PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 F e u i l l e d e T D 1 8 D e r i v a b i l i t e 1. Soit f ? C0(]a, b[,R) ne s'annulant pas sur ]a, b[. Montrer que si f2 est derivable sur ]a, b[, il en va de meme de f . 2. Soit f definie et derivable sur R. (a) Etudier la parite de f ? lorsque f est paire ou impaire. (b) Etudier la parite de f lorsque f ? est paire ou impaire. (c) Etudier la periodicite de f ? lorsque f est periodique. (d) Etudier la periodicite de f lorsque f ? est periodique. 3. Etudier la derivabilite des fonctions suivantes (a) f : x 7? x √ x. (b) f : x 7? ln | lnx|. (c) f : x 7? |x|x. (d) f : x 7? cos( √ x). 4. Calculer les limites suivantes. (a) lim x?e √ x? √ e ln x?1 . (b) lim x?0 ax?bx cx?dx ou a, b, c et d sont des reels avec c 6= d.

• inegalite des accroissements finis


• unique solution


• u0 ?


• xn?1 ln


• determiner lim


• x0 au voisinage de x0


• determiner


• ln x?1

Sujets

• Théorème des accroissements finis
• Determiner

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
D ´e r i v a b i l i t ´e
0 21. Soit f ∈ C (]a,b[,R) ne s’annulant pas sur ]a,b[. Montrer que si f est d´erivable sur ]a,b[, il en va de
mˆeme de f.
2. Soit f d´efinie et d´erivable surR.
0´(a) Etudier la parit´e de f lorsque f est paire ou impaire.
0´(b) Etudier la parit´e de f lorsque f est paire ou impaire.
0´(c) Etudier la p´eriodicit´e de f lorsque f est p´eriodique.
0´(d) Etudier la p´eriodicit´e de f lorsque f est p´eriodique.
´3. Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes
√
x(a) f : x7→ x .
(b) f : x7→ ln|lnx|.
(c) f : x7→|x|x.
√
(d) f : x7→ cos( x).
4. Calculer les limites suivantes.
√ √
x− e
(a) lim .lnx−1x→e
x xa −b(b) lim ou` a,b,c et d sont des r´eels avec c = d.x xc −dx→0
2 2(arcsinx) −π /16
(c) lim .2√ 2x −1
x→1/ 2
shx−sinx(d) lim
thx−tanxx→0
x cos(2x)−sin(x)(e) lim
sh(2x)−sin(2x)x→0
x aa −x(f) lim chx−chax→a
5. D´eterminer a` quelle condition sur les r´eels a,b et c la fonction f d´efinie surR par

