PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 4 : corrigé Exercice I. Une courbe paramétrée On étudie la courbe paramétrée ? définie sur ]? pi, pi[ par ?(t) ? ???? ???? x(t) = tan ( t 2 ) , t ?]? pi, pi[ y(t) = t+ pi2 4t Notons C? le support de ?. 1. Domaine d'étude Domaine de définition. x est définie et de classe C1 sur ]?pi, pi[. y est définie et de classe C1 sur R?. Donc ? est définie et de classe C1 sur ]? pi, 0[?]0, pi[. Restriction. x et y sont impaires : donc C? est symétrique par rapport à O. On trace C? pour t ?]0, pi[ puis on complète par symétrie par rapport à O. 2. Variations simultanées Les fonctions coordonnées x et y sont dérivables sur ]0, pi[ et x?(t) = 1 2 ( 1 + tan2 ( t 2 )) et y?(t) = 4t2 ? pi2 4t2 Nous avons le tableau de variations : t 0 pi2 pi x?(t) 12 + 1 + x(t) 0 ? 1 ? +∞ y(t) +∞ ? pi ? 5pi4 y?(t) || ? 0 + 3.

• point singulier


• equation cartésienne


• pi ?


• tangente horizontale


• classe c1


• courbe paramétrée


• lim ??pi


• aire du triangle amn

Sujets

• Point singulier
• Équation cartésienne
• Lexique des arcs paramétrés

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Devoir Maison 4 : corrigé

Exercice I. Une courbe paramétrée    t x(t) = tan, t∈]−π, π[   2 On étudie la courbe paramétréeγdéfinie sur]−π, π[parγ(t) 2  π  y(t) =t+ 4t NotonsC γ le support deγ.

1.Domained’étude

Lycée Brizeux

1 1∗ Domaine de définition.xest définie et de classeCsur]−π, π[.yest définie et de classeCsurR. Doncγest définie 1 et de classeCsur]−π,0[∪]0, π[. Restriction.xetysont impaires : doncC γ est symétrique par rapport àO. On traceC γ pourt∈]0, π[puis on complète par symétrie par rapport àO.

2. Variations simultanées Les fonctions coordonnéesxetysont dérivables sur]0, π[et   2 2 1t4t−π 020 x(t) =1 + tanety(t) = 2 2 24t Nous avons le tableau de variations : π t0π 2 0 1 x(t) +1 + 2 x(t) 0%1%+∞ 5π y(t) +∞ &π% 4 0 y(t)|| −0 +

3. Point remarquable π •Ent=, au pointM(1, π)le vecteur vitesse a pour coordonnées(1,0):C γ admet une tangente horizontale. 2

4. Branches infinies + •Lorsquet→0, on ax(t)→0ety(t)→+∞:C γ admet une asymptote d’équationx= 0. − 5π5π •Lorsquet→π, on ax(t)→+∞ety(t)→:C γ admet une asymptote d’équationy=. 4 4

5. Points doubles

L’applicationx:]−π, π[→Rest continue et strictement croissante. Commelimx(t) =−∞etlimx(t) = +∞, t→−π t→π l’applicationxest bijective. 2 PosonsD=]π, π[\{0}. Soit(t 1 , t 2 )∈D. Siγ(t 1 ) =γ(t 2 )alorsx(t 1 ) =x(t 2 ). Commexest injective nous avons t 1 =t 2 : la courbeC γ ne présente aucun point double.

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