Master de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 2 de Mathematiques Universite de Lyon 1 – ENS Lyon Annee 2008/2009 CORRIGE SUR FURSTENBERG, POINCARE, SIEGEL Exercice 1. 1) Le groupe P est moyennable et il opere continument sur X par restriction de la G-action ; par consequent, il fixe une mesure de probabilite µ sur X. 2) Le groupe G est localement compact et G/P est compact, donc il existe une partie compacte C ? G telle que G = C.P . On a donc G?µ = C?µ, qu'on voit comme l'image du compact C par l'application orbite g 7? g?µ. L'orbite de µ est fermee car compacte. 3) Par forte proximalite, l'adherence de G?µ contient une masse de Dirac. Mais par 2) on a G?µ = G?µ, donc il existe g?G et y?X tels que g?µ = ?y ; autrement dit, µ = ?g?1.y. 4) On pose x = g?1.y ; alors StabG(µ = ?x) ? P implique que x est P -fixe. En utilisant la partie C compacte de 2), on a : G.x = C.x, d'ou la compacite de la G-orbite de x. 5) On considere l'application orbite de x : G ? X, g 7? g.x.

• matrices triangulaires


• point fixe


• groupe sl2


• topologie de zariski sur la droite


• probabilite µ sur p1


• sl2


• application continue

Sujets

• Point fixe

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Extrait

Master2deMath´ematiques Universite´deLyon1–ENSLyon Anne´e2008/2009

´ ´ CORRIGE SUR FURSTENBERG, POINCARE, SIEGEL

Exercice 1.1) Le groupePeltelipoomeynnbainˆument`erecontrustseXpar restriction de laG,tliuqnesne´raocdeprsurenemefixeue´tilibabotiac;pon-µsurX. 2) Le groupeGest localement compact etG/Pest compact, donc il existe une partie compacte C⊂Gtelle queG=C.Pa donc. OnG ∗ µ=C ∗ µ, qu’on voit comme l’image du compactC par l’application orbiteg7→g ∗ µde. L’orbiteµ.compactemre´ceraetsef 3)Parforteproximalite´,l’adhe´rencedeG ∗ µcontient une masse de Dirac.Mais par 2) on a G ∗ µ=G ∗ µ, donc il existeg∈Gety∈Xtels queg ∗ µ=δ y ; autrement dit,µ=δ g .y . −1 −1 4) On posex=g .y; alors Stab G (µ=δ x )⊃Pimplique quexestP-fixe. Enutilisant la partieCcompacte de 2), on a :G.x=C.xalu`o’d,lade´eitacmpcoG-orbite dex. 5)Onconsid`erel’applicationorbitedex:G→X,g7→g.ximage est compacte,. Son doncferme´e,nonvideetGnimiaPmre´edlati-invnte.arialaG-action, c’est doncXtout entier. Parfactorisation, on obtient une application continue et surjectiveG/P→X, dont la Gairestclnceeariauqvi-e´.   a b Exercice 2.asawedoidnI’awmpcoitostleu´ead1vnO)gla forme= sousg=kan c d     cosθ−sinθ λ0 1µ × aveck= ,a= etn= pourθ, µ∈Retλ∈R. On −1 + sinθcosθ0λ0 1 forme le produitkanCela donne :, et on identifie. −1 (1)a=λcosθ(2)b=µλcosθ−λsinθ −1 (3)c=λsinθ(4)d=µλsinθ+λcosθ √ √√ 2 2 2 22 22 2 En faisant (1)+ (3)on obtientλ=a+c, cosθ=a/ a+cet sinθ=c/ a+c. Alors, (2) et (4) deviennent : 02 202 2 (2 )b=aµ−c/(a+c) et (4)d=cµ+a/(a+c). 0 02 2 Fairea∙(2 ) +c∙(4 ) donneµ= (ab+cd)/(a+c), et finalement :    √   2 2 2 2 a b 1 a−c a+c(0 1ab+cd)/(a+c) √ = √ ∙ ∙. 2 2 2 2 c dc a0 1/ a+c0 1 a+c 2) Il est clair queλest une bijection d’ordre 2 de SL 2 (R) puisque c’est l’interversion des deux coefficients diagonaux des matrices.Queλest un anti-automorphisme vient d’un calcul :si     0 00 00 0 a ba bcb+dd ab+bd 0 00 g= etgon a := ,λ(gg) ==λ(g)λ(g). 0 00 00 0 c dc dca+dc aa+bc   a b 3) Pourg,l’´i=t´eegalλ(g).i=ivinaet:suaviuqe´seasuxtasunsiort c d

