Lycée Brizeux Samedi octobre PCSI A

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 10 octobre 2009 PCSI A Correction du devoir surveillé no 2 Problème I Étude d'un circuit RLC série 1. Pour t > 0 la loi des mailles donne E = Ri+Ldidt + uC avec i = C duC dt , on en déduit l'équation différentielle : du2C dt2 + 2? duC dt + ?20uC = ? 2 0E On reconnaît une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre. 2. D'après la continuité de la tension aux bornes d'un condensateur uC(0+) = uC(0?). À t = 0? le circuit est depuis t = ?∞ sous la tension U(t) = 0 V ; il a donc atteint son régime permanent. Le condensateur se comporte alors comme un interrupteur ouvert, i(0?) = 0, et la bobine comme un interrupteur fermé. Le courant étant nul dans la résistance, la tension aux bornes du condensateur est donc nulle et uC(0?) = 0, soit uC(0+) = 0 . D'après la continuité du courant dans une bobine i(0+) = i(0?) = 0. Sachant que i = C ducdt , on a duC dt (0 +) = 0 . 3. La solution de cette équation différentielle est la somme de la solution générale sans second membre et d'une solution particulière.

• point d'intersection de l'axe optique avec la droite passant par b?


• rrcc ?


• lentille


• rayon


• axe optique


• rayon parallèle au rayon incident


• lentille l2

Sujets

• Thalès
• Lentille

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 octobre 2009
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A & B

Samedi 5 novembre 2011

o Correction du devoir surveill n2

ProblÈme IEtude d’un dfibrillateur A Charged’une batterie de condensateurs − q(0 ) − − A.1La batterie Étant initialement dÉchargÉ, on au0(0 )= =eti= 0(0 )car le C + circuit est initialement ouvert. At= 0la tension aux bornes du condensateur est continue soit + + E u= 0(0 )eti=(0 )d’aprÈs la loi des mailles. Lorsquet→ ∞, un rÉgime permanent est R du atteint eti(∞) =C= 0, et d’aprÈs la loi des maillesu(∞) =E. dt dq qdq q E A.2D’aprÈs la loi des mailles,E=Ri+ueti=etu=soit+ =. dt Cdt RCR A.3La solution de cette Équation est la somme d’une solution particuliÈre (q=CE) et de la t − solution gÉnÉrale sans second membre (q=Aeavecτ=RCetAune constante d’intÉgration). τ t t − − Soitq(t) =CE+Ae. Sachant queq(0) = 0on aq(t) =CE(1−e) τ τ 2 1 q A.4L’Énergie emmagasinÉe dans le condensateur s’ÉcritE=. Lorsquet→ ∞cette Énergie 2C 1 2 vautCE 2 A.5Pour obtenir une charge rapide la constante de tempsRCdoit tre la plus petite possible.

B DÈchargede la batterie dans le dÈfibrillateur 0+0 0 B.1La tension aux bornes d’un condensateur est continue doncu(t= 0) =Eetu(t= 0 +0 u 0 0+ E 0 )= 0. D’aprÈs la loi des noeudsi+i+i r = 0,i r = =0etu=u+Risoiti(t) == 0− r R 0+ E eti(t) == 0. R 0 00 0 B.2D’aprÈs la loi des maillesu=Ri+ueti+i+i r = 0soitu=R(−i−i r ) +u. On dÉrive 0 00 du idu di di r −i−i r u cette relation pour remplacerpar :=R(− −) +. En remplaÇanti r =et dt Cdt dtdt Cr 0 0 0 du i=Con obtient : dt 20 00 0 d u1R Cdu u + (1+ + )+ =0 20 0 dt RCr Cdt RrCC 0 1 RC ω 0 √ On retrouve alors la forme demandÉe avecω 0 =etQ= 0 . 0 R C RrCC 1+ + r C B.3Pour obtenir une dÉcharge la plus rapide possible sans oscillation, on doit se placer dans le cas du rÉgime critique. Le polynÔme caractÉristique de l’Équation diffÉrentielle prÉcÉdente s’Écrit : 2 ω 0 2 r+r+ω= 0. Pour obtenir un rÉgime critique, le discriminant de ce polynÔme doit tre nul Q 0 2 11 1 soitΔ = 4ω( 2 −1) = 0soitQ=. On doit donc chois les composants pour vÉrifierQ=. 0 4Q 2 2 ω t 0 − 0 2Q B.4La solution du rÉgime critique est de la forme :u= (K 1 +K 2 t)eoÙK 1 etK 2 sont 0 0 i(0) 0 du les constantes d’intÉgration. Sachant queu(t= 0) = 0on en dÉduitK 1 = 0et(0) == dt C ω t 0 − E 0 0 Et 2Q =K 2 , soitu(t) =e RC RC B.5cf cours

