PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 2 0 C a l c u l i n t e g r a l 1. Soit f ? C0([a, b],R). Montrer que ? ? ? ? ? ∫ b a f(t) dt ? ? ? ? ? = ∫ b a |f(t)| dt ? (f ≥ 0 sur [a, b] ou f ≤ 0 sur [a, b]) . 2. Soit f ? C0([0, 1],R) verifiant ∫ 1 0 f(t) dt = 1 2 . Montrer qu'il existe x0 ?]0, 1[ tel que f(x0) = x0. 3. Soit f ? C0([a, b],R). On suppose qu'il existe n ? N, tel que pour tout entier 0 ≤ k ≤ n, ∫ b a tk f(t) dt = 0. Montrer que f a au moins n + 1 zeros sur ]a, b[. 4. Soit f ? C0(R,R) periodique de periode T > 0. (a) Soit a ? R. Montrer que ∫ a+T a f(t) dt est independant de a (l'integrale sur une periode est donc independant de la periode consideree : c'est essentiel a savoir en traitement du signal)

• periode


• familles quelconques de reels


• ≤i≤n des familles de reels positifs


• ≤i≤n


• inegalite de cauchy-schwarz


• lim n?


• dx a2


• determiner lim

Sujets

• Période
• Inégalité de Cauchy-Schwarz

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
C a l c u l i n t´e g ra l
01. Soit f ∈C ([a,b],R). Montrer que
Z Z b b

f(t)dt = |f(t)|dt⇔ (f ≥ 0 sur [a,b] ou f ≤ 0 sur [a,b]).