LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES

Gerard Besson

Description

Niveau: Supérieur
MEMOIRE presente pour obtenir LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES DE l'UNIVERSITE PARIS-EST par Benoıt Daniel SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE DANS LES VARIETES HOMOGENES Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compose de Gerard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier Frederic Helein Professeur, Universite Paris Diderot Remi Langevin Professeur, Universite de Bourgogne Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro Etienne Sandier Professeur, Universite Paris-Est Creteil Rapporteurs Gerard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University Antonio Ros Professeur, Universidad de Granada

• merci aux membres cristoliens du laboratoire d'analyse et de mathematiques ap- pliquees


• courbure moyenne constante dans les varietes homogenes


• personnels administratifs de l'ufr de sciences economiques et de gestion de creteil


• varietes


• theoreme d'immersions isometriques

Sujets

• Werner Heisenberg
• Besson
• Rosenberg
• École polytechnique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 novembre 2010
• Nombre de lectures: 52

Extrait

´MEMOIRE
pr´esent´e pour obtenir
ˆ `LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER
´DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES
´DE l’UNIVERSITE PARIS-EST
par
Benoˆıt Daniel
`SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE
´ ´ `DANS LES VARIETES HOMOGENES
Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compos´e de
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
´Fr´ed´eric Helein Professeur, Universit´e Paris Diderot
R´emi Langevin Professeur, Universit´e de Bourgogne
Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique
Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro
Etienne Sandier Professeur, Universit´e Paris-Est Cr´eteil
Rapporteurs
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University
Antonio Ros Professeur, Universidad de GranadaRemerciements
J’aimerais tout d’abord exprimer toute ma reconnaissance a` Harold Rosenberg :
c’est lui qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie riemannienne et j’ai beaucoup appris grˆace a` lui.
Sa fac¸on d’aborder les probl`emes est pour moi une grande source d’inspiration. Je le
remercie ´egalement pour ses encouragements constants.
Je suis tr`es honor´e que G´erard Besson, William Minicozzi et Antonio Ros aient
accept´e d’´ecrire les rapports de cette habilitation et je les remercie pour le temps et
l’attention qu’ils ont consacr´es `a cette taˆche. Merci ´egalement `a Frank Pacard pour
´ses conseils, `a Fr´ed´eric H´elein, R´emi Langevin, Etienne Sandier et a` nouveau a` G´erard
Besson, Frank Pacard et Harold Rosenberg d’avoir accept´e d’ˆetre membres du jury.
Mes remerciements vont aussi `a mes autres collaborateurs, Laurent Hauswirth,
William Meeks et Pablo Mira, ainsi qu’`a tous ceux, trop nombreux pour ˆetre cit´es,
avec qui j’ai eu le plaisir de discuter de math´ematiques ou d’autres choses.
Merci aux membres cristoliens du Laboratoire d’analyse et de math´ematiques ap-
pliqu´ees(LAMA)pourl’ambianceaussiamicalequepropice`alarecherchequir`egneau
laboratoireet`aClaudiaLouisonpoursonaidepourlestaˆchesadministratives.Jesalue
aussi les enseignants et personnels administratifs de l’UFR de sciences ´economiques et
de gestion de Cr´eteil ou` j’ai plaisir a` enseigner depuis cinq ans, ainsi que mes amis
et coll`egues que j’ai connus au cours de mon post-doctorat a` l’Instituto nacional de
matem´atica pura e aplicada (IMPA) en 2004-2005.
Je voudrais enfin remercier mes amis pour tous les moments de d´etente extra-
math´ematique et exprimer toute mon affection `a ma famille.
12Table des mati`eres
Introduction 5
1 Les vari´et´es riemanniennes homog`enes de dimension 3 11
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
31.2 Les vari´et´esE (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
21.2.1 Les vari´et´es produitsS (κ)×R : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . 12
21.2.2 Les vari´et´es produitsH (κ)×R : κ<0 et τ =0 . . . . . . . . . 13
1.2.3 Les sph`eres de Berger : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Le groupe de Heisenberg Nil : κ =0 et τ =0 . . . . . . . . . . . 143
1.2.5 Le revˆetement universel du groupe de Lie PSL (R) : κ < 0 et2
τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Mod`ele commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ladiff´erentielle d’Abresch-Rosenbergetl’unicit´e dessph`eresCMCdans
3E (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Le groupe de Lie Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