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ProblÈme IIOptique gomtrique A GÈnÈralitÈs c A.1n=oÙcest la vitesse de la lumiÈre dans le vide etvla vitesse de la lumiÈre dans le v milieu. Pour le verre ordinairen= 1,5. A.2L’approximation de l’optique gÉomÉtrique est valable lorsque la taille caractÉristique des objets considÉrÉs est largement supÉrieur À la longueur d’onde du rayonnement. A.3Un systÈme optique qui prÉsente une symÉtrie de rÉvolution par rapport À un axe est un systÈme optique centrÉ. Cette axe s’appelle l’axe optique. A.4Dans les conditions de Gauss, les rayons lumineux sont peu ÉcartÉs et peu inclinÉs par rapport À l’axe optique. Lorsque les conditions de Gauss sont vÉrifiÉes, on peut considÉrer un stigmatisme et un aplanÉtisme approchÉ. 0 R A.5f=f=. 2 0 A.6On cherche l’imageA, on appelleIle point d’intersection entre le rayon provenant deA 0 avec un angleαpar rapport À l’axe et le miroir. Le rayon rÉflÉchi issu deIpasse parAet ce 0 rayon fait un angleαavec l’axe optique. On appelleβ, l’angle que fait (CI) avec l’axe optique. 0 0 D’aprÈs la premiÈre loi de Descartes on ai= (CIA) =−iaveci= (CIA). D’aprÈs les relations 0 0 d’angles dans les trianglesACIetCIAon aα+α= 2β. Soit H le projetÉ dIsur l’axe optique, HI HI 0 0 HI on atanβ≈β=,tanα≈α=ettanα≈α=. De plus, dans les conditions de 0 CH AH A H 1 1 2 Gauss,H≈S. On obtient alors d’aprÈs les relations sur les angles+ = 0 SA SASC A.7On trace le rayon qui passe parBet parF(milieu de SC) qui repart aprÈs rÉflexion parallÈle À l’axe optique et le rayon qui arrive parallÈle À l’axe optique et qui passe parF. A 0 F SF A 0 2 partir du thÉorÈme de Thales, on obtientγ= =, on obtient doncF A.F A=f. F AF S A.8Ces expressions restent valables pour un miroir sphÉrique convexe.

B Lunetteastronomique B.1Une lentille mince est un ensemble de 2 dioptres sphÉriques de rayonsR 1 etR 2 , de sommets S 1 etS 2 qui sont pratiquement confondus. C’est À dire que la distanceS 1 S 2 devant entre autre la distance focale de la lentille. B.2Un systÈme afocal est un systÈme optique qui donne une image À l’infini d’un objet À l’infini. B.3Pour que la lunette soit afocale, il faut que le foyer image de la premiÈre lentille soit confondu avec le foyer objet de la seconde. La lumiÈre traverse d’abord l’objectif (placÉ du cÔtÉ de l’objet) puis l’oculaire (placÉ du cÔtÉ de l’oeil). Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire. B.4

0 0 f obj F oc B 0 F oc B α B.5α=etα= 0 d’oÙG= =− 0 . L’image est renversÉe. Elle est rÉelle À α f obj f oc f oc l’infini (en pratique sur la rÉtine, dans le plan focal image du cristallin au repos). B.6S’il y a de la poussiÈre sur l’objectif, cela peut attÉnuer la luminositÉ, mais pas altÉrer l’image.

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B.7La position de l’oeil a peu d’importance a priori, puisque l’observation se fait À l’infini. Toutefois, il est prÉfÉrable de placer l’oeil dans le plan du cercle oculaire, qui est l’image de la monture de l’objectif À travers l’instrument. Ainsi, toute la lumiÈre traversant l’objectif, passe À travers le cercle oculaire. L’oeil placÉ dans ce plan reÇoit donc un maximum de lumiÈre. B.8Les systÈmes catadioptriques sont plus utilisÉs que les lunettes car ils ne prÉsentent pas d’aberration chromatique et sont plus faciles À usiner en grande dimension.

