Lycée Brizeux Année PCSI B - Devoir de mécanique

Elodie Gégo

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Année 2009-2010 PCSI B Devoir libre no 7 Mécanique Travail à rendre le lundi 25 janvier. Problème A A.1. Réalisation d'un sismographe Un interféromètre de Michelson est constitué entre autres de deux miroirs quasiment perpendiculaires notés M1 et M2. Le miroir (M1) de masse m est fixé à un ressort qui le supporte. Le ressort, de raideur k et de masse négligeable, est assujetti à se déplacer verticalement grâce à un système de guidage. L'ensemble repose sur le sol qui constitue un référentiel galiléen. Le miroir (M1) peut donc osciller verticalement le long de l'axe Ox. On suppose que ses oscillations sont amorties par une force de frottement fluide ?? F v = ?f ??v où ??v est la vitesse instantanée de (M1) et f un coefficient de frottement positif. À l'équilibre la surface réfléchissante de (M1) est dans un plan horizontal contenant O1 (voir la figure 1). On repère la position du miroir par son élongation x par rapport à la position d'équilibre. Par définition on a donc x = 0 à l'équilibre. Figure 1 – 1. On suppose que le miroir (M1) est abaissé d'une petite hauteur x0 puis lâché sans vitesse initiale. Donner sans démonstration l'équation différentielle régissant le mou- vement de (M1) au cours du temps.

• expression de ∆?


• coefficient de frottement positif


• forces supplémentaires de frottements fluides de résultante


• mouvement


• influence de ? sur la bande passante


• pulsation ?


• masses volumique

Sujets

• Mouvement

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI B

o Devoir libre n7 MÉcanique

Travail À rendre le lundi25janvier.

AnnÉe 2009-2010

ProblÈme A A.1. RÉalisationd’un sismographe Un interfromtre de Michelson est constitu entre autres de deux miroirs quasiment perpendiculaires notsM 1 etM 2 . Le miroir(M 1 )de massemest fix A un ressort qui le supporte. Le ressort, de raideurk et de masse ngligeable, est assujetti A se dplacer verticalement grĀce A un systme de guidage. L’ensemble repose sur le sol qui constitue un rfrentiel galilen. Le miroir(M 1 ) peut donc osciller verticalement le long de l’axeOx. On suppose que ses oscillations sont −→ −→−→ amorties par une force de frottement fluideF v =−f voÙvest la vitesse instantane de(M 1 )etfun coefficient de frottement positif. á l’quilibre la surface rflchissante de (M 1 )est dans un plan horizontal contenantO 1 (voir la figure 1). On repre la position du miroir par son longationxpar rapport A la position d’quilibre. Par dfinition on a donc x= 0A l’quilibre.

Figure1 –

1.On suppose que le miroir(M 1 )est abaiss d’une petite hauteurx 0 puis lĀch sans vitesse initiale. Donner sans dmonstration l’quation diffrentielle rgissant le mou- vement de(M 1 )au cours du temps. La figure 2 donne le graphex(t)du mouvement de(M 1 ). 1

Figure2 –

2.En s’appuyant sur ce graphe, rsoudre l’quation diffrentielle du1.. On pourra poser, f 2 k pour simplifier les critures :λ=etω=. 0 2m m 3.Calculer, A partir du graphe de la figure 2, les valeurs approches deλetω 0 . En dduire une estimation numrique defet deken prenantm= 100g. 4.Le sol, sur lequel repose le systme ci-dessus, est maintenant anim d’un mouvement de translation sinusodal suivant l’axexayant pour expressions(t) =s 0 cos(ωt)par rapport A un rfrentiel galilen. On se place toujours dans le rfrentiel li au sol, que devient l’quation diffrentielle du mouvement vrifie par l’longationx(t)du miroir(M 1 )? 5.On peut alors exprimer l’longation de(M 1 )en rgime permanent parx(t) =x 0 cos(ω 1 t+ x Φ). En utilisant la notation complexe, donner l’expression de la transmittanceY= s du systme en fonction deω 1 , ω 0 etλ. 6.On noteYle module deY. Quelle est la limite deYquandω 1 →+∞? Quelle est la plage de valeurs deλpour lesquelles passeYpar un maximum quandω 1 varie ? 2 ω 0 Pour allger les critures on pourra poser :z= 2 . Reprsenter l’allure du graphe de ω 1 Yen fonction deω 1 , on distinguera deux situations possibles suivant la valeur deλ. ω 0 √ 7.Pourλ≥, calculer la pulsation de coupureω c A−3dBde la fonctionY. On 2 2 ω 0 poseraz c = 2 . ω c 8.Le but est de raliser un sismographe, pour cela il faut que le mouvement de(M 1 ) suive le plus fidlement possible le mouvement du sol en vitant tout phnomne de rsonance. La pulsationω 0 tant fixe, quelle valeur faut-il choisir pourλpour que la bande passante du sismographe soit la plus large possible? Que vaut alors la 2 λ pulsation de coupure? On admettra que la fonctionz c (u), avecu= 2 , est monotone ω 0 dcroissante.

