Geometrie differentielle appliquee a la physique Cours M2 Lyon automne

Alessandra Frabetti

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• cours - matière potentielle : geometrie


• cours - matière potentielle : v

Geometrie differentielle appliquee a la physique Cours M2 - Lyon 1 - automne 2010 Alessandra Frabetti Institut Camille Jordan, CNRS UMR 5028, Universite Lyon 1, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne, France. 17 decembre 2010 Version provisoire, car erreurs eparpilles, preuves incompletes et texte superficiel surout a la fin. Merci de me signaler erreurs et commentaires en ecrivant a 1

• lagrangien d'energie


• lagrangien


• champ


• fibre


• espace de configuration


• lie


• interet de la formulation hamiltonienne de l'equation du mouvement


• equation d'euler-lagrange


• systeme mecanique

Sujets

• Géométrie
• Jordan
• Lagrangien
• Espace de configuration
• Équation d'Euler-Lagrange

Informations

• Publié par: rasum
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• Langue: Français

Extrait

G´eom´etriediff´erentielleapplique´e`alaphysique Cours M2 - Lyon 1 - automne 2010 Alessandra Frabetti InstitutCamilleJordan,CNRSUMR5028,Universite´Lyon1, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne, France. [e-mail] 17de´cembre2010

Versionprovisoire,carerreurs´eparpill´es,preuvesincomple`tesettextesuperficiel surouta`lafin.

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M2Lyon–CoursdeG´eom´etrie2010 Tabledesmatie`res 1Actionet´equationsd’Euler-Lagrange3 1.1 Espace des configurations, espace des vitesses et espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2Principedemoindreactionete´quationdumouvement.3 1.3 Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ´ 1.4 Equation d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ´ 1.5 (*) Equations d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 4 1.6Exemplesd’´equationsd’Euler-Lagrange.........5 2Variet´esdiffe´rentiables7 2.1 (*) Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2Variet´esdiffe´rentiables...................7 2.3 Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4Applicationsdiff´erentiablesetdiff´eomorphismes.....9 2.5Fonctionsre´ellessurunevaiet´....9 r e . . . . . . . . . . 2.6Courbesparametre´essurunevariete´...........10 2.7 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.8Vecteurstangentsetd´erivations..............11 2.9 Diff´rentielle d’une application . . . . . . . . . . . . . . 12 e 2.10Immersions,plongementsetsous-variete´s........13 2.11 Submersions et fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ´ 3Fibre´svectorielsetespacesdesections14 3.1Fibre´svectoriels......................14 3.2 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3Morphismesentrefibr´essurlameˆmevariet´e.......16 3.4 Fonctions de transition et groupe structural . . . . . . . 17 3.5 (*) Tenseurs de type (p, q 17) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6Alg`ebrelin´eaireaveclesfibr´esvectoriels.........18 4 Champs de vecteurs 20 4.1Fibr´etangent........................20 4.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.3Transportd’unchampparundiffe´omorphisme.....21 4.4Courbesinte´gralesetflots.................22 4.5(*)De´rive´edeLiedeschampsdevecteurs........22 5Formesdiff´erentielles23 5.1Fibre´cotangent.......................23 5.2Formesdiff´erentielles....................23 5.3 Transport d’une forme par une application . . . . . . . . 24 5.4 (*) Contraction de formes par un champ de vecteur . . . 24 5.5(*)De´riv´eedeLiedesformesdiff´erentielles.......25 5.6Diff´ntielleexte´rieureoudedeRham..........25 ere 5.7CohomologiededeRham,LemmedePoincare´.....26 5.8Formesdiffe´rentielles`avaleurdansunfibr´e.......26 6Connexionssurfibr´esvectoriels27 6.1Relevementhorizontalsurunfibre´............27 6.2Connexionsurunfibr´evectoriel..............30 6.3Transportparall`eleetholonomie.............32 6.4Deriveeetdiff´erentiellecovariante............32 ´ ´ 6.5 Courbure d’une connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.6Identite´deBianchienversioncovariante.........34 7Variete´sorientablesetinte´gration36 7.1Partitiondel’unite´.....................36 7.2Variete´sorientablesetformevolume...........37 7.3Inte´grationdesformesdiff´erentielles...........38 7.4Variet´es`abord.......................39 7.5Th´eore`medeStokes....................39 8Variete´s(pseudo-)riemanniennesetconnexiondeLevi- Civita 40 8.1 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2(*)Espacevectorielm´etrique...............40 8.3Variete´savecme´trique...................40 8.4Isome´tries..........................41 8.5 Longueur des courbes, volume des domaines . . . . . . . 41 8.6Op´erateurdeHodgeetco-diffe´rentielle..........42 8.7 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.8Ge´ode´siques.........................45 8.9 Courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.10 Courbure de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . 46

9Groupesetalg`ebresdeLie48 9.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9.2Champsdevecteursinvariantsetalg`ebredeLie.....48 9.3 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9.4 Actions adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.5M´etriqueinvariante.....................50 10Actiond’ungroupedeLiesurunevariet´e51 10.1Actiond’ungroupedeLiesurunevariet´e........51 10.2 Espace des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.3 ApplicationsGiantivar´equ-............se..2.5 10.4 Champ fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 11Fibr´esprincipauxetfibresassocie´s53 ´ 11.1Fibre´principaldegroupeG. . . . . . . . . . . . . . . 53. 11.2Groupestructurald’unfibr´eprincipal..........54 11.3 Groupe de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 11.4Fibre´associe´a`unfibre´principal.............55 11.5 Reduction du groupe structural . . . . . . . . . . . . . . 56 12 Connexions principales et courbure 58 12.1Connexionssurunfibre´principal.............58 12.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 12.3Connexioninduitesurlesfibr´esassocie´s.........59 Re´ferences60