C TÈlescopespatial de Hubble (H.S.T.) C.1D’aprÈs la formule de conjugaison, le foyer objet et le foyer image sont confondus et la 0 SC position du foyer principal est dÉfini parS 1 F 1 =. Le foy =S 1 F 1 2 er image de l’ensemble du M p M s 0 0 tÉlescope est dÉfini l’image d’un point objet À l’infini sur l’axe :∞ −→F−→F. D’aprÈs la 1 R R 0 0 2 1 1 1 S 2 F .S 2 F −(d−) 1 0 2 22 1 formule de conjugaison de Descartes, on a+ =F= 0 = R R 0 0 soitS 2 0 0 1 2 S 2 F S 2 F S 2 F S 2 F−S 2 F d −+ 1 21 2 2 2 −R 2 (2d−R 1 ) 0 soitS 2 F= =5,4m. 4d−2R 1 +2R 2 0 C.2Le rayon rÉflÉchi parM p coupe l’axe optique enF, celui rÉflÉchi parM s coupe l’axe 1 0 F S 2 0 S 2 J S 2 J 1 ales := optique enF. Ortanα 1 =− 0 et en utilisant le thÉorÈme de Th 0 d’oÙ : S 2 I F S 1 F S 1 1 (R−2d)D 1 01 2R 1 α 1 ≈ − 0 =−0,024rad S 2 F 0 0 C.3En ret en remplaÇantR eprend le rÉsultat de la questionC.1, 1 parR 1 on obtient :S 2 F= 0 −R 2 (2d−R) 1 0 0 = 5,400081m. On a alorsδ(S 2 F) = 81µm 4d−2R+2R 2 1 0 C.4On reprend le rÉsultat de la questionC.2et en remplaÇantS 2 Fpar son expression en fonc- D 01 dα 1 D 01 (R 2 +2d) tion deR 1 , on peut Écrire :α 1 =−(2d−R 1 +R 2 )d’oÙδα 1 == 2 = 0,33µrad R RdR 1 21 R 2 R 1

ProblÈme IIIUne histoire de lentilles.. . A Etudede la lentille convergente (L1) A.1l’objetABn’est pas situÉ avant la face d’entrÉe du systÈme optique, c’est donc un objet virtuel (on ne peut pas le toucher). A.2

0 0 A.3L’imageA Best situÉe aprÈs la face de sortie du systÈme optique, c’est une image rÉelle (on peut la matÉrialiser sur un Écran). A.4On peut obtenir l’objet AB À partir d’une lentille mince convergente auxiliaire (figure ci-dessus).

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0 f O 1 A 0 1 A.5D’aprÈs la formule de conjugaison de DescartesO 1 A= 0 = 6cm. f+O 1 A 1 B Principedu microscope 0 f A 1 B 1 F 1 O 1 1 B.1D’aprÈs la relation de grandissement de Newtonγ 1 = = = 0 . AB F 1 A f+O 1 A 1 B.2L’objetABÉtant rÉelle son image rÉelleA 1 B 1 , À travers(L 1 )est agrandie si|γ 1 |>1 0 00 0 soit|f+O A|< fsoit−2f <elle si<O A−fsoit 1 1 1 1 O 1 A <0. De plus l’imageA 1 B 1 est rÉ 1 1 0 0 −2f < 1 O 1 A <−f 1 B.3Un expÉrimentateur peut observer une image rÉelle si elle se situe À une distance de l’oeil supÉrieure À la distance minimale de vision distincte. Si l’image reÉlle se forme derriÈre l’oeil, cela devient un objet virtuel pour l’oeil dont l’image ne pourra se trouver sur la rÉtine. 0 0 B.4Pour observer sans accommoder, il faut queA Bsoit rejetÉe À l’infini ce qui signifie que A 1 B 1 doit se trouver dans le plan focal objet de(L 2 ). B.5

0 f O 1 A 0 1 0 que donneO 1 O 2 = 1,14m B.6O 1 O 2 =O 1 A 1 +f= 0 +f 2 . L’application numÉri 2 f+O 1 A 1 (L’objetAest proche du foyer objet de(L 1 )). B.7γ 1 =−10. 0 A 1 B 1 γ 1 AB B.8α= 0 = 0 =−0.25rad=−14,3. f f 2 2 0 AB −30 α γ 1 d m B.9α ref = =4.10rad= 13,7(minutes d’angle) Le grossissementG= = 0 = α d m ref f 2 −62,5.