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  d b .i=i⇐⇒b+di=−c+ai c a   a−c ⇐⇒grmteanint1=tedtsee´de c a ⇐⇒gest une matrice de rotation. Bref, le stabilisateur deiest le groupeK. −1 4) Sig=kan, on aλ(g).i=λ(n)λ(a)λ(k).i. Commeλ(k)∈K,λ(a) =aetλ(n) =n,    1µ λ0 −1−2 on aλ(g).i=na .icr´eOn.tin= etaet alors= ,λ(g).i=µ+λ i. −1 0 10λ 2 Maintenantg∈ S t,u auiva:t`uqe´|µ| ≤uetλ≤t. Finalement,on a : 2 S t,u .i={z∈H:|Re(z)|≤uet Im(z)≥1/t}.    0λ λ0 −1× Exercice 3.1) On a :n(λ) =etn(λ).n(1) =pour toutλ∈F. −1−1 −λ0 0λ 2)Lesope´rationse´l´ementairessurleslignesetlescolonnessetraduisentpardesmultiplica- tionspardesmatricesunipotentes,etunematricetriangulairesupe´rieure(resp.inf´erieure) est clairement le produit d’une matrice diagonale par une matrice unipotente triangulaire supe´rieure(resp.inf´erieure). 3)L’adhe´rencedeZaristenuedanQ ki deU + (Z p s) est conU + ( p ) ={u + (λ)}car ce dernier λ∈Q p groupe est) unferme´deZariskideSL 2 (Q p . D’ailleurs,la topologie induite par celle de SL 2 t la topologie de Za surU + (Q p riski sur la droite affine ; donc le sous-groupe) esU + (Z p ), qui Z estinfini,estZari)ibienqu’onal’´egalite´U(Z) =U(Q). ski dense dansU + (Q p , s +p+ p Z ) contie 4)Parlaquestionpre´ce´dente,l’adh´erencedeZariskiSL 2 (Z p ntU + (Q p un). Par raisonnementanalogue,ellecontientaussilesmatricesunipotentestriangulairesinfe´rieuresa` coefficients dansQ, et p donc tout SL 2 (Q p ) par 2).    −2n a ba pb n−n s (D p ).M.(D p ) = 5) SoitM=∈SL 2 (Z p ). Alor 2n et,lufealesn¸aoc c dp cd pour que la suite de ces matrices converge est queba`rdioetntenhautecoefficieis(0lnon= exploseetempˆechelasuited’eˆtreborne´e).R´eciproquement,siMest une matrice triangulaire inf´erieure,alorslasuitedesite´re´essouslaconjugaisonparD p converge vers la partie diagonale de cette matrice. t 6) Une matricegde SL 2 (Rnslestda)eeist2(s)epOSrguov´leelsintmeleeuefiiregg=I 2 , ce quisetraduitpardese´quationspolynomialesenlescoefficientsmatricielsdeghda’L.ecnere´ t deZariskideSO(2)estdoncforme´edesmatricesg∈SL 2 (C) telles quegg=I 2 o`d’u; Z SO(2) (R) = SO(2).    a ba b Exercice 4.1) On a :.(1,0) = (a, c) doncest dansBsi et seulement si c dc d c= 0 :le stabilisateurBseltialusserrtsegnaimaesictrroegeduptetmrninaresded´eup´erieu ´egala`1.   a b 2) SoitHun sous-groupe de SL 2 (R) contenant strictementB. AlorsHcontientg= c d      0 00 1bβ a1β a+βc b+aβ+dβ+cββ avecc6= 0.Comme∙ ∙= ,en 0 0 1c d0 1c d+cβ 0 choisissant convenablementβetβntnp,otpeuudoruerile´neme´n∈Havec des coefficients 2

