LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

Françoise Geandier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE DEUXIÈME ANNÉE Unité d'enseignement LMI 3.02 ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE 2 Françoise GEANDIER Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

• systèmes d'équations différentielles linéaires


• polynômes d'endomorphismes


• espaces vectoriels de polynômes


• normes sur kn


• base orthogonale

Sujets

• Poincaré

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Extrait

LICENCE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE DEUXIÈME ANNÉE

Unité d’enseignement LMI 3.02

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

Françoise GEANDIER

Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

2

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Table des matières

I Rappels d’algèbre linéaire∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires - Matrices. 3. Déterminants. 4. Espaces vectoriels de polynômes.

II Réduction des endomorphismes∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Sous-espaces propres. 2. Diagonalisation. 3. Polynômes d’endomorphismes. 4. Trigonalisation.

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III Exponentielles de matrices - Systèmes d’équations différentielles linéaires ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙27

1. Normes surK n etM n (K). 2. Exponentielles de matrices. 3. Systèmes d’équations différentielles linéaires. 4. Equations différentielles linéaires homogènes d’ordrenà coefficients constants.

IV Espaces euclidiens∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques. 2. Espaces euclidiens. 3. Orthogonalité. 4. Bases orthogonales et orthonormées. 5. Projection orthogonale - Symétrie orthogonale. 6. Problèmes de moindres carrés.

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V Espaces hermitiens∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Formes sesquilinéaires hermitiennes - Formes quadratiques. 2. Espaces hermitiens. 3. Orthogonalité. 4. Bases orthogonales et orthonormées.

VI Réduction des matrices normales∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

1. Matrice adjointe. 2. Matrices normales. 3. Cas des matrices réelles.

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I RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Espaces vectoriels 1.1R n etC n On considèreRle corps des nombres réels etCle corps des nombres complexes. On appellevecteuràncomposantes réelles tout n-upletx= (x 1 ,x 2 ,...,x n )oùx 1 ,x 2 ,...,x n sont des réels et on noteR n l’ensemble de ces vecteurs. Le plus souvent, on utilisera la notation dite vecteur colonne suivante : x 1  x 2  x=  .   x n  De la même façon, on définitC n l’ensemble des vecteurs àncomposantes complexes. Dans la suite,Kdésignera l’un des corpsRouCetK n l’ensemble des vecteurs àncomposantes dansK. On notera0le vecteur nul deK n , i.e le vecteur dont toutes les composantes sont nulles. On définit deux opérations surK n  x 1   ∗l’addition : six=   x 2 ety=   y y y . n 1 2    , on définitz=x+yparz=    x x x n 1 2 + . + + y y y n 1 2    ; x . n    xλ λx 1 2  ∗la multiplication par un scalaireλ, i.e un élément deK,λx=    .  λ . x n On remarque que pour tout vecteurxdeE, on peut écrire x 1   x 2  1 0   0 1   0 0  =x x=   x . n   1   . 0   +x 2   . 0   +∙ ∙ ∙+x n   1 .   . On a ainsi exhibénvecteurs particuliers deE: 1  0   1 0   0 0  e 1 =  e=.  . 0   , e 2 =   0 .   ,...., n   . 1   et ainsixs’écrit sous la formex=x 1 e 1 +x 2 e 2 +∙ ∙ ∙+x n e n . 1

On peut généraliser ces propriétés deK n en définissant la notion d’espace vectoriel sur K: 1.2 Espaces vectoriels SoitE ;un ensemble non vide muni d’une addition et d’une multiplication par les scalaires on dit queEest unespace vectorielsurK :s’il vérifie les conditions suivantes Six,yetzsont des éléments deEet siλetµsont des scalaires a) l’addition est commutative :x+y=y+x; b) l’addition est associative :(x+y) +z=x+ (y+z); c) il existe un élément0 E deEtel quex+ 0 E =xpour toutx∈E; d) tout élémentxdeEpossède un opposé−xdansE:x+ (−x) =x−x= 0 E ; e)λ(x+y) =λx+λy; f)(λ+µ)x=λx+µxetλ(µx) = (λµ)x; g)1x=x Les éléments d’un espace vectorielEsont appelésvecteurs. Exemples K n est évidemment un espace vectoriel surK. Le singleton{0}est un espace vectoriel surK. L’ensemble des applications d’un ensembleAà valeurs dansRest un espace vectoriel sur R: Sifetgsont deux applications deAdansRet siλ∈R, on définitf+getλfpar ∀x∈A,(f+g)(x) =f(x) +g(x)et(λf)(x) =λf(x). SoitEun espace vectoriel surKet soitFun sous-ensemble non vide deE; on dit que Fest unsous-espace vectorieldeEs’il vérifie les propriétés suivantes : ∗sixety∈F, alorsx+y∈F; ∗six∈Fetλ∈Kalorsλx∈F. Ces deux conditions sont équivalentes à l’unique condition suivante : ∗six,y∈Fet siλ,µ∈K, alorsλx+µy∈F. Considéronspvecteursu 1 ,u 2 ,...,u p deEet notonsV ect(u 1 ,u 2 ,...,u p )l’ensemble des com- binaisons linéaires deu 1 ,u 2 ,...,u p , i.e V ect(u 1 ,u 2 ,...,u p ) ={λ 1 u 1 +λ 2 u 2 +∙ ∙ ∙+λ p u p / λ 1 ,λ 2 ,...,λ p ∈K}. AlorsV ect(u 1 ,u 2 ,...,u p )est un sous-espace vectoriel deE. SoitFun sous-espace vectoriel deEet soientpvecteursu 1 ,u 2 ,...,u p deE; on dit que u 1 ,u 2 ,...,u p engendrentFou forment unsystème générateurdeFsiF=V ect(u 1 ,u 2 ,...,u p ).

