Soient n n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees i i d telles que P P On fixe un parametre et on definit une suite de variables aleatoires U n n≥0 par U

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Epreuve de Probabilites Soient (?n)n≥1 des variables aleatoires independantes et identiquement distribuees (i.i.d.) telles que P (?1 = 1) = P (?1 = ?1) = 1/2. On fixe un parametre ? > 0 et on definit une suite de variables aleatoires (U?n )n≥0 par U ? 0 = 0 et U ? n+1 = ?U ? n + ?n+1, pour n ≥ 0. On s'interesse a la limite de (U?n )n≥0 en loi, en fonction de ?. Les parties du probleme sont essentiellement independantes. Il sera tenu compte de la clarte du raisonnement et de la redaction dans l'evaluation de la copie. NB : • Les espaces Lp(R), ou p ≥ 1, sont sous-entendus par rapport a la mesure de Lebesgue ? et la tribu borelienne B(R) sur R. La norme de f dans Lp(R) est notee ?f?p. • Soit f ? L1(R) et ? : R ? R mesurable positive telle que ∫ ?(x) dx = 1. On pose ?r(x) = r?1?(x/r), pour r > 0. On pourra utiliser le fait que f ??r ? f dans L1(R), quand r ? 0+.

• relation u?n


• meme relation


• racine du polynome x2 ?


• theoreme de derivation de lebesgue


• y0 de loi ?

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

EpreuvedeProbabilite´s

Soient (ε n ) n≥1 svdeiaaresble´laiotaisere´dnantependdentsetiemtnqieuirubidts(es´ei.i.d.) telles queP(ε 1 = 1) =P(ε 1 =−1) = 1/.2nOxfiuetrenparam`eα >enuttius´dnoinfie0eteed α αα α atoires (arU= 0 etU=αU+ε, pourn≥0ae`aslsre´ent’ins.O variablesal´eU n ) n≥0 p 0n+1 n n+1 α Ude) ionα. limite de ( n n≥0 en loi, en fonct Lespartiesduproble`mesontessentiellementinde´pendantes.Ilseratenucomptedelaclart´e duraisonnementetdelare´dactiondansl’e´valuationdelacopie.

NB : p •Les espacesL(Ru`o,)p≥pausndteens-outsnos,1sgueLeberedeemusa`aloptrrrpaλet p latribubor´elienneB(R) surR. Lanorme defdansL(Ree´tonst)ekfk p . R 1 •Soitf∈L(R) etϕ:R→Rmesurable positive telle queϕ(x)dxOn pose= 1.ϕ r (x) = −1 1 r ϕ(x/r), pourr >0. Onpourra utiliser le fait quef∗ϕ r →fdansL(R), quandr→0 + . •La fin de la partieIIIet la partieIVltnetonatnemnnoiueolntcondiobs’aeet´uiinuxderent mesuresdeprobabilite´,maisessentiellementseulelade´finitionestutilis´ee.Enparticulier, leth´eor`emedeRadon-Nikodymn’estpassuppose´connu.Rappelonsqueνest absolument continueparrapporta`µsidν=f dµ. Dansce casfni(ue,qubmeleda`nuneesµ-mesure nullepr`es)estla“densit´edeνoptra`aprrpaµ”.

Partie I

α er que (Uest 1.V´erifi n ) n≥0 Marknedehaˆıunecpoe´srnonoenvoD.tisiantrdeurteraiolasteno initiale. 1 2. Siα= 1, (U) n≥0 estunemarchealtae´eriopmisuselrZpourquoi la Loi des. Rappeler n GrandsNombresetleTh´eore`medelaLimiteCentrales’appliquent.Enoncercesre´sultats. k 0 3. Onsupposeα >1. Onfixe alors un entierk 0 ≥1 tel queα >2. α ≥0}, pour (a)Onde´finitune´ve´nementA n ={ε nk 0 +1 =∙ ∙ ∙=ε (n+1)k 0 etε nk 0 +1 U nk 0 c n≥0.etD´llaierAepourtout,upsie´atlbriuqn≥0 : n    \ \ c−k 0 c    P A≤(1−2 )P A. m m 0≤m≤n+1 0≤m≤n

α 1 (b)Montrerquepresquesˆurement,ilexisten≥1 tel que|U|>. Onpourra utiliser n α−1 α kα k−1 la relationU=α+ε+∙ ∙ ∙+α ε, p n+k U n n+k +αε n+k−1n+1 ourn≥0 etk≥1. α (c)Ende´duirequeP(|U| →+∞, quandn→+∞) = 1. n

Pourtoutelasuiteduproble`me,onsupposeque0< α <introduit alors :1. On n X X α k−1α k−1 =α V n ε k , pourn≥1, etV=α ε k . k=1k≥1 α La loi deVe´eottnesν α .

