L3 Algèbre V Université Lyon I

Leonhard Euler

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
L3 — Algèbre-V — 2011-2012 Université Lyon I I Exercice 1 Sous-groupes additifs de Z a) Déterminer tous les sous-groupes additifs de Z. b) Soit n un entier, montrer que pour tout d divisant n, (Z/nZ,+) possède un unique sous- groupe d'ordre d. Montrer que ce sous-goupe est isomorphe à Z/dZ. Exercice 2 a) Montrer que les sous-groupes non nuls de (Q,+) de type fini sont isomorphes à Z. b) Donner un exemple de sous-groupe propre de (Q,+) qui n'est pas de type fini. Exercice 3 a) Montrer que les sous-groupes additifs non nuls de R sont soit isomorphes à Z soit denses. b) Donner un exemple de sous-groupe de R dense de type fini. c) Tous les sous-groupes de R sont-ils de type fini ? Exercice 4 Le théorème des restes chinois Montrer que l'application : Z/mnZ? Z/mZ? Z/nZ k modmn 7? (k modm, k mod n) est un isomorphisme si m,n sont premiers entre eux. En déduire que si m,n sont premiers entre eux, (Z/mnZ)? ' (Z/mZ)? ? (Z/nZ)?.

• matrices unipotentes supérieures


• supports disjoints


• ordre de c1c2


• groupe sl2


• morphisme surjec


• anneaux z

Sujets

• Bernoulli
• Université Claude Bernard Lyon 1

Informations

• Publié par: ondey
• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

Licence2i ` emeanne ´ e,parcoursPC

Exercice 1. a En passant aux coordonne´es polaires, on trouve : 3 23 3 2 x−xy r(cosθ−cosθsinθ) 3 2 limf(x, ylim =lim) =lim =r(cosθ−cosθsinθ) = 0, par la 2 22 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x+y r r→0r→0 3 2 r ` egledesgendarmespuisquer→0et(cosθ−cosθsinθ)e. ´ ernbost 2 2 x−2xy+y b.g(x, y) =. 2 4 2 x+y+y 2 y Regardons la limite degen(0,0) le long de la courbe d’e´quation x= 0 : Elle s’e´crit : limg(0, ylim =) = 4 2 y→0y→0 y+y 1 lim =1 2 y→0 y+ 1 0 Regardonslalimitesuivantlacourbed’ ´ equationx=y:limg(x, x0lim =) = 2 4 2x+x x→0x→0 Ces deux limites sont diffe´rentes, on conclut que gn’a pas de limite en(0,0). 2 2 x+y c.g(x, y) =. 2 3 x+y 2 y1 Regardons la limite degen(0,0)lelongdelacourbed ´ ’qeauitnox= 0s’lecr ´ e:it:lElimg(0, y) =lim =lim. 3 y→0y→0y→0 y y Cette limite n’existe pas (on a+∞en0 + et−∞en0 − ) doncgn’a pas de limite en(0,0).

Exercice 2. a.fest continue en(0,0)si seulement silimf(x, y) =f(0,0) (x,y)→(0,0) 3 32 23 32 23 32 23 (x+ 2y)x+ 6x y+ 12xy+y x+ 6x y12xy+y x+ 6x y12xy+y =≤+≤+  2 2   2 2   2 2   2 2   2   2  2x+y2x+y2x+y2x+y2x y 2 22 22 2 Puisque on a2x+y≥2xet2x+y≥y . Par conse´quent : x+ 6y 0≤ |f(x, y)| ≤+|12x+y|   2 . Finalement, en utilisant la re`gle des gendarmes on conclut que limf(x, y) = 0 =f(0,0)quedirest ` ac’efest (x,y)→(0,0) continue en(0,0). b.f(x, y) =ysin(x/y)siy6= 0,f(x,0) = 0.

Exercice 3. n 1 Soitf(x, y) =xln( 2 2 )etf(0,0) = 0, o`unest un entier strictement positif. x+y 2 1)Etudierlacontinuit ´ edefsurR. 1 22 12 f est continue (meˆme CetC) surR\ {(0,0)}mocrpem(esnutionsclenoususleedofcnitompos ´ eeoduitetcC,C) surleursdomainesded ´ efinitionrespectifs.  Proble`me en (0,0).Montrer quefest continue en(0,0) ` amontrerquerveeitn limf(x, y) =f(0,0) = 0. (x,y)→(0,0) En coordonne´es polaires :  x=rcosθ y=rsinθ 1 n nn n2 On obtientf(x, y) =rcosθln =−rcosθln(r). 2 r n2n Commen≥1, la limite lorsquer→0de−rlnr=−2rlnrvaut0(on utilise la”limite classique”limxlnx= 0). 0+ n D’autre partcosθrapcnoD.elge ` raldaensgdeesrmern ´ estbolimf(x, y) = 0d ` esquen≥1. (x,y)→(0,0) 1’) Pour quelles valeurs den,fneselleitrpaes ´ eaiveertdd ´ mlesleed(0,0)? 1