LICENCE MATHMATIQUES PURES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSIT LYON I LICENCE (MATHMATIQUES PURES) VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES - 2003 -

• principe du maximum


• logarithme complexe


• principe du prolongement analytique


• ∂q ∂y


• thorme de rouch


• conditions de cauchy


• quations de cauchy-riemann


• dveloppement en srie entire

Sujets

• Principe du maximum
• Logarithme complexe

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Extrait

UNIVERSIT LYON I

LICENCE (MATHMATIQUES PURES)

VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES

et

- 2003 -

ANNALES

2

Tabledesmatie`res

1Holomorphie:proprie´te´se´l´ementaires 1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Conside´rationsge´ome´triques.....................

2S´eriesenti`eres 2.1 Disque de convergence et comportement au bord. . . . . . . . . . 2.2 Dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . .

3 Homographie et fonctions classiques 3.1 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Les fonctions puissances non enti` s . . . . . . . . . . . . . . . . ere

4Inte´gralescurvilignes 4.1 Calculs explicites et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Les lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Primitives de fonctions holomorphes et indices 5.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5 5 9

13 13 14 15

17 17 18 19 21

23 23 24 24

25 25 26

4

6

7

8

9

` TABLE DES MATIERES

The´ore`medeGoursatetformulesdeCauchy29 6.1 Thorme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.3 Analyticit des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ze´rosdesfonctionsholomorphes,prolongementanalytiqueet principe du maximum 35 7.1Z´erosd’unefonctionholomorphe..................35 7.2 Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Points singuliers et fonction ´ rphes 43 s meromo 8.1Naturedessingularit´es........................43 8.2Fonctionsm´eromorphes........................44 8.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Th´eore`medesre´sidus47 9.1 Le thorme des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9.2 Le thorme de Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Holomorphie:proprie´te´s e´le´mentaires

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy

Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U→C. On noteP=<e(f)et Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz 0 ∈U,fest diffrentiable enz 0 etDf z 0 estC-linaire. (iii) Pour toutz 0 =x 0 +iy 0 ∈U,fest diffrentiable enz 0 et ∂f ∂y (z 0 ) = i ∂ ∂ f x (z 0 )infie´drap(,onti x f ∂ ∂ (z 0 ) = ∂P x∂ (x 0 , y 0 ) +i ∂ Q x ∂ (x 0 , y 0 )et ∂f ∂y (z 0 ) = ∂ ∂y P (x 0 , y 0 ) +i y∂ ∂Q (x 0 , y 0 )). (iv) Pour toutz 0 =x 0 +iy 0 ∈U,fest diffrentiable enz 0 etfvrifie les quations de Cauchy-Riemann, c’est dire que ∂ ∂ P x (x 0 , y 0 ) = ∂ Q y ∂ (x 0 , y 0 ) et ∂P ∂y (x 0 , y 0 ) =− ∂Q ∂x (x 0 , y 0 ). b)Montrer que sifest holomorphe enz 0 =x 0 +iy 0 ∈Ualors pour tout u∈C, on aDf z 0 (u) =f 0 (z 0 )u. En dduire que : f 0 (z 0 ) = x P ∂ ∂ (x 0 , y 0 ) + Q∂ i x∂ (x 0 , y 0 )etJ acf z 0 =|f 0 (z 0 )| 2 .

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