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Partie II

α α 1. Montrer que (U) converge en loi versV, quandn→+∞. Cettesuite converge-t-elle n presquesuˆrement? α α 2. SoitF α (t) =P(V≤t),t∈Rrapeititednoed´ritnoofcn,alV. RappelonsqueF α est − continuea`droiteetadmetunelimitea`gaucheentoutpointtot,ne´eF α (t). α α,1α,1α (a) MontrerqueV=αV+ε 1 `u,oVueloiqˆemeamV, puis que pour toutt∈R:    1t+ 11t−1 F α (t) =F α +F α .(1) 2α2α (b) Siν α nredre`icrapetteri´eeefi´atelnvionoenlrrasntie´d,aunede.e (c)Onsouhaitee´tablirlefaitqueF α est une fonction continue.On raisonne par l’absurde − et on suppose doncF α non continue.Pourn≥1, on poseD n ={t∈R, F α (t)< F α (t)−1/n}. i. Montrerqu’il existen 0 ≥1 pour lequelD n 0 est fini et non vide. − ii. Introduisonss= max{F α (t)−F α (t), t∈D n 0 }tnare´diraperneocsn.oCcnul − exemple la relation (1) au pointt 0 = max{t∈D n 0 , F α (t)−F α (t) =s}. 3. Soitν´rperaititno´vreifielamˆemerelatinouqenuiolentdofolatincdeonF α ,’cse-ta`-dire(1). Onconside`reY 0 de loiνite´endndpeteans(deε n ). SoitY n+1 =αY n +ε n+1 , pourn≥0. (a)Ve´rifierqueY n a pour loiν, pour toutn≥0. (b) Montrerqueν α tincdeonntdofolanoititaspe´ritra.t(1)sfaiesluleioetsal

Partie III De´signonsparS α le support deν α .Rtse’ceuqsnoleppaeedlpelepsuftit´mreRdeν α -mesure h i 1 1 totale. OnintroduitI α =−,, ainsi que les applications deRdansRinse´dfieap:r 1−α1−α T α,+ (x) =αxet+ 1T α,− (x) =αx−1. 1. MontrerqueS α ⊂I α , puis queS α =T α,+ (S α )∪T α,− (S α ). 2. Supposonsque 0< α <1/2. n α n α α α (a) MontrerqueVvaleurs distinctes et queprend au plus 2|V−V| ≤. n n 1−α (b)Ende´duirequelamesuredeLebesguedeS α est nulle. α Q itV n−1 3. De nouveau, 0< α <1. MontrerqueE(ecos() =tα),t∈R.etD´mierrne n≥1 lafonctioncaract´eristiquedelaloiuniformesur[−2,que les deux fonctions2]. Etablir pr´ec´edentesco¨ıncidentlorsqueα= 1/2. 4. Danscette question, 1/2< α <:1. Introduisons ( ) n X k−1 H α =α ξ k , pour unn≥1 et desξ k ∈ {±1}. k=1 h ih i 1−2α1 12α−1 (a) SoientI α,+ =,etI α,− =−,.V´erifierqueI α =I α,+ ∪I α,− , ainsi 1−α1−α1−α1−α quelese´galite´sT α,+ (I α ) =I α,+ ,T α,− (I α ) =I α,− .

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n (b) Soitx∈I α utilisant. EnT α,+ etT α,− , montrer qu’il existe (ξ 1 ,∙ ∙ ∙, ξ n )∈ {±1}tels que :

n X n α k−1 x−α ξ k ≤.  1−α k=1 End´eduirequeH α est dense dansI α . (c) MontrerqueF α est strictement croissante surI α , puis queS α =I α .

5. Onsuppose toujours 1/2< α <use´tatl1reL.entsugg`pr´ec´edrunuetlreqeeuopα, la mesure ν α s.lecaptsa’nse,tecfniasgbe.EueresuLedea`tremalrrapoppacontinuesolumentetsba √ Pourlevoir,onconside`relenombred’oru= (1 +5)/2 etα= 1/u∈]1/2,1[.

n (a)V´erifierqued(u ,Z) tend vers 0 au moins exponentiellement vite quandn→+∞(c’est- n n `a-dired(u ,Z)≤Cρ, pour des constantesC >0 et 0< ρ <)1u`o,d(x,Zigeslaned´) n distanced’unr´eelx`aZeuqtnemelantrer´eg.Mou−1/26∈Z, pour toutn∈Z. 2 Rappelons queueetsnˆompolyneduraciX−X−1. Siv,ondsi´elengtua’arerenic n n pourra calculeru+v. R 1−itx (b) Supposonsqueν α e´tisndenetuaif∈L(Rnote). Onχ f (t) =e f(x)dx,t∈R, sa n transforme´edeFourier.Posonst n =πu, pourn≥:´eitaleg’´lrilbatE.1

Y Y k l lim|χ f (t n )|= cos(πα) cos(πu). n→+∞  k≥1l≥1

(c)V´erifierquelalimiteestnonnulleetende´duireunecontradiction.

6. Soit0< α <1.

(a) SoientXetYlbselae´taioerrsdeuxvariaetnanO.sppusqesoel´esile´endndpeeuXa une densite´.MontrerqueX+Yuna.eis´tdene (b) Montrerque siν α noctunitlosbnemut`oramalareppprabeseug,eserudeLeestailen 2 estdemˆemepourν α . (c)Ve´rifierqueν −1/p derebeLeuesgou,prosbatsentcolumeuepantinoptrrrpaemusa`al 2 toutp≥1.

Partie IV Ons’int´eresse`al’absoluecontinuit´edeν α arpppra`tromalaruseLedeebesguepourα∈]1/2,1[. Cettepropri´ete´n’´etantpasvraiepourtouslesα, on se pose la question dans un sens plus faible, a`savoirpour“presquetout”α∈]1/2,ire´vedere`tircnn.ioatfic1.[eCttetablituepartie´

1. Soitmbobaedrpuserenemur(´esuilitR,B(R).On)d´efinit:

C={A∈ B(R)| ∀η >0,∃Oouvert etFeuqfe´ermlsteF⊂A⊂Oetm(O\F)< η}.

(a) MontrerqueCstatseraaplbpeseedelfsre´mteeriatntneitnocuceaagssme´eplomR. (b) MontrerqueCestuourttqureouep´dnEiuderten.ubiA∈ B(R) :

m(A) = sup{m(F)|Feerm´f⊂A}= inf{m(O)|Oouvert, A⊂O}.

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