Table des matieres
68 pages
Français

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
68 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Table des matieres Table des matieres 2 1 Rappels sur les ensembles, denombrement 3 1.1 Motivation : l'equiprobabilite sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Definition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Image et image reciproque de parties . . . . . . . .

  • variable aleatoire

  • proprietes

  • ?i ?

  • probabilite

  • conditionnel

  • premieres proprietes utiles pour les calculs


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 23
Langue Français

Extrait

Tabledesmati`eres
Tabledesmatie`res
2
1Rappelssurlesensembles,de´nombrement3 1.1Motivation:le´quiprobabilite´surunensembleni...........................4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1De´nitiondunensemble......................................4 1.2.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1Imageetimager´eciproquedeparties...............................6 1.3.2Injectivite´,surjectivit´e,bijectivit´e................................7 1.4Rudimentsdecardinalit´e.........................................7 1.5De´nombrementsclassiques.........................................7 1.5.1Produitcarte´sien..........................................7 1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Arrangements, injections,pessaonn´sordrageteititnoe´it´rpenssaesstli-....01..ersnesim 1.5.5Coecientsbinomiaux,partiesdunensembleettiragesnonordonn´essansremise.....10 1.6Principesdebasedude´nombrement...................................12 1.7Quelquesconseilspratiquespourlesexercicesd´equiprobabilite´....................13
2Espacedeprobabilit´e,ind´ependanceetprobabilite´conditionnelle15 2.1Tribuet´ev´enements............................................17 2.2Probabilite´.................................................19 2.2.1De´nitions.............................................19 2.2.2Premie`respropri´ete´sutilespourlescalculs...........................19 2.2.3Proprie´t´essupple´mentairesduneprobabilite´..........................21 2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1Equiprobabilit´esurunensembleni...............................23 2.3.2Probabilite´surunensembleni..................................23 2.3.3Probabilite´surunensembled´enombrable............................23 2.3.4Probabilite´suniformesencontinu:probabilite´sge´ome´triques................24 2.3.5Lejeuinnidepileouface,ousche´madeBernoulli......................25 2.4Ind´ependanced´ev´enements........................................26 2.5Probabilit´econditionnelle.........................................27 2.6Compl´ement.................................................29 2.6.1Notiondepresque-sˆur.......................................29 2.6.2 Lemme de Borel-Cantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
3Variablesale´atoiresre´elles33 3.1De´nitionetloidunevariableal´eatoirere´elle..............................34 3.2Variableale´atoirer´eellediscr`ete......................................35 3.2.1De´nition..............................................35 3.2.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3Fonctiondere´partitionetquantilesduneloideprobabilit´e......................37 3.4Espe´rancedesvariablesal´eatoiresre´ellesdiscretes............................40 ` 3.4.1D´enitionetcalcul.........................................40 3.4.2Rappelsetcl´ntssurlesse´riesdenombresr´eels.....................41 omp eme 3.4.3Proprie´te´s..............................................42 3.4.4Ine´galite´deMarkov........................................44 3.5Variancedunevariableal´eatoirediscr`ete................................45 3.5.1De´nitionetpropri´et´es......................................45 3.5.2In´egalite´deChebychev......................................46 3.6 Calculs pour les lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7Fonctionsg´ene´ratricesdesvariablesal´eatoires`avaleursdansN 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1D´enition..............................................48 3.7.