32 Immersions isom´etriques dans les vari´et´esE (κ,τ) et applications aux
surfaces CMC 23
2.1 Un th´eor`eme d’immersions isom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Surfaces sœurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 22.2.2 Surfaces minimales dans Nil et surfaces CMC dansH ×R . . 293 2
2.2.3 Surfaces jumelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 22.2.4 La famille associ´ee a` une surface minimale dansS ×R ouH ×R 30
2.3 G´en´eralisations et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Surfaces minimales dans le groupe de Heisenberg 35
3.1 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
6663.2 Construction d’anneaux minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Th´eor`emes du demi-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Propri´et´es et classification des graphes minimaux complets. . . . . . . . 42
3.5 Construction de graphes minimaux dont l’image gaussienne est prescrite 44
4 Sph`eres a` courbure moyenne constante dans Sol 453
´4.1 Enonc´e des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 R´eflexion d’Alexandrov et probl`eme isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . 46
4.3 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Unicit´e des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Existence et propri´et´es des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Conclusion et r´esultats ult´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Liste des travaux pr´esent´es 55
4Introduction
L’objet de ce m´emoire est d’´etudier certaines propri´et´es des surfaces minimales ou
a` courbure moyenne constante (CMC) dans les vari´et´es riemanniennes homog`enes de
dimension 3.
Les surfaces minimales et `a courbure moyenne constante constituent un sujet
d’´etude classique en g´eom´etrie diff´erentielle faisant appel `a des techniques provenant
de disciplines tr`es diff´erentes, comme l’analyse complexe, le calcul des variations, la
th´eorie des ´equations diff´erentielles elliptiques, la th´eorie g´eom´etrique de la mesure, la
topologie, les syst`emes int´egrables, la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, etc.
Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales
(c’est-`a-dire`acourburemoyennenulle)sontlespointscritiquesdel’airepourtoutesles
transformationsfixantleurbord,et plusg´en´eralement les surfacesa`courburemoyenne
constante sont les points critiques de l’aire pour les transformations fixant leur bord
et pr´eservant le volume renferm´e par la surface et une surface fixe donn´ee. Lorsqu’on
consid`ere une surface compl`ete sans bord, on demande que les petits domaines de
cette surface v´erifient ces propri´et´es. Les solutions du probl`eme isop´erim´etrique sont
´egalement des surfaces CMC.
3La th´eorie des surfaces minimales deR a d´ebut´e au dix-huiti`eme si`ecle avec les
travaux d’Euler, de Lagrange et de Meusnier. Euler a d´ecouvert le cat´eno¨ıde (surface
minimale de r´evolution) en cherchant la surface d’aire minimale s’appuyant sur deux
cercles parall`eles. Lagrange a ´etabli l’´equation que doit v´erifier une fonction f pour
que la surface d’´equation x = f(x ,x ) minimise l’aire. Meusnier a montr´e que les3 1 2
surfaces minimisant l’aire sont a` courbure moyenne nulle et a d´ecouvert l’h´elico¨ıde
(surface minimale r´egl´ee).
Au dix-neuvi`eme si`ecle, le physicien Plateau a montr´e exp´erimentalement l’exis-
tence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s’appuyant sur un
contour. Par la suite, des math´ematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et
Schwarz se sont int´eress´es aux surfaces minimales. De nouveaux exemples ont ´et´e
d´ecouverts, et Weierstrass a obtenu une description des surfaces minimales en termes
de donn´ees m´eromorphes : c’est la (repr´esentation de Weierstrass ).
Dans la premi`ere moiti´e du vingti`eme si`ecle, les math´ematiciens se sont int´eress´es
au probl`eme de Plateau, c’est-`a-dire trouver une surface d’aire minimale d´elimit´ee par
une courbe ferm´ee donn´ee. L’existence d’une solution a ´et´e d´emontr´ee par les travaux
de Rad´o, Douglas et Courant notamment. Les probl`emes de r´egularit´e ont ensuite ´et´e
´etudi´es entre autres par Osserman, Gulliver et Hildebrandt.
5Plus r´ecemment, les recherches se sont focalis´ees sur les surfaces minimales sans
bordproprementplong´ees:constructiond’exemples(surfacesdeCosta-Hoffman-Meeks
[21, 37], h´elico¨ıdes de genre 1 [39, 35, 81], surfaces de Riemann de genre sup´erieur
[32], etc.), probl`emes de classification et d’unicit´e. Collin [18] a montr´e (utilisant aussi
d’autres r´esultats ant´erieurs, notamment [74, 36, 57, 51]) que le cat´eno¨ıde est l’unique
anneau minimal proprement plong´e, Meeks et Rosenberg [58] ont montr´e (utilisant