Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Systèmes linéaires 1 Généralités Soient n et p deux entiers non nuls. On appelle système linéaire à n équations et p inconnues x1,...,xp ? K un système de la forme : (S) ? ??????? ??????? a1,1x1 + . . . + a1,pxp = b1 ... ... ... ai,1xi + . . . + ai,pxp = bi ... ... ... an,1x1 + . . . + an,pxp = bn Vocabulaire. • Le vecteur B = ? ? ? b1 ... bn ? ? ? ? Kn est le second membre de (S). • On appelle système linéaire homogène associé à (S) le système (S0) obtenu en remplaca¸nt le second membre B par le vecteur nul ? ? ? 0 ... 0 ? ? ?. • On note S l'ensemble des solutions X = ? ? ? x1 ... xp ? ? ? ? Kp de (S) et S0 l'ensemble des solutions du système (S0). • On définit A = ? ? ? a1,1 · · · a1,p ... ... an,1 · · · an,p ? ? ? ?Mn,p(K) la matrice associée au système linéaire (S).

• matrice associée


• succession d'opérations élémentaires sur les lignes du système


• unique solution


• méthode de résolution pratique

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

Lycée Brizeux

1 Généralités

Mathématiques

Systèmeslinéaires

PCSI A2010-2011

Soientnetpdeux entiers non nuls. On appellesystème linéaire ànéquations etpinconnuesx 1 ,...,x p ∈Kun système de la forme :  a 1,1 x 1 +. . .+a 1,p x p =b 1   . .. (S) a i,1 x i +. . .+a i,p x p =b i . ..   a n,1 x 1 +. . .+a n,p x p =b n Vocabulaire.   b 1   n •Le vecteurB=   ∈Kest le second membre de(S). . b n •On appellesystème linéaire homogèneassocié à(S)le système(S 0 )lentcoseplem¸aacnetbrneuodnembmer   0   Bpar le vecteur nul   . . 0   x 1   p •On noteSl’ensemble des solutionsX=   ∈Kde(S)etS 0 l’ensemble des solutions du système(S 0 ). . x p   a 1,1 ∙ ∙ ∙a 1,p   •On définitA=   ∈ M n,p (K)la matrice associée au système linéaire(S). . . a n,1 ∙ ∙ ∙a n,p Interprétation matricielle.   x 1   X=   ∈Ssi et seulement siAX=B. . x p p n L’applicationK→K, X7→AXest une application linéaire (c’est l’application linéaire canoniquement associée à p A). L’ensembleSdes solutions deAX=Best donc vide ou est unsous-espace affinedeK.

Ensemble des solutions. L’ensembleSdes solutions de(S)est : •soit vide; •soit de la forme

X 1 +S 0 | {z }| {z } solution particulière de (S) solutions de l’équation homogène (S 0 )

Nous pouvons donc écrire également :

S=∅ouS=X 1 + kerA

Démonstration.Déjà vue dans le chapitre 12, partie consacrée aux sous-espaces affines.

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