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7.3Loietfonctionge´n´eratrice.....................................49 3.7.4Fonctiong´ene´ratriceetmoments.................................49 4Vecteural´eatoire;ind´ndceentrevariablesal´eatoires51 epe an 4.1Vecteural´eatoiredeRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.1Rappelsetcomple´mentssurlesfamillessommablesdenombrespositifs...........52 4.1.2De´nitions.............................................53 4.2 Calcul des lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3Th´eor`emedetransfertpourunvecteural´eatoirediscret........................55 4.4Espe´ranceetcovariance..........................................55 4.5Inde´pendancededeuxvariablesal´eatoires:d´enitionsetcrite`res...................57 4.6Ind´ependanceetcovariance........................................59 4.7Inde´pendancedeplusieursvariablesale´atoiresdiscr`etes.........................60 5Th´eoremesLimite62 ` 5.1 Lois faible et forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2Initiationa`lestimationstatistique....................................64 5.3Th´eore`meCentralLimite.........................................66 5.4 Approximation normale de la loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5 Application aux statistiques : intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2
Chapitre 1
Rappels sur les ensembles, de´nombrement
Sommaire 1.1Motivation:le´quiprobabilit´esurunensembleni.........................4 1.2 Notions de base sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 D´finition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 e 1.2.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1Imageetimager´eciproquedeparties.............................6 1.3.2Injectivite´,surjectivite´,bijectivite´..............................7 1.4Rudimentsdecardinalit´e.......................................7 1.5D´enombrementsclassiques.......................................7 1.5.1Produitcart´esien........................................7 1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Arrangements, injections,p´´ititnoettiragesordonn´li-esstersnasse....esim10 sans repe 1.5.5Coecientsbinomiaux,partiesdunensembleettiragesnonordonne´ssansremise...10 1.6Principesdebasedude´nombrement.................................12 1.7Quelquesconseilspratiquespourlesexercicesd´equiprobabilite´..................13 Objectifs :se.isuqlcsanestbremenomesd´eetltationssurlesensRpaepellrseonsdntarecnadit´lilbmel,seurseemid Mots-cl´es: taire.mpl´emenoc,noitcesretni,onniu application, injection, surjection, bijection. ensemble fini, cardinal. ne,itduropsi´ertcan-uplet,nceotneiibudmoˆne.l-siermute,pon,ctati Outils : .ontitiarepprciinepdsbejiceitnod,ind´ependance,d rmfoPedelgnairtudeluedubrmull,foascano.eNtwemednioˆ Techniquesded´emonstration:e´ilagnooxnesntsreamtbilito´ne,dde´deemulrbtpieascontuilsiesanpodcr,unoo par recurrence. ´
1.1Motivation:l´equiprobabilitesurunensembleni ´ Onrappellequele´quiprobabilit´ePsur un ensemble fini Ω est l’application de l’ensembleP(Ω) des parties de Ω dans [0,]d1rpaien´e A∈ P(Ω),P(A Card) =A Card Ω. Cepremierexempledeprobabilit´evaˆetreloccasionderappelerquelquese´le´mentsdelath´eoriedesensembles, etlesprincipesdebasedude´nombrement.
1.2 Notions de base sur les ensembles 1.2.1De´nitiondunensemble Pourde´crireunensembleiltsdesesee´´lme,onpeutdonnerlac:setseuqecanotsentrencceaadolalellepp de´nitionenextensionUn.ptsansebmelneessi,ainnn´eordo{1,3,2}et{1,2,3}´dmˆleeeemriecntvesnmelb.e Dans cet exemple, 2 est unntme´´eelde{1,2,3}, ce qui se note 2∈ {1,2,3}; lemˆeme´el´ementpeutapparaıˆtreplusieursfoisdanslalistedes´el´ements,ainsi{1,3,2}et{2,1,2,3}´edivcrtlene meme en ˆ semble. {1,3}estune partieouun sous-ensemblede{1,2,3}; on dit que{1,3}estinclusdans{1,2,3}, ce qui se note {1,3} ⊂ {1,2,3}.