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A.2. Filtragedu signal Le mouvement du sol est priodique de pulsationω 1 mais pas ncessairement sinusodal et on dsire analyser les diffrentes composantes harmoniques du signal. Pour cela on traite le signalV E qui est l’image de l’longation du miroir(M 1 )A l’aide du montage lectronique de la figure 3. L’amplificateur oprationnel est suppos parfait et fonctionnant en rgime linaire.

Figure3 –

V S 1.Donner l’expression de la fonction de transfert complexeH(jω) =reliant la V E tension de sortieV S A la tension d’entreV E de ce montage. A 2.Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :H(jω) = ωΩ oÙ j est tel que 1+jQ− ( Ωω ) 2 j=−1. Donner les expressions deA, QetΩen fonction deR, Cetα. 3.Quel est le type de filtre ralis? Pour justifier la rponse, on tracera le diagramme ω de Bode du gain en dcibel en fonction de la frquence rduitex=en prcisant Ω les pentes des asymptotes et leur point d’intersection ainsi que la position du maxi- mum. On fera toutes les applications numriques avec la valeurQ= 20. Donner sans dmonstration l’expression deΔω, bande passante A−3dBde ce filtre, en fonction des paramtres du montage. Comment varieQavecα? Quelle est l’influence deαsur la bande passanteΔω? 4.On dsire isoler l’harmoniqueNdu signal d’entre de pulsationω 1 . Montrer que cela est possible si : 4.a.le produitRCvrifie une condition par rapport Aω 1 , 4.b.la pulsationΩest rgle parαA une valeur approprie. 5.Pour vrifier le bon fonctionnement du filtre de la figure 3 on applique en entre une tension en crneau symtrique de frquencef= 40Hz. On a choisiαde sorte que Q= 20et on obtient le signal de sortie reprsent sur la figure 4. Sachant que l’on a choisiC= 3,4µF, quelle valeur deR?a-t-on prise pour obtenir cet enregistrement Commenter le rÔle du filtre.

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Figure4 –

ProblÈme BDensimÈtre À tube vibrant La mesure de la masse volumique de fluides est ncessaire dans de nombreux domaines industriels (industries agro-alimentaires, ptrolires ...). Ce problme tudie le principe d’un dispositif de mesures continues et permanentes de masses volumiques. Soit un corps creux de volume intrieurV 0 et de masseM 0 , rempli d’un fluide homogne de masse volumiqueρ(l’ensemble constitue le systmeS) inconnue et A dterminer.Sest suspendu A l’extrmit d’un ressort de coefficient de raideurK. Le ressort est suspendu A une paroi fixe du rfrentiel du laboratoire, suppos galilen. Le dispositif est reprsent figure 5. Le champ de pesanteur est uniforme. On notez(t)la position A l’instanttdu barycentreGdeSpar rapport A sa position d’quilibre. 1.át= 0, le ressort est cart de sa position d’quilibre, sans vitesse initiale, de z(0) =Z 0 . 1.a.Dterminer l’quation diffrentielle du mouvement deS. On introduira la pul- sation propreω 0 deS. 1.b.En dduire l’expression dez(t). 1.c.Montrer que la masse volumique peut se mettre sous la forme 1 2 ρ= (T−B) (1) 0 A oÙT 0 est la priode d’oscillation deS. On exprimera les constantesAetBen fonction deV 0 , KetM 0 . 1.d.Donner les units deAetB. 2.En ralit, le dispositif est soumis A des forces supplmentaires de frottements fluides −→ −→ de rsultantef f =−hv G . 2.a.Ètablir la nouvelle quation diffrentielle vrifie parz(t)en l’crivant sous forme canonique : on exprimera pour cela les coefficients de l’quation diffrentielle en 4

Figure5 –

fonction des seuls paramtresω 0 etQ, oÙω 0 est la pulsation propre du systme ω 0 h etQle facteur de qualit vrifiant=, oÙMest la masse totale du systme Q M S. 2.b.Dans l’application envisage, la solution peut se mettre sous la forme (−αt) z(t) =βe cos(ω p t+ϕ). 2.b.a. Quelleest la nature du mouvement deS? á quelle condition surQcette solution est-elle envisageable? 2.b.les expressions analytiques deb. Ètablirαetω p en fonction deω 0 etQpuis en fonction deh, K, M 0 , V 0 etρ. 2.b.c. Expliciterϕetβen fonction deω 0 , ω p , QetZ 0 . ω p −ω 0 −3 2.b.souhaite approximerd. Onω p parω 0 , avec une erreur relative  ≤10. ω 0 Ètablir l’ingalit numrique que doit satisfaireQ(relation (2)). 2.c.On enregistre (cf. figure 6) l’volution temporelle suivante pourz(t)(en cm) :

Figure6 –

2.c.de l’enregistrement les valeurs numriques dea. DduireZ 0 , ω p etα. 2.c.b. CalculerQ. Conclusion?

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