PCSI A Informatique Lycée Brizeux

Romain

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Informatique Lycée Brizeux TP 3 : Autour de la cardioïde Nous avons déjà vu la cardioïde en tant que courbe cycloïdale : la trajectoire d'un point sur un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même rayon est une cardioïde. L'objectif de ce TP est d'étudier à l'aide du logiciel Maple certaines propriétés de la cardioïde. 1 Courbes en coordonnées polaires On commence par charger la librairie plot à l'aide de la commande with(plots). 1.1 Généralités sur la fonction plot Une courbe paramétrée (x(t), y(t)) se représente à l'aide de la commande plot de la manière suivante : plot([x(t),y(t),t=t0..t1]) ; Pour représenter un ensemble de points décrit par une équation cartésienne f(x, y) = 0, on utilise la commande implicitplot : implicitplot(f(x,y)=0,x=a..b,y=c..d) ; Une courbe d'équation polaire ? = f(?) se représente à l'aide de la commande plot ou de la commande polarplot. La syntaxe est la suivante : plot([f(t),t,t=t0..t1],coords=polar) ; On peut ajouter certains arguments qui imposent par exemple des axes orthonormés ou une fenêtre bien précise.

• courbe


• cercle


• equation cartésienne


• famille dt


• cardioïde


• caustique de cercle par réflexion avec source lumineuse sur le cercle


• équation paramétrique pour l'enveloppe de la famille de droites r?

Sujets

• Courbe
• Cercle
• Équation cartésienne
• Cardioïde

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A 20092010

Informatique

TP 3 : Autour de la cardioïde

Lycée Brizeux

Nous avons déjà vu la cardioïde en tant que courbe cycloïdale : la trajectoire d’un point sur un cercle qui roule sans glisser sur un autre cercle de même rayon est une cardioïde. L’objectif de ce TP est d’étudier à l’aide du logiciel Maple certaines propriétés de la cardioïde.

1 Courbesen coordonnées polaires

On commence par charger la librairieplotà l’aide de la commandewith(plots).

1.1 Généralitéssur la fonctionplot

Une courbe paramétrée (x(t), y(t)) se représente à l’aide de la commandeplotde la manière suivante :

plot([x(t),y(t),t=t0..t1]);

Pour représenter un ensemble de points décrit par une équation cartésiennef(x, y) = 0, on utilise la commande implicitplot: implicitplot(f(x,y)=0,x=a..b,y=c..d); Une courbe d’équation polaireρ=f(θ) se représente à l’aide de la commandeplotou de la commande polarplot. La syntaxe est la suivante :

plot([f(t),t,t=t0..t1],coords=polar);

On peut ajouter certains arguments qui imposent par exemple des axes orthonormés ou une fenêtre bien précise. La syntaxe est la suivante :

plot([f(t),t,t=t0..t1],x=a..b,y=c..d,coords=polar,scaling=constrained);

Exercice 1.Tracer dans un repère orthonormé la cardioïde d’équation polaireρ= 1+ cos(θ). Vérifier que 2 22 22 la courbe admet pour équation cartésienne (x+y−x) =x+y. Représenter cette courbe à l’aide de la fonctionimplicitplot. Il est possible de représenter une famille de courbes sur un même graphe. Par exemple, pour représenter en même temps les courbes d’équationsρ=f(θ) etρ=g(θ), on peut utiliser :

plot([[f(t),t,t=t0..t1],[g(t),t,t=t0..t1]],coords=polar).

Nous utliserons également dans la suite la fonctiondisplay(voir l’aide). ∗ Exercice 2. Une courbe d’équation polaireρ=acos(θ) +b, aveca∈Retb∈Rest appelée limaçon de Pascal. Représenter sur un même graphe toutes le courbes :ρ(θ) =k/4 + cos(θ) oùk∈ {1..8}est un entier. Remarque : il est vivement conseillé d’utiliser la fonctionseqpour construire une liste.

1.2 Retoursur la cardioïde

La fonctionanimatede Maple permet de réaliser des animations. La commande suivante donne un point de vue dynamique de la contruction de la cardioïde :

animate( [1+cos(u*t),u*t,t=0..2*Pi],u=0..1,coords=polar,scaling=constrained);

Exercice 3.Réaliser une construction animée de la courbe d’équation polaireρ= 2cos(θ)−cos(2θ). Venonsen maintenant à l’étude de la cardioïde. On se propose de vérifier à l’aide de Maple le résultat suivant :

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