On dit quepvecteursu 1 ,u 2 ,...,u p deEsontlinéairement indépendantsou forment un système libresi pour tousλ 1 ,λ 2 ,...,λ p ∈K :, on a λ 1 u 1 +λ 2 u 2 +∙ ∙ ∙+λ p u p = 0 =⇒λ 1 =λ 2 =...=λ p = 0. 2

On appellebasedeEtoute famille de vecteurs linéairement indépendants qui engendrent Eque tout espace vectoriel non réduit à. On montre {0} ;possède au moins une base si Epossède une base comprenant un nombre fininde vecteurs, alors toute base deE comprend égalementn cet entiervecteurs :nest appelé dimension deEet notédimE, et on dit queEest de dimension finie. SiEest de dimension finie, alors tout sous-espace vectorielFdeEest lui aussi de dimension finie etdimF≤dimE. En particulier, l’espace vectorielK n est de dimensionn: la famille(e 1 ,e 2 ,...,e n )définie ci- dessus est une base deEappelée base canonique. Par convention, on dit que la dimension de l’espace vectoriel{0}est nulle. On appellerangd’un système(u 1 ,u 2 ,...,u p )de vecteurs deEla dimension du sous-espace vectorielV ect(u 1 ,u 2 ,...,u p ): ce rang est≤p. Si(u 1 ,u 2 ,...,u n )est une base deE, alors tout vecteurxde s’écrit de manière unique sous la forme x=x 1 u 1 +x 2 u 2 +∙ ∙ ∙+x n u n Les élémentsx 1 ,x 2 ,...,x n deKsont appeléscoordonnéesdexdans la base(u 1 ,u 2 ,...,u n ).

En outre, siEest de dimensionn, toute famille libre(u 1 ,u 2 ,...,u p )depvecteurs deEavec p < npeut être complétée en une base deE, i.e il existen−pvecteurs(u p+1 ,u p+2 ,...,u n ) deEtels que(u 1 ,u 2 ,...,u n )est une base deE. SoitEde dimensionnet soientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE; siF⊂Get si dimF= dimG, alors on aF=G. 1.3 Somme de sous-espaces vectoriels SoitEun espace vectoriel surKde dimension finie et soientFetGdeux sous-espaces vectoriels deE; on appellesommedeFetGet on noteF+Gl’ensemble défini par F+G={x+y / x∈F, y∈G}. on vérifie facilement queF+Gest un sous-espace vectoriel deE; si(u 1 ,u 2 ,...,u p )est un système générateur deFet(v 1 ,v 2 ,...,v k )un système générateur deG, alors la réunion des deux systèmes(u 1 ,u 2 ,...,u p ,v 1 ,v 2 ,...,v k )est un système générateur deF+G. On dit queFetGsont ensomme directesiF∩G={0}; on note alors F+G=F⊕G. SiFetGsont en somme directe, alors si(u 1 ,u 2 ,...,u p )est une base deFet(v 1 ,v 2 ,...,v k ) est une base deG,(u 1 ,u 2 ,...,u p ,v 1 ,v 2 ,...,v k )est une base deF⊕G; on en déduit que dim(F⊕G) = dimF+ dimG. On a deux autres définitions équivalentes pour la somme directe de deux sous-espaces vectoriels : ∗FetGsont en somme directe si et seulement si pour toutz∈F+G, il existe un uniquecouple de vecteurs(x,y)oùx∈Fety∈Gtel quez=x+y. Autrement dit la conditionF∩G={0}est équivalente à l’unicité d’écriture. ∗FetGsont en somme directe si et seulement sidim(F+G) = dimF+ dimG.

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