exp(x) si x≥ 0
f(x) = 2ax +bx+c sinon.
2est de classe C surR.
6. Soit f d´erivable surR v´erifiant pour tout x∈ [0,+∞[
0f (x)≤ f(x).
Montrer que pour tout x∈ [0,+∞[
f(x)≤ f(0) exp(x).
Retrouver de cette fa¸con que pour tout x≥ 0
x≤ exp(x).
7. D´eterminer la d´eriv´ee n-i`eme
2(a) de f d´efinie surR par f(x) = x exp(x).
n−1(b) de f d´efinie sur ]0,+∞[ par f(x) = x ln(x). (ici n≥ 1).
8. D´eterminer le nombre de racines r´eelles du polynomeˆ
nX 1 k
P (x) = x .n
k!
k=0
1
ldTFe61euDiel89. Montrer que pour tous x,y dansR
|arctanx−arctany|≤|x−y|.
x+1
x10. Soit g d´efinie sur ]0,+∞[ par g(x) = x . On pose f(x) = g(x+1)−g(x) pour x > 0.
D´eterminer lim f(x).
x→+∞
211. Montrer que pour tout couple (a,b)∈]0,+∞[ avec a≤ b
a−b a a−b
≤ ln ≤ .
a b b
012. Soit f d´efinie et d´erivable surR. On suppose qu’il existe k∈ [0,1[ tel que pour tout x∈R,|f (x)|≤ k.
´(a) Etablir que g d´efinie par g(x) = x−f(x) est une bijection deR dansR.
(b) En d´eduire que f admet un unique point fixe.
0(c) Soit h d´efinie surR par h(x) = 1+ln(chx). Montrer que pour tout x∈R,|h (x)| < 1, mais que h
n’a pas de point fixe.
213. Soit f : ,[−1,1]→R de classe C v´erifiant f(−1) = f(1) = 0.
(a) Soit α∈]−1,1[. D´eterminer un polynomeˆ P de degr´e inf´erieur ou ´egal a` 2 de telle sorte que f +P
s’annule en−1,1 et α.
(b) En d´eduire qu’il existe c∈]−1,1[ tel que
2α −1 00f(α) = f (c).
2
(c) Conclure que
1 00sup |f(x)|≤ sup |f (x)|.
2x∈[−1,1] x∈[−1,1]
2(d) Adapter ce qui pr´ec`ede `a une fonction f ∈C ([a,b],R) et ´etablir l’existence d’une constante C > 0,
que l’on explicitera, telle que pour tout x∈]a,b[
2 00|f(x)|≤ C(b−a) sup |f (x)|.
x∈[a,b]
014. Soit f d´erivable surR, born´ee et telle que f est croissante surR. Montrer que f est constante.
´15. (Egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee) Soient f et g des fonctions continues sur [a,b], d´erivables
sur ]a,b[.
(a) Montrer qu’il existe c∈]a,b[ tel que :
0 0g (c) (f(b)−f(a)) = f (c) (g(b)−g(a)).
(b) En d´eduire l’in´egalit´e des accroissements finis g´en´eralis´ee :
0 0si |f (t)|≤ g (t) pour tout t∈]a,b[, alors :
|f(b)−f(a)|≤ g(b)−g(a).
´16. Etant donn´e un entier n≥ 1, on pose
P (x) = x(x−1)··· (x−n).n
0(a) MontrerquetouteslesracinesdeP sontr´eellesetsimplesetquelapluspetite,not´eeλ ,appartientnn
a` l’intervalle ]0,1[.
n0 PP (x) 1n´(b) Etablir que = .
P (x) x−in
i=0
1 1 1(c) En d´eduire que ≥ 1+ +···+ .λ 2 nn
(d) D´eterminer la limite de λ quand n tend vers +∞.n
2017. (R`egle de L’Hospital) Soient f et g d´efinies et d´erivables au voisinage de x ∈R. On suppose que g ne0
s’annule pas au voisinage de x .0
0f (x) f(x)−f(x )0(a) Etablir que si lim = ‘ ∈ R, alors lim existe et est ´egale `a ‘. On ´etablira au0g (x) g(x)−g(x )0x→x x→x0 0
pr´ealable que g(x) = g(x ) si x = x au voisinage de x .0 0 0
Indication. Utiliser l’exercice pr´ec´edent.
(b) Appliquer la r`egle de l’Hospital pour calculer
sinπx argshx
lim et lim √ .
3x→1− lnx x→0+ 1+x−1
3 1 218. Soit φ d´efinie surR par φ(x) = x + x −12x+2.2
(a) Montrer que φ a une unique racine dans l’intervalle ]0,1[ not´ee α.
1On d´efinit f par f(x) = x+ φ(x).10
(b) Montrer que f(x) = x est ´equivalent `a φ(x) = 0.
0 2(c) Montrer que [0,1] est invariant par f et ´etablir que sup |f (x)| = .x∈[0,1] 10
(d) Etablir que la suite (u ) d´efinie par u = 0 et u = f(u ) est dans l’intervalle [0,1] et que pourn 0 n+1 n
tout n∈N,
2 n|u −α|≤ ( ) .n
10
119. Soit f d´efinie par f(x) = x−4+ lnx.4
(a) Montrer que l’´equation f(x) = 0 a une unique solution que l’on note α.
1Soit g d´efinie par g(x) = 4− lnx.
4
2 2(b) Etudier les variations de g. Etablir que g([e,e ])⊂ [e,e ].
(c) En d´eduire que la suite d´efinie par u = 3 et u = g(u ) est bien d´efinie pour tout n et que0 n+1 n
2u ∈ [e,e ] pour tout n∈N.n
2´(d) Etablir que α∈ [e,e ].
0 1(e) Montrer que sup |g (x)|≤ .10
2x∈[e,e ]
Indication. On prendra e≥ 2.5.
(f) Etablir pour tout n≥ 0 que
1
|u −α|≤ |u −α|.n 0n10
2 −4(g) En admettant que e −e≤ 5, a` partir de quel rang approche-t-on α par u `a 10 pr`es. Calculern
alors α.
3
66