EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

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Niveau: Supérieur
SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1. Etudier la monotonie des suites (an)n≥0 définies par : a) an = n2 ? 2n b) an = (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) c) an = nn ? n! d) an = n? + (?1)n (? réel positif) 2. Montrer que les suites (an)n≥0 définies par : a) an = (?1)n thn thn + 1 b) an = n cosn 2n + 2 + cosn c) an = n ∑ k=0 cos k sont bornées. 3. Soit a, la suite de terme général an = n3 + 1 n3 + n2 + 2 . Trouver un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait |an ? 1| < 10?2. Plus généralement, ? étant un nombre réel strictement positif, déterminer un entier N , tel que, si n ≥ N , on ait |an ? 1| < ?. Qu'a-t-on démontré pour la suite (an) ? 4. Montrer que si lim(an) = ? (? finie ou non), on a lim(|an|) = |?|.

?n n2?

cosn n? sinn

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SEMESTRE DE PRINTEMPS

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

1.Etudier la monotonie des suites(an)n≥0déﬁnies par : a)an=n2−2n b)an= (n+ 1)(n+ 2)∙ ∙ ∙(n+n) c)an=nn−n!d)an=nα+ (−1)n(αréel positif) 2.Montrer que les suites(an)n≥0déﬁnies par : nthn a)an= (−h1)n+ 1b)an2=n+n+2socncosn c)an=Xncosk t k=0 sont bornées. 3.Soita, la suite de terme généralan=n3n+3n+21+2. Trouver un entierN, tel que, sin≥N, on ait|an−1|<10−2. Plus généralement,εétant un nombre réel strictement positif, déterminer un entierN, tel que, sin≥N, on ait|an−1|< ε. Qu’a-t-on démontré pour la suite(an)? 4.Montrer que silim(an) =ℓ(ℓﬁnie ou non), on alim(|an|) =|ℓ|. En déduire que si la suite(|an|)est divergente, la suite(an)est divergente. Que pensez-vous de la réciproque ?

5.Ecrire sous forme quantiﬁée les propriétés suivantes : a) La suite(an)n’est pas bornée b) La suite(an)est divergente c) La suite(an)n’est pas monotone

6.Pour chacune des formules suivantes, on demande de dire s’il existe une suite(an)qui la vériﬁe, et le cas échéant, de reconnaître la propriété générale des suites(an)qui la vériﬁent. a) (∃M∈R) (∀n∈N) (an≤M)b) (∀n∈N) (∃M∈R) (an≤M) c) (∀M∈R) (∃n∈N) (an≤M)d) (∃n∈N) (∀M∈R) (an≤M) e) (∀M∈R) (∀n∈N) (an≤M)f) (∃M∈R) (∃n∈N) (an≤M)

7.Calculer la limiteℓdes suites ci-dessous, et trouver, pour chacune d’elles, un entierN, tel que, sin≥N, on ait|an−ℓ| ≤10−2 a)an=nn+−sincsonnb)an=n2n+ 1 +n2n ++ 2∙ ∙ ∙+n2n+n

8.Etudier si les suites(an)n≥0déﬁnies ci-dessous possèdent une limite a)an=n−2+(−1)nb)an=2nn((−−1)1)nn+3+1c)an=en(−1)n d)an= (−1)ne−ne)an=n−1+(−1)nf)an= cos(π n) 9.Calculer la limite des suites(an)n≥1déﬁnies par n a)an(ln=2n(lnnnl+n+lnn))b)an2=nn++een n − c)an= 34nn+23+2n+2+nn+1+3dn)an=ααn+ββnn(αetβréels>0) n 1 + 3 + 9 +∙ ∙ ∙+ 3 e)an + 2 += 1n2∙ ∙ ∙+nf)an= 3n+1 10.Soitx∈R. Montrer que la suite(un)déﬁnie par u[x] + [2x] +∙ ∙ ∙+ [nx] = nn2 converge et calculer sa limite. (On rappelle que la partie entière[u]du nombreuvériﬁe[u]≤u <[u] + 1).

11.Distinguer le vrai du faux. Soit(un)une suite réelle. a) silimun= 1et, si pour toutn∈N, on aun≥1, alors la suite(un)est décroissante à n→∞ partir d’un certain rang. b) silimun= 1, alors il existen0∈Ntel queun≥0pour toutn≥n0. n→∞ c) silimun=ℓ, alorslim (un+1−un) = 0. n→∞n→∞ d) si(un+1−un)converge vers 0, alors(un)possède une limite ﬁnie. e) si la suite(un)ne tend pas vers l’inﬁni, alors elle est bornée.

12.Soitαetβdeux nombres réels. A quelle condition la suite(an)n≥0déﬁnie par an= sinα+βn+π2n2 a-t-elle une limite ? Calculer cette limite lorsqu’elle existe. − (On commencera par chercher la limite debn=α+βn+π2n2nπ, puis on exprimeraanen fonction debn).