PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 F e u i l l e d e T D 1 7 A p p l i c a t i o n s l i n e a i r e s I Applications lineaires ou pas ? 1. Parmi les applications qui suivent, lesquelles sont des endomorphismes de E : (a) E = F(R,R), u : f 7? 2 f . (b) E = F(R,R), u : f 7? f ? f . (c) E = C∞(R,R), u : f 7? f ?. (d) E = RN, ? : (un) 7? (un+2 ? un+1 + un + n). 2. Les applications suivantes sont-elles des formes lineaires sur E ? (a) E = F(R,R), ? : f 7? f(a) avec a ? R fixe. (b) E = C([a, b],R), ? : f 7? ∫ b a f(t) dt ou a < b sont des reels fixes. II Noyau et image 3. Soit f : R3 ? R2 une application lineaire verifiant f ((1, 0, 0)) = (1, 1), f ((0, 1, 0)) = (0, 1), f ((0, 0, 1))

• projection sur π parallelement


• r4


• dimension de f1


• noyau


• r3 ?


• application ?

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
A p p l i ca t i o n s l i n´e a i re s
´I Applications lineaires ou pas?
1. Parmi les applications qui suivent, lesquelles sont des endomorphismes de E :
(a) E =F(R,R), u : f 7→ 2f.
(b) E =F(R,R), u : f 7→f◦f.
∞ 0(c) E =C (R,R), u : f 7→f .
N(d) E =R , φ : (u )7→ (u −u +u +n).n n+2 n+1 n
2. Les applications suivantes sont-elles des formes lin´eaires sur E?
(a) E =F(R,R), φ : f 7→f(a) avec a∈R fix´e.
Rb
(b) E =C([a,b],R), φ : f 7→ f(t)dt ou` a<b sont des r´eels fix´es.
a
II Noyau et image
3 23. Soit f : R →R une application lin´eaire v´erifiant
f ((1,0,0)) = (1,1), f ((0,1,0)) = (0,1), f ((0,0,1)) = (−1,1).
3On pose F ={(x,y,z)∈R : z = 0}.
(a) D´eterminer f ((x,y,z)) en fonction de x,y et z.
(b) D´eterminer Im(f) et ker(f).
3 3(c) Montrer que F est un s.e.v. deR et queR =F ⊕ker(f).
2(d) Montrer que la restriction g de f a` F est un isomorphisme de F dansR .
4. Soit E =R [x]. On consid`ere les sous-ensembles suivants de E :4
0 00
F ={P ∈E : P(1) =P (1) =P (1) = 0},1
F ={P ∈E : P(0) =P(2) = 0}.2
(a) Montrer queF etF sont les noyaux d’applications lin´eaires que l’on pr´ecisera. En d´eduire queF1 2 1
et F sont des sous-espaces vectoriels de E.2
(b) D´eterminer la dimension de F et F puis ´etablir que E =F ⊕F .1 2 1 2
5. Soit E leR-espace vectoriel des fonctions continues deR dansR.
(a) Montrer que l’applicationφ qui a`f ∈E associeφ(f)∈F(R,R) d´efinie parφ(f)(x) =xf(x) est un
endomorphisme de E.
(b) D´eterminer le noyau et l’image de φ.
∞6. Soit E l’ensemble des fonctions de classeC surR qui sont p´eriodiques de p´eriode 1.
(a) Montrer que E est unR-espace vectoriel pour la loi + et la loi· dansF(R,R).
0(b) Montrer que l’application de d´erivation d qui `a f ∈E associe f est une endomorphisme de E.
(c) D´eterminer ker(d) et Im(d).
(d) Montrer que ker(d) et Im(d) sont suppl´ementaires dans E.
07. Soit P ∈K[x]. On pose δ(P) =xP (d´eriv´ee d’Euler).
(a) Montrer que δ est un endomorphisme de K[x] et que K[x] = ker(δ)⊕ Im(δ). On aura d´etermin´e
ker(δ) et Im(δ) au pr´ealable.
(b) Donner une C.N.S. sur α∈K pour que δ−αId soit un automorphisme deK[x].
1
FlTdueeDe1i7l´III Applications lineaires en dimension finie
8. Vrai-Faux. On justifiera chaque r´eponse.
(a) L’image d’une famille libre par une application lin´eaire est libre.
(b) Soient u ∈ L(E,F) et (e ,··· ,e ) une famille de vecteurs de E telle que (u(e ),··· ,u(e )) est1 m 1 m
libre. Alors (e ,··· ,e ) est libre.1 m
(c) Soientu∈L(E,F)et(e ,··· ,e )unefamilledevecteursdeE telleque(u(e ),··· ,u(e ))engendre1 m 1 m
F. Alors (e ,··· ,e ) est une famille g´en´eratrice de E.1 m
