EXERCICE points

Description

Niveau: Supérieur
EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous les candidats Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par fn la fonction définie sur R par : fn(x)= xne?x . On noteCn sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O ; ?? i , ?? j ) du plan. PARTIE A Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbeCk où k est un entier naturel non nul, sa tangente Tk au point d'abscisse 1 et la courbeC3. La droite Tk coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées ( 4 5 , 0 ) . x y C3 Ck Tk !i !j AO 1. a. Déterminer les limites de la fonction f1 en ?∞ et en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f1 et dresser le tableau de variations de f1. c. À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2. 2. a. Démontrer que pour n ! 1, toutes les courbes Cn passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées. b. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x, f ?n(x)= x n?1(n?x)e?x .

• droites d'équations respectives


• tangente tk


• puisque lim


• courbe cn


• axe des abscisses


• équation de tk


• point de coordonnées

Informations

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Extrait

EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous les candidats Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 1, on désigne parf n la fonction définie surRpar : n−x f n (x)=xe . ! " −→−→ On noteC n sa courbe représentative dans un repère orthogonalO;i,jdu plan. PARTIE A

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbeC k oùkest un entier naturel non nul, sa tangenteT k au point d’abscisse 1 et la courbeC 3 . # $ 4 La droiteT k coupe l’axe des abscisses au pointA., 0de coordonnées 5

C 3

! j

y

! O i A

C k

T k

x

1. a.Déterminer les limites de la fonctionf 1 en−∞et en+∞. b.Étudier les variations de la fonctionf 1 et dresser le tableau de variations def 1 . c.À l’aide du graphique, justifier quekest un entier supérieur ou égal à 2. 2. a.Démontrer que pourn ! 1, toutes les courbesC n passent par le pointOet un autre point dont on donnera les coordonnées. b.Vérifier que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 2, et pour tout réelx, $n−1−x f(x)=x(n−x)e . n

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3.Sur le graphique, la fonctionf 3 semble admettre un maximum atteint pourx=3. Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. # $ k−2 4. a.Démontrer que la droiteT k , 0coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées. k−1 b.En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entierk.

PARTIE B

On désigne par (I n ) la suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 par % 1 n−x I n =xed x. 0 1.CalculerI 1 . 2.Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbesC 1 ,C 2 ,C 3 ,C 10 ,C 20 , C 30 comprises dans la bande définie par 0 " x " 1. y 0,5

0

C 1

C 2

C 3 C 10 C 20 C 30 x 1

a.Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I n ) en décrivant sa dé- marche. b.Démontrer cette conjecture. c.En déduire que la suite (I n ) est convergente. d.Déterminer limI n . n→+∞

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EXERCICE 3

PARTIE A

−x 1) a)Pour tout réelx,f 1 (x) =xe. −x X−x Limite def 1 en−∞.limx=−∞et lime=lime= +∞lim. Doncf 1 (x) =limxe=−∞. x→−∞x→−∞ X→+∞ x→−∞x→−∞ x 1 Limite def 1 en+∞.Pour tout réel non nulx,f 1 (x) ==. D’après un théorème de croissances comparées, on x x e e/x x e 1 sait quelim= +∞et donclimf 1 (x) =lim=0. x x e/x x→+∞x→+∞x→+∞

limf 1 (x) =−∞et limf 1 (x) =0. x→−∞x→+∞

b)La fonctionf 1 est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

!−x−x−x f(x) =1×e+x×(−1)×e= (1−x)e. 1 −x! ! Pour tout réelx,0e >et donc pour tout réelx,f(x)est du signe de1−x. Par suite, la fonctionfest strictement 1 positive sur]−∞, 1[et strictement négative sur]1,+∞[puis la fonctionf 1 est strictement croissante sur]−∞, 1]et strictement décroissante sur[1,+∞[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf 1 : x−∞1+∞ ! f(x) +0− 1 −1 e f 1 −∞0 c)La courbeC 1 admet une tangente parallèle à(Ox)en son point d’abscisse1. La tangenteT k n’est pas parallèle à(Ox). L’entierkn’est donc pas égal à1ou encore l’entierkest supérieur ou égal à2. 2) a)Si un pointMappartient à toutes les courbesC n ,n!1, alorsMappartient aux courbesC 1 etC 2 et donc son abscissexest solution de l’équationf 1 (x) =f 2 (x). Soitxun réel.

−x 2−x−x 2−x−x f 1 (x) =f 2 (x)⇔xe=x e⇔xe−x e=0⇔x(1−x)e=0 −x ⇔x(1−x) =0(care"=0) ⇔x=0oux=1.

