Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine On considere le sous espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant

profil-ontoe-2012

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

3 pages

Français

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

A propos
Informations
Extrait

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 08-09 semaine 7 ————————————————————————————————————————— 1 ) On considere le sous-espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + 2x2 ? x3 + 2x4 = 0 . Donner une base de F . Quelle est sa dimension ? 2) Soit u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2,?1, 2,?1), u3 = (4, 1, 4, 1) trois vecteurs de R4. Soit G = Vect(u1, u2, u3). Donner une base de G constituee de vecteurs de R4 echelonnees relativement a la base canonique de R4. 3) Donner un systeme d'equations de G relativement a la base canonique de R4. ————————————————————————————————————————— Solution de la question 1) : L'ordre des variables x1, x2, x3, x4 est l'ordre naturel. Les trois equations de (E) sont d'ordre 1. Le systeme est donc ordonne. Demarrons l'algorithme de triangulation. Etape 1 : Utilisons (E1) pour faire monter l'ordre des equations suivantes. Le systeme suivant a memes solutions que (E) : (E ?) { x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (E1) x2 ? 2x3 + x4 = 0 (E ?2 = E2 ? E1) .

u? x1u??1

premiere algorithme

base canonique de r4

x3 ?

algorithme de triangulation

variable de tete

Informations

Publié par	profil-ontoe-2012
Nombre de lectures	14
Langue	Français

Extrait

NometPr´enom:L1MPAlg`ebre08-09semaine7 ————————————————————————————————————————— 4 1)Onconside´relesous-espacevectorielFdeRnodssusyseosulitvant:t`emesuide´mrof ( x1+x2+x3+x4= 0 (∗) x1+ 2x2−x3+ 2x4= 0.

Donner une base deF. Quelleest sa dimension ? 4 2) Soitu1= (1,1,1,1), u2= (2,−1,2,−1), u3= (4,1,4,1) trois vecteurs deR. SoitG= 4 Vect(u1, u2, u3une base de). DonnerGevedee´uedsruetcitstoncRvimeletanetchel´eeesronn´ 4 a`labasecanoniquedeR. 4 3)Donnerunsyst`emed’´equationsdeGedeuqinonacesabalvement`arelatiR. —————————————————————————————————————————

Solution de la question 1) :L’ordre des variablesx1, x2, x3, x4est l’ordre naturel.Les trois ´equationsde(E’llaorsnmera.e´Ddethmegorird’o1.resyLe`estseemnodtdroc´nnos)nodt triangulation. ´ Etape 1: Utilisons(E1ou)peL.stsysviusetnatanme`eivsutnre’lrofriaeromquationsdredes´e `amˆemessolutionsque(E) : ( 0x1+x2+x3+x4(= 0E1) (E) 0 x2−2x3+x4= 0(E=E2−E1). 2

0 Les´equationsE1,, Esont respectivement d’ordre 1,C.setye`emseotdr.e´nno2 2 Cesyste`meesttriangule´.Lepremi`erealgorithmeesttermin´e. 0 Re´soudre(Egul´e(meteirnalesesy`tesr´droudont`ancr)eiveEe)t.eLdaev(ariabledetˆE1) est 0 0 edetˆetestx, Les variable x1, la variablde (E2) e2s libres de (E) sont doncx3, x4e´osR.sonlv cesyste`metriangule´ensuivantlam´ethodeducours.Laderni`ere´equationdonne: x2= 2x3−x4. Rempla¸conscettevaleurdex2nsl’daatio´eque´ce´rpnno,etnedt:entiob x1+ 2x3−x4+x3+x4= 0. Nous obtenons : x1=−3x3. Nousavonsainsiexprim´ex1etx2ne’l,isniA.serbislleabrivaesedid`laa’lesembFdes solutions de (E) est : F={(−3x3,2x3−x4, x3, x4) telsquex3, x4∈R}. Soit :F={x3(−3,2,1,0) +x4(0,−1,0,que1) telsx3, x4,∈R}. La famille (−3,2,1,0),(0,−1,0,rtidcoen1er)aetsf´aemn´iclulneegedF. C’est une famille libre. C’estdonc une base deF. 4 4 Solution de la question 2) :NotonsE=RetB= (e1, e2, e3, e4) la base canonique deR: e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e3= (0,0,0,1). On a :v(u1) =v(u2) =v(u3) = 1.

  1 2 4 1−1 1 MB(u1, u2, u3) =, G= Vect(u1, u2, u3). 0 2 4 1−1 1 ´ Etape 2 :On utiliseu1pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   0 00 u=u1u=u2−2u1u=u3−4u1 1 23 1 00 0 0 00 0 0 MB(u1, u, u) =, G= Vect(u ,u ,u). 2 31 2 3 1−3−3  1 00 1−3−3 0 0 0 On av(u)< v(u) =v(u) = 2. 1 2 3 0 ´ Etape 3 :On utiliseupour faire monter l’ordre des vecteurs suivants : 2   00 000 000 0 0 u=u u=u u=u−u 1 12 23 32 1 00 00 00 0000 00 , u1) =−3 0, G= Vect(uu ,). MB(u1, u2 31 2   0 00 1−3 0 00 0000 00 On av(u)< v(uafalllimnimrtee´eehmtestlg’aitorL)(eu= (1,1,1,1), u= (0,−3,0,−3)) 1 21 2 4 est donc une base deGheec´er´ennloasecanoniquedeletavimene`tlabaR. Solution de la question 3) : 00 004 La famille (u ,uecanabast`alpporeuednoqit´es)arrapee´nnolehceR. Soitu´ennescodedoor 1 2 4 (x1, x2, x3, x4) dans la base canoniqueR. .   00 00 u uu 1 2 1 0x1 00 00 MB(, uu u 1,21) =−3x2.  1 0x3 1−3x4 ´ Etape 1 :   00 00(1)00 u u u 1 2=u−x1u1 1 00 00 0000(1)00 M(uu ,u ,−x u) =1−3x−x . B1 21 12 1, u=u−x1u1   1 0x3−x1 1−3x4−x1 (1) On au∈Fqe´aviua`tuu∈F.

´ Etape 2 :   00 00(2) (1)00 u u u=u+ (1/3)(x2−x1)u2 1 2 1 00 00 00(2) (1)00 MB(u ,u ,, u=u+ (1/3)(x2−x1)u=. 1 22 1−3 0  1 0x3−x1 1−3x4−x2 (2) etu∈Fe´uqviua`tau= (0,0, x3−x1, x4−x2)∈F. L’algorithmeesttermin´e.Levecteuruedo(dnnoec´sreox1, x2, x3, x4) dans la base canonique 4 (2) Rest dansFsi et seulement siu= 0.Donc, si et seulement si : x3−x1=x4−x2= 0.