(d) Soit φ :E→F une application lin´eaire telle que dim(Im(φ)) = 1 alors ker(φ) est un hyperplan.
(e) Soient E et F de dimension n et m respectivement. Si u∈L(E,F), alors rang(u)≤ min(m,n).
(f) Soient E de dimension n et φ : E → K une forme lin´eaire. φ est non nulle si et seulement si
dim(ker(φ)) =n−1.
4 ∗9. Soitf ∈ (R ) d´efinie parf((x,y,z,t)) =x−y+2z−t. D´eterminer une base et la dimension de ker(f)
et Im(f).
10. D´eterminer une base du noyau et de l’image des applications lin´eaires suivantes.
3 3(a) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (2x+y+z,y+z,x)
3 2(b) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (x+y−z,2x−y+z)
`11. A quelle C.N.S. sur la dimension de E existe-t-il u∈ End(E) tel que Im(u) = ker(u)?
12. D´eterminer le rang des applications lin´eaires suivantes.
2 3(a) φ : R → R
(x,y) 7→ x(x+y,x−y,x+2y)
(b) φ : K [x] → K [x]3 4
0 0P(x) 7→ x (P (x)−P (0))
3 2(c) φ : R → R
(x,y,z) 7→ (x+y+z,x−y+z)
413. Soit φ : R [x] → R .3
0 00 (3)P 7→ P(1),P (1),P (1),P (1)
(a) Montrer que φ est une application lin´eaire.
(b) D´eterminer ker(φ). Que peut-on dire de φ?
n+114. Soit ψ : K [x]→K d´efinie par ψ(P) = (P(0),··· ,P(n)).n
(a) Montrer que ψ estK-lin´eaire.
(b) Montrer que ker(ψ) ={0}.
(c) En d´eduire que ψ est isomorphisme.
Ainsi, il existe un unique polynˆ ome de degr´e (inf´erieur ou ´egal `a) n prenant des valeurs prescrites en 0,1,··· ,n−1
et n. Trouver ce polynˆ ome est un probl`eme d’interpolation.
15. Une autre d´emonstration de la formule de Grassmann. SoientF etG deux s.e.v. d’unK-espace vectoriel
E de dimension finie. On consid`ere F et G en tant queK-espaces vectoriels `a part enti`ere.
Soit φ : F ×G → F +G .
(x,y) 7→ x+y
(a) Montrer que φ est lin´eaire.
(b) Montrer que φ est surjective.
(c) Montrer que ker(φ) est isomorphe `a F ∩G (on pr´ecisera l’isomorphisme).
(d) En d´eduire la formule de Grassmann :
dim(F +G) = dim(F)+dim(G)−dim(F ∩G).
2´IV Applications lineaires et composition
`16. A connaˆıtre. SoientE,F etG desK-espaces vectoriels. Soientf ∈L(E,F) etg∈L(F,G). Montrer que
−1(a) ker(g◦f) =f (ker(g))
(b) ker(f)⊂ ker(g◦f).
(c) Im(g◦f) =g(Im(f)).
(d) Im(g◦f)⊂ Im(g).
(e) g◦f = 0⇔ Im(f)⊂ ker(g).
`17. A connaˆıtre. Soient u et v des endomorphismes d’unK-espace vectoriel E.
On dit qu’un s.e.v. F est stable par u si∀x∈F, u(x)∈F.
(a) traduire que F est stable par u a` l’aide d’un adjectif portant sur la restriction de u `a F.
(b) On suppose que u et v commutent : u◦v =v◦u. Montrer que ker(v) et Im(v) sont stables par u.
´18. Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie, f et g des endomorphismes de E. Etablir les ´equiva-
lences suivantes :
g◦f injective ⇔g◦f surjective ⇔g et f bijectives.
i i i`19. A connaˆıtre. Soit f ∈ End(E). Pour tout i∈N, on note f =f◦···◦f et F = ker(f ) et G = Im(f ).i i| {z }
i fois
(a) Montrer que pour tout i∈N :
F ⊂F et G ⊃G .i i+1 i i+1
´(b) Etablir les ´equivalences suivantes :
2ker(f) = ker(f )⇔ ker(f)∩Im(f) ={0 }.E
2Im(f) = Im(f )⇔E = ker(f)+Im(f).
On suppose dor´enavant E de dimension finie.
(c) Montrer les ´equivalences suivantes :
2 2ker(f) = ker(f )⇔ Im(f) = Im(f )⇔E = ker(f)⊕Im(f).
(d) Montrer qu’il existe un entier p∈N tel que
p p+1 p+iker(f ) = ker(f ) =··· = ker(f ) =···
(e) En d´eduire que
p p+1 p+iIm(f ) = Im(f ) =··· = Im(f ) =···
p p(f) Montrer que ker(f ) et Im(f ) sont suppl´ementaires.
n20. Soit (e ,··· ,e ) la base canonique deK .1 n
n(a) justifier l’existence d’un endomorphisme φ deK donn´e par