Les courbesC 1 etC 2 ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives(0, 0)(carf 1 (0) =0) et ! " 1 1 1,(carf 1 (1) =). Les courbesC n ,n!1, ont donc au plus deux points en commun. e e n−0 Réciproquement, pour tout entier naturel non nuln,f n (0) =0 e=0et donc le pointO(0, 0)appartient à toutes les courbesC n ,n!1. ! " 1 1 n−1 De même, pour tout entier naturel non nuln,f n (1) =1×e=et donc le point de coordonnées1,appartient e e à toutes les courbesC n ,n!1. ! " 1 Les courbesC n ,n!1, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées(0, 0)et1,. e

b)Soitn!2. La fonctionf n est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

!n−1−x n−x n−1−x n−x n−1−x f(x) =nx e+x(−1)e=nx e−x e=x(n−x)e. n

!2−x! 3)En particulier, pour tout réelx,f(x) =x(3−x)e. Donc, la fonctionfest strictement positive sur]−∞, 0[∪]0, 3[ 3 3 et strictement négative sur]3,+∞[puis la fonctionf 3 est strictement croissante sur]−∞, 3]et strictement décroissante sur[3,+∞[. La fonctionf 3 admet donc un maximum atteint enx=3. !−1!k−1−1−1 etf=1(k− −1)avecf k (1) =e k (1) 4) a)Soitk!2. Une équation deT k esty=f k (1) +f k (1)(x 1)e= (k−1)e.

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k−1 2−k −1−1 Une équation deT k est doncy=e+ (k−1)e(x−1)ou encorey=x+. Ensuite, e e k−1 2−k 1k−2 x+ =0⇔((k−1)x−(k−2)) =0⇔(k−1)x−(k−2) =0⇔(k−1)x=k−2⇔x=. e ee k−1 ! " k−2 Donc la tangenteT k coupe l’axe des abscisses au pointA k de coordonnées, 0. k−1 b)Soitk!2. k−2 4 A k =A⇔=⇔5(k−2) =4(k−1)⇔5k−4k=10−4⇔k=6. k−1 5 k=6.

PARTIE B " 1 −x −x 1)On aI 1 =xe dx. Pourxdans[0, 1], posonsu(x) =xetv(x) =−e. Les fonctionsuetvsont dérivables sur 0 [0, 1]et pourxdans[0, 1], on a

u(x) =x ! u(x) =1

−x v(x) =−e !−x v(x) =e

! ! De plus, les fonctionsuetvsont continues sur[0, 1]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

" " 1 1 # $ 1 −x−x−x I 1 =xe dx=x(−e)−1(−e)dx 0 0 0 " 1 # $ 1 −1−x−1−x−1−1 0 = (−e)−(0) +e dx=−e+−e=−e−e+e 0 0 e−2 −1 =1−2e=. e

e−2 −1 I 1 =1−2e=. e

2) a)Puisque chaque fonctionf n est continue et positive sur[0, 1],I n est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine du plan compris entre l’axe des abscisses, la courbeC n et les droites d’équations respectivesx=0etx=1. D’après le graphique, il semblerait que la suite(I n ) n!1 soit décroissante. b)Soitn!1.

" "" 1 11 n+1−x n−x n+1−x n−x I n+1 −I n =x edx−dxx e= (x e−x e)dx(par linéarité de l’intégrale) 0 00 " 1 n−x =x(x−1)e dx 0 n−x n−x Pour tout réelxde[0, 1], on ax!0,x−1"0ete!0. Donc pour tout réelxde[0, 1], on ax(x−1)e"0. Par " 1 n−x croissance de l’intégrale, on en déduit quex(x−1)e dx"0ou encore queI n+1 −I n "0. 0 On a montré que pour tout entier naturel non nuln,I n+1 "I n et donc

la suite(I n ) n!1 est décroissante.

c)D’autre part, chaque fonctionf n ,n!1, est positive sur[0, 1]et donc, par positivité de l’intégrale, pour tout entier naturel non nuln, on aI n !0. En résumé, la suite(I n ) n!1 est décroissante et minorée par0. On en déduit que la suite(I n ) n!1 est convergente. −x 0−x d)Soitn!1. Pour tout réelxde[0, 1], on a−x"0et donc0"e"eou encore0"e"1. En multipliant les trois n n−x n membres de cet encadrement par le réel positifx, on obtient0"x e"x. Par positivité et croissance de l’intégrale, on en déduit que

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! ! 1 1 n−x n 0!x edx!x dx 0 0 ! ! " 1 1 n +1 n+1 n+1 x 10 1 n avecx dx= =−=. Ainsi, pour tout entier naturel non nuln, n+1 n+1 n+1 n+1 0 0 1 0!I n !. n+1 1 Puisque lim=0, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que n+1 n→+∞

limI n =0. n→+∞

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