diagonauxnuls.Untele´l´ementconjuguelesmatricestriangulairessup´erieures(dansB, donc dansHtreseiruepue´erssluiatresngiamaesictrrueiL.senisere´fangulairricestriruelmstas) inf´erieuresdede´terminante´gal`a1engendrentSL 2 (Redc´t.ened’lxereicecrpe´)–voirle2) 1 3) Le groupe SL 2 (R)e`poocerˆumentinrntsuP(R), et la factorisation de l’application orbite de 1 [(1,´tqeiuavn0oituneeriantepaencilpod])uenntiec,cveioatijnbϕ: SL 2 (R)/B→P(R). La de´compositiond’IwasawaSL 2 (R) =K∙Bmontre que SL 2 (R)/Best compact, ce qui implique 1 que SL 2 (R)/Best SL 2 (Rpreha`)-hom´eomoP(Re.)aLrdojprteoir´vetieca’nelleedsaptemd mesure SL 2 (R)-invariante car SL 2 (R) est unimodulaire alors queBne l’est pas. −2 1 4) On aD.[(x, y)] = [(yx, a)], donc les points fixes sousDdansP(R) sontx + etx − , et n 1 limD .x=x + pour toutx∈P(R)\ {x − }. n→∞ Z Z    1 nn n 5) Soitf∈CP(R() . AlorsD) ∗ µ(f) =f(D .x)dµ(x) =f(D .x)dµ(x) 1 1 P(R)P(R)\{x − } converge versf(x + ) =δ x + (fcrapevnon.eeger´ondiemc) −1 n−1 6) Les points fixes degDgsontg.x + etg.x − , et pour toutx6=g.x − , on alim.xgD g= n→∞ g.x + le nombre d’atomes de. Commeµuvrotetetuserable,onpd´enombrg(une rotation par −1 exemple) telle queµ({g.x − }lqcupruec´´eemedtnemceva.0eL=)celaˆmmegDgaplacela` n−1 deDdonne lim(gD g)µ=δ. ∗g.x + n→∞ 1 7) La SL 2 (R)-action surP(Rxiroeprtept´limatneivorse)ttransitive(donciminamel,)tealof 1 delaquestionpr´ec´edente:P(Rtsruebnere`iFededergSLe)tsortnnufe 2 (R). 8) SoitXtn`iredenufeorbergdeSLeFursten 2 (R). Parle premier exercice, il existe une application continue, surjective et SL 2 (RviraaitnSeL)-´equ 2 (R)/B→X. Soitx∈X. Alors Stab SL (R) (x) contientBc’est exactement. SiB, on obtient queϕhpromoe´emsiomnhtues 2 car SL 2 (R)/BSinon, par 2) ce stabilisateur est SLest compact. 2 (R) tout entier, etXest re´duit`aunpoint. 2 Exercice 5.1) Si le groupeHest compact, il laisse invariant un produit scalaire deR (obtenuparmoyennisationden’importequelproduitscalaireaud´epart);danscecasHest conjugu´e`aSO(2). 1 2) PuisqueHeil´tabibnneyomtseroepunxelfi,ileabµsurP(R), et le lemme de Furstenberg implique que le support deµdeu’onduseftro´ms.Cesuppeuxpointaprststorteis´eabilH, donc un sous-groupe d’indice 2 deHle fixe point par point. −1 3) Si le groupeHcompact, par 1) il existeg∈SL 2 (R) tel queH < gKg, etHfixe −1 2 λ(g).i∈H.teende´ce´rpnoitseuqselatili,onuinonS.

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