e si 1≤i≤n−1i+1
φ(e ) =i
0 si i =nn
(b) D´eterminer Im(φ) et ker(φ).
k(c) Etant donn´e un entier k≥ 2, expliciter φ (e ) pour 1≤i≤n.i
k k(d) En d´eduire ker(φ ) et Im(φ ).
(e) conclure que le plus petit entier p tel que
p p+1 p+iker(φ ) = ker(φ ) =··· = ker(φ ) =···
est ´egal a` n.
3´V Formes lineaires
n`1. A connaˆıtre. Montrer que toute forme lin´eaire φ surK s’´ecrit de mani`ere unique :
nφ((x ,··· ,x )) =a x +···+a x avec (a ,··· ,a )∈K .1 n 1 1 n n 1 n
n nInversement, montrer que pour tout n-uplet (a ,··· ,a ) ∈ K , l’application φ : K → K d´efinie par1 n
nφ((x ,··· ,x )) =a x +···+a x est une forme lin´eaire surK .1 n 1 1 n n
`2. A connaˆıtre. Soit E unK-espace vectoriel.
Soient φ et ψ deux formes lin´eaires non identiquement nulles sur E.
(a) Que dire de Im(φ)?
(b) Soit x∈E tel que φ(x) = 0. Montrer que
E = vect({x})⊕ker(φ).
(c) Montrer que φ =λψ avec λ∈K si et seulement si ker(φ) = ker(ψ).
3. Soit E unK-espace vectoriel.
Soientφ etψ deux formes lin´eaires surE. On suppose queφ×ψ est identiquement nulle surE. Montrer
que n´ecessairement φ ou ψ est identiquement nulle.
Indication. Utiliser l’exercice pr´ec´edent.
3 24. Soit f ∈ End(R ) tel que f = 0.
3 ∗(a) Montrer qu’il existe v∈E et φ∈ (R ) avec φ(v) = 0 tels que
∀x∈E, f(x) =φ(x)v.
(b) Montrer que si une application f s’´ecrit comme ci-dessus, alors
3i. f est un endomorphisme deR ;
2ii. f = 0.
5. Soient E unK-espace vectoriel de dimension n et (φ ,··· ,φ ) une famille de formes lin´eaires sur E.1 k
(a) Donner une condition n´ecessaire sur k pour que (φ ,··· ,φ ) soit libre.1 k
∗On suppose que la famille d’´el´ements de E est libre. On se propose de montrer par r´ecurrence sur
k≥ 1 que
dim(ker(φ )∩···∩ker(φ )) =n−k.1 k
(b) V´erifier que cela est vrai si k = 1.
On suppose la propri´et´e vraie pour un certain entierk≥ 1. Soit (φ ,··· ,φ ,φ ) une famille libre1 k k+1
de formes lin´eaires sur E.
´(c) On suppose ker(φ )∩···∩ker(φ )∩ker(φ ) = ker(φ )∩···∩ker(φ ). Etablir que l’application1 k k+1 1 k
k+1ψ : E→K d´efinie par
ψ(x) = (φ (x),··· ,φ (x),φ (x))1 k k+1
est lin´eaire et que son rang est ´egal `a k.
(d) En d´eduire l’existence de k+1 scalaires λ ,··· ,λ non tous nuls tels que1 k+1
∀(y ,··· ,y )∈ Im(ψ), λ y +···+λ y = 0.1 k+1 1 1 k+1 k+1