C Principedu tÈlÈobjectif (L 1 ) (L 3 ) 0 = C.1Pour un systÈme afocal∞ −→F 1 F 3 −→ ∞. Le foyer image deL 1 est donc confondu 0 00 avec le foyer objet de(L 3 +fav ).O 1 O 3 =f 1 3 ecf <0 3 0 f O 3 A 1 0 3 0 C.2D’aprÈs la formule de conjugaison de Descart esO 3 A= 0 . Pour avoirO 3 A >0et f+O 3 A 1 3 0 0 obtenir une image rÉelle il fautf+O 3 3 A 1 <0.O 3 A 1 Étant initialement positif (Égal À−f), il 3 0 ) pÉduireO faut donc Éloigner les deux lentilles (O 3 A 1 <−f 3 our r 3 A 1 .

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C.3

0 0 02 0 0 iquant la relation de Newton À la lenti F 3 F 1 3 (F F C.4En appl 3 1 3 + lleL 3 on aF P=−f 3 . SoitF 3 F 0 0 02 0 0 0 002 F F+F O+O P) =−fd’oÙF(−f+O P) =−f 3 11 11 33 F 1 F 3 F−2f 3 1 1 Le discriminant de ce 1 3 0 trinÔme est nul et on obtientF 1 F 3 = 3cm 0 f F 3 O 3 3 C.5D’aprÈs la relation de grandissement de Newtonγl’image 3 = 0 =−. La taille de 0 F 3 FF F 3 1 1 0 0 f f α 0 0 0 3 1 est Égale ÀA B=γ 3 A 1 B 1 =γ 3 f α=−=−1cm. 1 0 F F 3 1

ProblÈme IVUtilisation d’un viseur A PrÈliminaires 1 11 A.1Relation de conjugaison de Descartes :−= 0 f 0 O i A O i A i A.2

0 f 0 0 O JF O A B i ii 0 0 i Dans les trianglesF i ABetF i O i J,=soit commeO i J=A B,γ= =. AB F i A ABF i A 0 00 0 F A F A 0 00 0 0 0 00 A B i A B i Dans les trianglesBF AetF O i I,= 0 soit commeO i I=AB,γ= =− 0 . i i AB f O i O I F i i i 2 0 0 0 En combi. nant les deux expressions du grandissemnt, on aF i AF A=−f i i

B CaractÈristiquesdu viseur B.1Il faut que l’image du rÉticule soit rejetÉe À l’infini par(L 2 )donc queRsoit confondu avec 0 0 F. Ainsi,d 2 =f. 2 2 B.2Le foyer principal objet est dÉfini comme un point sur l’axe optique tel que son image soit À l’infini, Également sur l’axe optique : un rayon passant parFressort donc parallÈle À l’axe optique.

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B.3Pour la construction, on part d’un faisceau de rayons Émergeant parallÈles À l’axe : par (L 2 ), les rayons passent parF 2 puis on construit les rayons incidents parL 1 . Leur intersection avec l’axe optique donne la position deF.

(V) (L 1 ) (L 2 ) B.4On aF→ ∞soitF→F 2 → ∞:FetF 2 sont donc conjuguÉs par(L 1 ). En appliquant 2 0 0 0 0 0 la formule de conjugaison de Newton,F FF F=−favecF=F R=d−fd’oÙ 1 12 1 1 F 1 12 1 2 0 f 1 −2 F 1 F=− 0 . On trouveF 1 F=−9,1.10cm. d 1 −f 1

C Utilisationdu viseur C.1 C.1.1Comme l’image de l’objet est rejetÉ À l’infini, l’objet est dans le plan focal objet (per- pendiculaire À l’axe optique et passant parF)

C.1.2 C.2 0 C.2.1On aO 3 A=−x 1 =−0,15metO 3 A=−x 2 =−0,10m. 0 C.2.2A partir de la formule de conjugaison de Descartes, on trouvef=−0,3m.(L 3 )est 3 divergente.

C.2.3

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