3 1Actionete´quationsd’Euler-Lagrange 1.1 Espace des configurations, espace des vitesses et espace des phases Unsyst`emmee´acinuqeuel’rceqpellonapueenqusiese)ontdeen´ahcnieuqatsnaptn(lcsaconfigurationq. AppellonsCl’espace des configurations. –Silesyste`med´ecritdesparticulesmacroscopiques,uneconfigurationestunvecteur(q 1  ... q m r´ui)qof-rsrnileueuein mationsr´eellesq i , etCpreha`calementdiff´eomoularaventeirole´steg´en´eenR m c,e’tsa`tnere´ffi.elbaievunrediedt´iear Par exemple, pour deux points materiels dans l’espace on aC=R 3 ×R 3 =R 6 etq= (x 1  y 1  z 1  x 2  y 2  z 2 ), pour unpointcontraintsurunesphe`reonaC=S 2 et localementq= (x 1  x 2 ). –Silesystemede´critdesondes,oudesparticulesmicroscopiquesquisontassimil´esa`desondes,uneconfiguration ` est un ensemble de champs (Φ 1  ...Φ m )e’c,`-tsid-atiecesudsoontincofedelbmesnenuerneusurrbe´u’finnods variet´ediff´erentiableM(typiquement l’espace EuclidienR 3 ou l’espace de MinkowskiM). Dans ce cas, l’ensemble des configurationsCvecaotceleirpte(om´ephoraue`spne)tamsiedarfoisglobalemencolaarlldtffimeneesten´eeng´ dimension infinie. Par exemple, on peut avoirq=X, un champ de vecteurs surM, etC=X(M), ou bienq=A, une 1-forme surMieeLednusnadsrrbe`glaealeu`avg, etC= Ω 1 (M;g). Admettonsque,audela`desprobl`emesquipeuventsurgirencasdedimensioninfinie,cesdeuxtypesdesyste`mespuissent eˆtrede´critdefac¸onanalogue. Lesyste`meestdynamiquesruqleseocfinugartionsbougentdanslonedtrcvise,spmetelffe’lsuosrcfodeet´etd,ees courbesorient´eesdansCouteconfiusipourted´dperaugaritnoedemamynes.Lt`yssrolnnoceuqiatsetq 0 on connait son evolution dans le tempsγ. Nous allons illustrer dans cette introduction queγrouvsetmesoecomonti’dnoitulauqe´enu diff´erentielledudeuxi`emeordre,etqu’elled´ependdoncnonseulementdelaconfigurationq 0 mais aussi d’une autre quantit´eded´epart(lavitesseoul’impulsion). Lavitessed’une configurationqen mouvement le long d’une courbeγest un vecteurva`tnegnatγenq. L’ensemble desvitessesestdonclefibr´etangentT C(ou son analogue siCest de dimension infinie). L’impulsionest une forme lin´eairepenl’ursessetivsedelbmesecteco-ve.uns,i.desemelbe’snruL.esnsontdpuimiolsatocnegnfielce´rbtT ∗ Cet s’appelleespace des phases. 1.2Principedemoindreactionet´equationdumouvement Leprincipe de moindre actionaffirme que : Pourtoutsyst`ememe´caniqueilexisteunefonctionelleS[γ] des courbes surCa,pple´leeaction, qui a un minimum dans les trajectoires des configurations. Autrement dit : Unsyste`mee´voluedelaconfigurationq 1 ocalugfina`tiraonq 2 le long d’une courbeγqui joigneq 1 `aq 2 si et seulement siγminimise l’actionS[γ]. En particulier, une telle courbe est unextremumde l’action [N.B. cette condition n’est pas suffisante pour assurer queγsoit un minimum deS[γequ’-dirannuelledae´llleeeofir´v,]]a`-tse’celednolecnitS, δ δ S[ γ γ d := d] ε S[γ+ε δγ]  ε=0 = 0(1) ou`δγsemesfix´eevectxˆrocruebasesilrmpaiearvq 1 etq 2 .peapellitau’snotteCqe´euaeqonti´uvemdumoent`tmeusysd e. 1.3 Lagrangien L’actionS[γlecauobreurvilignelelongdtnienutscelarge´]eγme`es’dxertq 1 etq 2 ellee´rnoitcnge´tdnarutseofen.inL’ quide´penddutempst∈R, des configurationsq∈Cle long deγ, et de leurs vitessesv∈T q Cpaonm´raSi.ocruebteiresal par le tempst, on appelleq(t) les configurations le long deγett 1 ,t 2 les deux temps tels queq(t 1 ) =q 1 etq(t 2 ) =q 2 , alors lavitessedede´placementdesconfigurationsestdonn´arlesvecteursv(t) =q˙(tnt`at)egnaγ,etl’int´egarel’dcaitno ee p peutˆetreecritcommeuneinte´gralesurt. ´ UnLagrangiensurCest une fonctionL:R×T C−→Red,amodllueenemeeinntvetna`nuosrtsertiebleus-ensem deR×T C, telle que S[γ] = Z t 1 t 2 L(t q(t) v(t)) dt.(2) Dansunsyst`ememe´canique,leLagrangienestlie´a`l’e´nergiedusyst`eme,ettypiquementonaL=T−V,o`uTest ` l’´energiecy´etiqueetVeqreu.eAonetdelleitnme`tsysune´el’sttepoiergLenergietstpasl’´ne’iequst`tsy,emelatosude n H=T+V. Un Lagrangien s’appelleautonomelneds’ismpteduntmeteicilpxesapdnepe´t∈R. Dans ce casLest une fonction ` L:T C−→Rde la formeL(q(t) v(tq)iu)neid´dpelimptecintmedetnant,onneconsid`reqeeueds.apAritramedetni Lagrangiens autonomes.