ) =0.

A − ={Y−Y 0 <0}

Démonstration unicité (2)

59

On an7→A 1n croissante, et donc P(A + ) =P   n [ >1 A 1n   = n li → m ∞ P(A 1n ) =0

EnsembleA − :De mme, si

EnsembleA + :Soit

A + ≡(Y−Y 0 >0) = [ A 1n  n>1

I(.TymaSM1-EECN)ancespértioiocdnelaNnnle

condancennelitiocn-yelaNreisnUvimySa)NCEI(.TrépsE-1M8/té

Démonstration unicité (3)

59

A 6= ≡ {Y6=Y 0 }A + ∪A −  =

Conclusion:On obtient, en posant

queP(A 6= ) =0, et doncY=Y 0 p.s.

enllitnonoidcncepéra1-EsCN)M.(IE

µ(A) =0

=⇒

ν(A) =0pour tout A∈ F

Définition Soitµ νdeux mesuresσ-finies sur(ΩF). On dit queνµ(µest absolument continue par rapport àν) si

Absolue continuité

95/9éitrsveni-UcyaneNSTyma

Théorème de Radon-Nykodym

La fonction f : Se nomme dérivée de Radon-Nykodym deµpar rapport àν Se note f≡ d d µ ν . On a f≥0µ-presque partout f∈L 1 (µ).

Théorème Soient µ νmesuresσ-finies sur(ΩF), telles queνµ. Alors il existe f∈ Ftelle que, pour tout A∈ F, on a ν(A) = Z A f dµ

0/59ité1vers.(yTamS1-)MCNIEarcnsEépiditcenolleNonne-Uniancy

aNcnleelvire-ynU11/5sité

Hypothèse:On a Uneσ-algèbre FF ⊂ 0 . X∈ F 0 telle queE[|X|]<∞. X>0.

9

Existence de l’espérance conditionnelle

Définition de deux mesures:on pose 1 µ=P, mesure sur(ΩF). 2 ν(A)≡E[X1 A ] = R A X dP. Alorsνest bien une mesure (par Beppo-Levi).

CEI(.TympsE-1M)NcoceanérnnioitndaS