Attention !2∈ {1,2,3}et{2} ⊂ {1,2,3}. Onpeutaussid´enirunensemblenoisnehe´rpmocneenredia--`ste,cel)s(auonaltodnns)qut´e(ri´epropica-ract´erise(nt)ses´ele´ments: {2,4,6}={x∈ {1, . . . ,7} divise: 2x}. Quelques ensembles usuels : l’ensemble des entiers naturelsN={0,1,2, ...}, l’ensemble des entiers naturels strictement positifsN={1,2, ...}, l’ensemble des entiers relatifsZ={...,2,1,0,1,2, ...}, l’ensemble des nombres rationnels :Q=qpp,Z, qN, lenledesembrbsensmosl´reeR,sndebromr´eslseeisopsfitunuoslR+...
1.2.2 Parties d’un ensemble On noteP(Ω) l’ensemble des parties de Ω. ´ Exercice :Soit Ω ={1,2,3}. Ecrire l’ensemblePtcsed?peseidtsniarties`aC.)Ωibmo(epldtiarΩaen-i-t deux´elementsdistinctes? Soit Ω un ensemble, et soientAetBdeux parties de Ω. laeunion´rdeAetBe´e,notABle´seme´dstnedeieomΩcs´podeeee,tsalaptrAtedseemtnlee´ed´sB: {1,2,5,6} ∪ {2,3,5,7}={1,2,3,5,6,7}
4
Lare´uniondedeuxensemblescorrespondaulienlogiqueou” : xABxAouxB (noter que sixest dansAB, alorsxdsiosnapeˆeute`trafalAetdansB) Lar´euniondunefamilledensemblescorrespondauquanticateur(“il existe”) : soit (Ai)iIune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors x[Ai⇔ ∃iI, xAi. iI l’intersectiondeAetBee´ton,ABosmpcoeΩedtiarapltse,oisdalafont`quisnest´lmesee´e´deansAet dansB: {1,2,5,6} ∩ {2,3,5,7}={2,5} L’intersection de deux ensembles correspond au lien logique “et” : xABxAetxB. L’intersection d’une famille d’ensembles correspond au quantificateur(“pour tout”) : soit (Ai)iIune famille de parties d’un ensemble Ω. Alors x\Ai⇔ ∀iI, xAi. iI laeuqirener´dietm´sycedeAetBee´ton,AΔBiostnadtsl´´eenemqutsonisocpmdeΩedesesoe´,esartitlap Asoit dansBmais pas dans leur intersection : {1,2,5,6}Δ{2,3,5,7}={1,3,6,7} Ladi´erencesyme´triquededeuxensemblescorrespondaulienlogiqueou exclusif” : xAΔBxABcouxBAc. leemenmpclo´etairdeA,Ωonadsn´teeAcntsdeΩquinesontpsartpalastomΩcdeieedee´sopeme´le´se, dansA: Ω ={1,2, ...,10}, A={1,3,5,7,8,9,10}, Ac={2,4,6}. Lepassageaucompl´ementairecorresponda`lane´gationlogique:xAcx/ A. Remarquonsquelecompl´ementairede´penddelensembleΩconsid´er´e,etque AAc et= ΩAAc=.
Propri´et´es1.1SoientA,BetCtrois parties d’un ensembleE. (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc (AB)C= (AC)(BC) (AB)C= (AC)(BC) ´ Demonstration :alit´ededeuxenseopruomtnerlr´gearrpde´eno,selbmcorptuepdouble inclusion: AetBentsiuxsi´egaulemetseostnAest inclus dansB, etBest inclus dansA. Montronsainsilapremi`erepropri´et´e.SoientAetBdeux parties d’un ensembleE.
5
Montrons que (AB)cest inclus dansAcBc. Pour montrer qu’un ensembleEest inclus dans un ensembleFde,noomtneruqceahcundes´el´ementsEat`entiarppaF. On va donc montrer iciquetout´el´ementde(AB)cest dansAcBc. Soitxdans (AB)c, alorsx6∈AB, doncx6∈Aetx6∈B, c doncxAcetxB, doncxAcBc. Donctout´el´ementxde (AB)cest dansAcBc, donc (AB)cAcBc. Montrons queAcBcest inclus dans (AB)ctdeemen´el´toutcmontronicerueiqO.davn AcBcest dans (AB)c. c SoitxdansAcBc, alorsxAcetxB, doncx6∈Aetx6∈B, doncx6∈AB, doncx(AB)c. Donctoute´l´ementxdeAcBcest dans (AB)c, doncAcBc(AB)c. Par double inclusion, (AB)c=AcBc. Onpeute´galementproce´derparassertionse´quivalentes: x(AB)cnon(xAB)non(xAetxB)non(xA) ou non(xB) x6∈Aoux6∈BxAcouxBcxAcBcExercice :´i´ettnseseat.nome´Ddselrert eux propr es r Exercice :onniusdestdeur´inusesnovaseedcecorevraiessontenpoire´´tCserpequedclnoqeeuimllenaf parties. Proprie´te´s1.2Pour toute suite de parties(Ai)i1d’un ensembleE, pour toutn∈ {1,2, . . .} ∪ {∞} \ =n1Ai!c=i=n[1Aci i n i=n[1Ai!A=[(AiA) i=1 i=n[1Ai!ci=n\1Aic = n \Ai(AiA) i=1!A=i=\n1 1.3 Applications 1.3.1Imageetimagere´ciproquedeparties Uneapplicationfde l’ensembleEdans l’ensembleFosic`etasamentout´el´exdeEueiqununeneml´´eedtF, note´f(x). On dit queEtensestldedemelbtre,e´apFlseenlembard´vire,eeeuqtf(x) est l’image parfdex. Si AE, l’image deAparfest la partie deFedesos´ecomprpagemaitlnosiuqstneme´le´funddtee´´lmeneA: f(A) ={yF:xA, y=f(x)}={f(x) :xA} ⊂F. Attention !tsaloienpeuoˆmmensqurquootatelanmaRerf(x) etf(Aaqueltypetacnodar`noitnetfeOn). d’objet on manipule.
6
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents